求三角函数的周期6种方法总结-多个例子详细解答.doc
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如何求三角函数的周期
三角函数的的周期是三角函数的重要性质,对于不同的三角函数式,如何求三角函数的周期也是一个难点,下面通过几个例题谈谈三角函数周期的求法.
1、定义法
例1.求下列函数的周期 , .
(1)分析:
根据周期函数的定义,问题是要找到一个最小正数,对于函数定义域内的每一个值都能使成立,同时考虑到正弦函数的周期是.
解:
∵,即.
∴当自变量由增加到时,函数值重复出现,因此的周期是.
(2)分析:
根据周期函数的定义,问题是要找到一个最小正数,对于函数定义域内的每一个值都能使成立,同时考虑到正切函数的周期是.
解:
∵,即.
∴函数的周期是.
例2.求函数(m≠0)的最小正周期。
解:
因为
所以函数(m≠0)的最小正周期
例3.求函数的最小正周期。
解:
因为
所以函数的最小正周期为。
例4.求函数y=|sinx|+|cosx|的最小正周期.
解:
∵=|sinx|+|cosx|
=|-sinx|+|cosx|
=|cos(x+)|+|sin(x+)|
=|sin(x+)|+|cos(x+)|
=
对定义域内的每一个x,当x增加到x+时,函数值重复出现,因此函数的最小正周期是.
注意:
1、根据周期函数的定义,周期是使函数值重复出现的自变量的增加值,
如周期不是,而是;2、是定义域内的恒等式,即对于自变量取定义域内的每个值时,上式都成立.
直接利用周期函数的定义求出周期。
2、公式法
对于函数或的周期公式是,
对于函数或的周期公式是.
例1.求函数的周期
解:
.
例2.求函数的最小正周期。
解:
因为
所以函数的最小正周期为。
例3.求函数的最小正周期。
解:
因为,
所以函数的最小正周期为。
3、同角函数法
例4.求函数的周期
解:
∴.
例5.求函数的最小正周期。
解:
因为
所以函数的最小正周期为。
例5.已知函数求周期
解:
∵
∴.
4、转化法:
遇到绝对值时,可利用公式,化去绝对值符号再求周期
例6.求函数的周期
解:
∵
∴.
例7.求函数的周期
解:
∵
∴函数的最小正周期.
5、最小公倍数罚:
若函数,且,都是周期函数,且最小正周期分别为,如果找到一个正常数,使,
(均为正整数且互质),则就是的最小正周期.
例1.求函数的周期
解:
∵的最小正周期是,的最小正周期是.
∴函数的周期,把代入得,即,
因为为正整数且互质,所以.
函数的周期.
例2.求函数的周期
解:
∵的最小正周期是,的最小正周期是,
由,,(为正整数且互质),
得.
所以函数的周期是.
例3.求函数的最小正周期。
解:
因为csc4x的最小正周期,的最小正周期,由于和的最小公倍数是。
所以函数的最小正周期为。
例4.求函数的最小正周期。
解:
因为的最小正周期,最小正周期,由于和的最小公倍数是,
所以函数的最小正周期为T=。
例5.求函数的最小正周期。
解:
因为sinx的最小正周期,的最小正周期,
sin4x的最小正周期,由于,的最小公倍数是2。
所以函数的最小正周期为T=。
例6.求函数y=sin3x+cos5x的最小正周期.
解:
设sin3x、cos5x的最小正周期分别为T1、T2,则,所以y=sin3x+cos5x的最小正周期T=2π/1=2π.
例7.求y=sin3x+tan的最小正周期.
解:
∵sin3x与tan的最小正周期是与,其最小公倍数是=10π.
∴y=sin3x+tan的最小正周期是10π.
注:
1.分数的最小公倍数的求法是:
(各分数分子的最小公倍数)÷(各分数分母的最大公约数)。
2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。
6、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。
例1.求函数的最小正周期。
解:
函数的图像为图1。
图1
由图1可知:
函数的最小正周期为。
例2.求y=|sinx|的最小正周期.
解:
由y=|sinx|的图象:
可知y=|sinx|的周期T=π.
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