matlab中插值拟合与查表.docx

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matlab中插值拟合与查表

MATLAB中的插值、拟合与查表

插值法是实用的数值方法，是函数逼近的重要方法。

在生产和科学实验中，自变量x与因变量y的函数y=f（x）的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。

当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。

如何根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=φ（x），使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值。

用简单函数y=φ（x）在点x处的值来估计未知函数y=f（x）在x点的值。

寻找这样的函数φ（x），办法是很多的。

φ（x）可以是一个代数多项式，或是三角多项式，也可以是有理分式；φ（x）可以是任意光滑（任意阶导数连续）的函数或是分段函数。

函数类的不同，自然地有不同的逼近效果。

在许多应用中，通常要用一个解析函数（一、二元函数）来描述观测数据。

根据测量数据的类型：

1．测量值是准确的，没有误差。

2．测量值与真实值有误差。

这时对应地有两种处理观测数据方法：

1．插值或曲线拟合。

2．回归分析（假定数据测量是精确时，一般用插值法，否则用曲线拟合）。

MATLAB中提供了众多的数据处理命令。

有插值命令，有拟合命令，有查表命令。

2.2.1插值命令

命令1interp1

功能一维数据插值（表格查找）。

该命令对数据点之间计算内插值。

它找出一元函数f（x）在中间点的数值。

其中函数f（x）由所给数据决定。

各个参量之间的关系示意图为图2-14。

格式yi=interp1（x,Y,xi）%返回插值向量yi，每一元素对应于参量xi，同时由向量x与Y的内插值决定。

参量x指定数据Y的点。

若Y为一矩阵，则按Y的每列计算。

yi是阶数为length（xi）*size（Y,2）的输出矩阵。

yi=interp1（Y,xi）%假定x=1:

N，其中N为向量Y的长度，或者为矩阵Y的行数。

yi=interp1（x,Y,xi,method）%用指定的算法计算插值：

’nearest’：

最近邻点插值，直接完成计算；

’linear’：

线性插值（缺省方式），直接完成计算；

’spline’：

三次样条函数插值。

对于该方法，命令interp1调用函数spline、ppval、mkpp、umkpp。

这些命令生成一系列用于分段多项式操作的函数。

命令spline用它们执行三次样条函数插值；

’pchip’：

分段三次Hermite插值。

对于该方法，命令interp1调用函数pchip，用于对向量x与y执行分段三次内插值。

该方法保留单调性与数据的外形；

’cubic’：

与’pchip’操作相同；

’v5cubic’：

在MATLAB5.0中的三次插值。

对于超出x范围的xi的分量，使用方法’nearest’、’linear’、’v5cubic’的插值算法，相应地将返回NaN。

对其他的方法，interp1将对超出的分量执行外插值算法。

yi=interp1（x,Y,xi,method,'extrap'）%对于超出x范围的xi中的分量将执行特殊的外插值法extrap。

yi=interp1（x,Y,xi,method,extrapval）%确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN或0。

例2-31

>>x=0:

10;y=x.*sin（x）;

>>xx=0:

.25:

10;yy=interp1（x,y,xx）;

>>plot（x,y,'kd',xx,yy）

例2-32

>>year=1900:

10:

2010;

>>product=[75.99591.972105.711123.203131.669150.697179.323203.212226.505249.633256.344267.893];

>>p1995=interp1（year,product,1995）

>>x=1900:

1:

2010;

>>y=interp1（year,product,x,'pchip'）;

>>plot（year,product,'o',x,y）

插值结果为：

p1995=

252.9885

命令2interp2

功能二维数据内插值（表格查找）

格式ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI）%返回矩阵ZI，其元素包含对应于参量XI与YI（可以是向量、或同型矩阵）的元素，即Zi（i,j）←[Xi（i,j）,yi（i,j）]。

用户可以输入行向量和列向量Xi与Yi，此时，输出向量Zi与矩阵meshgrid（xi,yi）是同型的。

同时取决于由输入矩阵X、Y与Z确定的二维函数Z=f（X,Y）。

参量X与Y必须是单调的，且相同的划分格式，就像由命令meshgrid生成的一样。

若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点，则相应地返回nan（NotaNumber）。

ZI=interp2（Z,XI,YI）%缺省地，X=1:

n、Y=1:

m，其中[m,n]=size（Z）。

再按第一种情形进行计算。

ZI=interp2（Z,n）%作n次递归计算，在Z的每两个元素之间插入它们的二维插值，这样，Z的阶数将不断增加。

interp2（Z）等价于interp2（z,1）。

ZI=interp2（X,Y,Z,XI,YI,method）%用指定的算法method计算二维插值：

’linear’：

双线性插值算法（缺省算法）；

’nearest’：

最临近插值；

’spline’：

三次样条插值；

’cubic’：

双三次插值。

例2-33：

>>[X,Y]=meshgrid（-3:

