4第四章经典单方程计量经济学模型放宽基本假定的模型.pptx

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第四章经典单方程计量经济第四章经典单方程计量经济学模型：

放宽基本假定的模型学模型：

放宽基本假定的模型基本假定违背：

基本假定违背：

不满足基本假定的情况。

主要包括：

（1）随机误差项序列存在异方差异方差性；

（2）随机误差项序列存在序列相关序列相关性；（3）解释变量之间存在多重共线多重共线性；（4）解释变量是随机变量且与随机误差项相关（随机解释变量随机解释变量）；此外：

（5）模型设定有偏误（6）解释变量的方差不随样本容量的增而收敛计量经济检验：

对模型基本假定的检验本章主要学习：

前4类4.1异方差性异方差性一、异方差的一、异方差的概念概念二、异方差的类型二、异方差的类型三、实际经济问题中的异方差性三、实际经济问题中的异方差性四、异方差性的后果四、异方差性的后果五、异方差性的检验五、异方差性的检验六、异方差的修正六、异方差的修正七、案例七、案例对于模型ikikiiiiXXXY2210如果出现Varii（）2即对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性异方差性（Heteroskedasticity）。

一、异方差的概念一、异方差的概念二、异方差的类型二、异方差的类型同方差性假定同方差性假定：

i2=常数f（Xi）异方差时：

异方差时：

i2=f（Xi）异方差一般可归结为三种类型：

异方差一般可归结为三种类型：

（1）单调递增型：

i2随X的增大而增大

（2）单调递减型：

i2随X的增大而减小（3）复杂型：

i2与X的变化呈复杂形式三、实际经济问题中的异方差性三、实际经济问题中的异方差性例例4.1.1：

截面资料下研究居民家庭的储蓄行为Yi=0+1Xi+iYi:

第i个家庭的储蓄额Xi:

第i个家庭的可支配收入高收入家庭：

储蓄的差异较大低收入家庭：

储蓄则更有规律性，差异较小i的方差呈现单调递增型变化例例4.1,2，以绝对收入假设为理论假设、以截面数据为样本建立居民消费函数：

Ci=0+1Yi+I将居民按照收入等距离分成n组，取组平均数为样本观测值。

一般情况下，居民收入服从正态分布一般情况下，居民收入服从正态分布：

中等收入组人数多，两端收入组人数少。

而人数多的组平均数的误差小，人数少的组平均数的误差大。

所以所以样本观测值的观测误差观测误差随着解释变量观测值的不同而不同，往往引起异方差性。

以上例子均为随机误差项的方差随着解释变量的变化而有规律变化的情形有规律变化的情形。

例例4.1.3，以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型Yi=Ai1Ki2Li3ei被解释变量：

产出量Y解释变量：

资本K、劳动L、技术A，那么：

每个企业所处的外部环境外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。

每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。

这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。

对于横截面数据横截面数据而言，不同样本点之间解释变量以外的其他因素的差异较大，往往存在异方差。

四、异方差性的后果计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：

1、参数估计量非有效OLS估计量仍然具有无偏性仍然具有无偏性，但不具有有效性不具有有效性因为在有效性证明中利用了E（）=2I而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有一致性一致性，但仍然不具有渐近有效性渐近有效性。

参数估计量不具有一致性。

2、变量的显著性检验失去意义变量的显著性检验中，构造了t统计量其他检验也是如此。

3、模型的预测失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。

五、异方差性的检验五、异方差性的检验检验思路：

检验思路：

由于异方差性就是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项具有不同的方差。

那么：

检验异方差性，也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测值之间的相关性及其相关的“形式”。

问题在于用什么来表示随机误差项的方差一般的处理方法：

首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的估计量（注意，该估计量是不严格的），我们称之为“近近似估计量似估计量”，用ei表示。

于是有VarEeiii（）（）22（）eyyiiils0几种异方差的检验方法：

几种异方差的检验方法：

1、图示法

（1）用）用X-Y的散点图进行判断的散点图进行判断看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）

（2）

（2）X-X-ei2的散点图进行判断的散点图进行判断看是否形成一斜率为零的直线ei2ei2XX同方差递增异方差ei2ei2XX递减异方差复杂型异方差2、帕克（Park）检验与戈里瑟（Gleiser）检验基本思想基本思想:

偿试建立方程：

ijiiXfe）（2或ijiiXfe）（|选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。

如：

帕克检验常用的函数形式：

ieXXfjiji2）（或ijiiXelnln）ln（22若在统计上是显著的，表明存在异方差性。

3、戈德菲尔德-匡（夸）特（Goldfeld-Quandt）检验G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较样本容量较大、异方差递增或递减大、异方差递增或递减的情况。

G-QG-Q检验的思想检验的思想：

先将样本一分为二，对子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。

由于该统计量服从F分布，因此假如存在递增的异方差，则F远大于1；反之就会等于1（同方差）、或小于1（递减方差）。

G-Q检验的步骤：

将n对样本观察值（Xi,Yi）按观察值Xi的大小排队排队将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为（n-c）/2对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和在同方差性假定下，构造如下满足F分布的统计量）12,12（）12（）12（2122kcnkcnFkcnekcneFii给定显著性水平，确定临界值F（v1,v2），若FF（v1,v2），则拒绝同方差性假设，表明存在异方差存在异方差。

当然，还可根据两个残差平方和对应的子样的顺序判断是递增型异方差还是递减异型方差。

3、怀特（White）检验怀特检验不需要排序，且适合任何形式的异方差怀特检验的基本思想与步骤怀特检验的基本思想与步骤（以二元为例）：

iiiiXXY22110然后做如下辅助回归iiiiiiiiXXXXXXe215224213221102可以证明，在同方差假设下：

（*）R2为（*）的可决系数，h为（*）式解释变量的个数，表示渐近服从某分布。

注意：

注意：

辅助回归仍是检验与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。

如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数以及某一参数的t检验值较大。

当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。

六、异方差的修正异方差的修正模型检验出存在异方差性，可用加权最小二加权最小二乘法乘法（WeightedLeastSquares,WLS）进行估计。

加权最小二乘法的基本思想：

加权最小二乘法的基本思想：

加权最小二乘法是对原模型加权，使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。

在采用OLS方法时:

对较小的残差平方ei2赋予较大的权数，对较大的残差平方ei2赋予较小的权数。

21102）（kkiiiiXXYWeW例如例如，如果对一多元模型，经检验知：

222）（）（）（jiiiiXfEVarijiijijiijiXXfXXfXfYXf22110）

（1）

（1）

（1）（1ijikijikXfXXf）

（1）（1新模型中，存在222）（）

（1）（1（）（1（ijiijiijiEXfXfEXfVar即满足同方差性，可用OLS法估计。

一般情况下一般情况下:

对于模型Y=X+存在W2）（）（0）（ECovEWwwwn12即存在异方差性异方差性。

W是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D使得W=DD用D-1左乘Y=X+两边，得到一个新的模型：

DXDYD111*XY该模型具有同方差性。

因为1211211111）（）（）（DDDDDDDDDD*EEEI2*1*）（YXXXYWXXWXYDDXXDDX11111111）（）（这就是原模型Y=X+的加权最小二乘估计量，是无偏、有效的估计量。

这里权矩阵为D-1，它来自于原模型残差项的方差-协方差矩阵2W。

如何得到如何得到2W？

从前面的推导过程看，它来自于原模型残差项的方差-协方差矩阵。

因此仍对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量i，以此构成权矩阵的估计量，即2212neeW这时可直接以|/1,|,|/1|,|/1211neeediagD作为权矩阵。

（该方法称为广义最小二乘法（该方法称为广义最小二乘法）广义最小二乘法通过对模型的修改来调整原数据的数值，从而使其误差项满足高斯-马尔可夫定理中对最小二乘法的应用所要求的假设条件。

即我们要通过某种修正和调整，把变化不定的误差项的方差固定下来。

注意：

注意：

在实际操作中人们通常采用如下的经验方法：

不对原模型进行异方差性检验，而是不对原模型进行异方差性检验，而是直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面直接选择加权最小二乘法，尤其是采用截面数据作样本时。

数据作样本时。

如果确实存在异方差，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法七、案例七、案例-中国农村居民人均消费函数中国农村居民人均消费函数例例4.1.4中国农村居民人均消费支出主要由人均纯收入来决定。

农村人均纯收入包括

（1）从事农业经营的收入，

（2）包括从事其他产业的经营性收入（3）工资性收入、（4）财产收入（4）转移支付收入。

考察从事农业经营的收入（X1）和其他收入（X2）对中国农村居民消费支出（Y）增长的影响:

22110lnlnlnXXY表表4.1.1中国中国2001年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位：

元）年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出相关数据（单位：

元）地区人均消费支出Y从事农业经营的收入1X其他收入2X地区人均消费支出Y从事农业经营的收入1X其他收入2X北京3552.1579.14446.4湖北2703.361242.92526.9天津2050.91314.62633.1湖南1550.621068.8875.6河北1429.8928.81674.8广东1357.431386.7839.8山西1221.6609.81346.2广西1475.16883.21088.0内蒙古1554.61492.8480.5海南1497.52919.31067.7辽宁1786.31254.31303.6重庆1098.39764.0647.8吉林1661.71634.6547.6四川1336.25889.4644.3黑龙江1604.51684.1596.2贵州1123.71589.6814.4上海4753.2652.55218.4云南1331.03614.8876.0江苏2374.71177.62607.2西藏1127.37621.6887.0浙江3479.2985.83596.6陕西1330.45803.8753.5安徽1412.41013.11006.9甘肃1388.79859.6963.4福建2503.11053.02327.7青海1350.231300.1410.3江西1720.01027.81203.8宁夏2703.361242.92526.9山东1905.01293.01511.6新疆1550.621068.8875.6河南1375.61083.81014.1普通最小二乘法的估计结果：

21ln5084.0ln3166.0655.1lnXXY（1.87）（3.02）（10.04）2R=0.78312R=0.7676DW=1.89F=50.53RSS=0.8232异方差检验进一步的统计检验进一步的统计检验

（1）G-Q检验检验将原始数据按X2排成升序，去掉中间的7个数据，得两个容量为12的子样本。

对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和RSS1和RSS2：

子样本1：

21ln119.0ln343.0061.4lnXXY（3.18）（4.13）（0.94）R2=0.7068，RSS1=0.0648子样本2：

21ln776.0ln138.0791.0lnXXY（0.43）（0.73）（6.53）R2=0.8339，RSS2=0.2729计算计算FF统计量：

统计量：

F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.31查表查表给定=5%，查得临界值F0.05（9,9）=2.97判断判断FF0.05（9,9）否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性存在递增异方差性。

（22）怀特检验）怀特检验作辅助回归:

2222112）（ln026.0ln055.0）（ln015.0ln102.017.0XXXXe（-0.04）（0.10）（0.21）（-0.12）（1.47）21lnln043.0XX（-1.11）R2=0.4638似乎没有哪个参数的t检验是显著的。

但nR2=31*0.4638=14.38=5%下，临界值20.05（5）=11.07，拒绝同方差性拒绝同方差性去掉交叉项后的辅助回归结果2222112）（ln039.0ln539.0）（ln042.0ln570.0842.3XXXXe（1.36）（-0.64）（064）（-2.76）（2.90）R2=0.4374X2项与X2的平方项的参数的t检验是显著的，且nR2=310.4374=13.56=5%下，临界值20.05（4）=9.49拒绝同方差的原假设拒绝同方差的原假设原模型的加权最小二乘回归原模型的加权最小二乘回归对原模型进行OLS估计，得到随机误差项的近似估计量i，以此构成权矩阵2W的估计量；再以1/|i|为权重进行WLS估计，得21ln527.0ln319.0497.1lnXXY（5.12）（5.94）（28.94）2R=0.99992R=0.9999DW=2.49F=924432RSS=0.0706各项统计检验指标全面改善各项统计检验指标全面改善4.2序列相关性序列相关性SerialCorrelation一、序列相关性概念二、实际经济问题中的序列相关性三、序列相关性的后果四、序列相关性的检验五、具有序列相关性模型的估计六、案例4.2序列相关性序列相关性一、序列相关性概念如果对于不同的样本点，随机误差项之间不如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了现了序列相关性。

对于模型Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+ii=1,2,n随机项互不相关的基本假设表现为Cov（i,j）=0ij,i,j=1,2,n在其他假设仍成立的条件下，序列相关即意味着0）（jiE称为一阶列相关，或自相关（autocorrelation）其中：

被称为自协方差系数（coefficientofautocovariance）或一阶自相关系数（first-ordercoefficientofautocorrelation）i是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：

如果仅存在E（ii+1）0i=1,2,n自相关往往可写成如下形式：

i=i-1+i-110）（iE,2）