.25:

3）;

>>Z=peaks（X,Y）;

>>[XI,YI]=meshgrid（-3:

.125:

3）;

>>ZZ=interp2（X,Y,Z,XI,YI）;

>>surfl（X,Y,Z）;holdon;

>>surfl（XI,YI,ZZ+15）

>>axis（[-33-33-520]）;shadingflat

>>holdoff

插值图形为图2-17。

例2-34

>>years=1950:

10:

1990;

>>service=10:

10:

30;

>>wage=[150.697199.592187.625

179.323195.072250.287

203.212179.092322.767

226.505153.706426.730

249.633120.281598.243];

>>w=interp2（service,years,wage,15,1975）

插值结果为：

w=

190.6288

命令3interp3

功能三维数据插值（查表）

格式VI=interp3（X,Y,Z,V,XI,YI,ZI）%找出由参量X,Y,Z决定的三元函数V=V（X,Y,Z）在点（XI,YI,ZI）的值。

参量XI,YI,ZI是同型阵列或向量。

若向量参量XI,YI,ZI是不同长度，不同方向（行或列）的向量，这时输出参量VI与Y1,Y2,Y3为同型矩阵。

其中Y1,Y2,Y3为用命令meshgrid（XI,YI,ZI）生成的同型阵列。

若插值点（XI,YI,ZI）中有位于点（X,Y,Z）之外的点，则相应地返回特殊变量值NaN。

VI=interp3（V,XI,YI,ZI）%缺省地，X=1:

N，Y=1:

M，Z=1:

P，其中，[M,N,P]=size（V），再按上面的情形计算。

VI=interp3（V,n）%作n次递归计算，在V的每两个元素之间插入它们的三维插值。

这样，V的阶数将不断增加。

interp3（V）等价于interp3（V,1）。

VI=interp3（…,method）%用指定的算法method作插值计算：

‘linear’：

线性插值（缺省算法）；

‘cubic’：

三次插值；

‘spline’：

三次样条插值；

‘nearest’：

最邻近插值。

说明在所有的算法中，都要求X,Y,Z是单调且有相同的格点形式。

当X,Y,Z是等距且单调时，用算法’*linear’，’*cubic’，’*nearest’，可得到快速插值。

例2-35

>>[x,y,z,v]=flow（20）;

>>[xx,yy,zz]=meshgrid（.1:

.25:

10,-3:

.25:

3,-3:

.25:

3）;

>>vv=interp3（x,y,z,v,xx,yy,zz）;

>>slice（xx,yy,zz,vv,[69.5],[12],[-2.2]）;shadinginterp;colormapcool

命令4interpft

功能用快速Fourier算法作一维插值

格式y=interpft（x,n）%返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。

若length（x）=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。

注意的是必须n≥m。

若x为一矩阵，则按x的列进行计算。

返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。

y=interpft（x,n,dim）%沿着指定的方向dim进行计算

命令5griddata

功能数据格点

格式ZI=griddata（x,y,z,XI,YI）%用二元函数z=f（x,y）的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。

griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。

曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。

输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。

XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。

类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。

[XI,YI,ZI]=griddata（x,y,z,xi,yi）%返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。

[…]=griddata（…,method）%用指定的算法method计算：

‘linear’：

基于三角形的线性插值（缺省算法）；

‘cubic’：

基于三角形的三次插值；

‘nearest’：

最邻近插值法；

‘v4’：

MATLAB4中的griddata算法。

命令6spline

功能三次样条数据插值

格式yy=spline（x,y,xx）%对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式p（x）以逼近每对数据（x,y）点间的曲线。

过两点只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。

为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件（因为三次多项式有4个系数）。

综合上述内容，可知对数据拟合的三次样条函数p（x）是一个分段的三次多项式.

该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f（x）在点xx处的值。

若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配对，再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。

则yy是一阶数为length（xx）*size（y,2）的矩阵。

pp=spline（x,y）%返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它可用于命令ppval、unmkpp的计算。

例2-36

对离散地分布在y=exp（x）sin（x）函数曲线上的数据点进行样条插值计算：

>>x=[024581212.817.219.920];y=exp（x）.*sin（x）;

>>xx=0:

.25:

20;

>>yy=spline（x,y,xx）;

>>plot（x,y,'o',xx,yy）

命令7interpn

功能n维数据插值（查表）

格式VI=interp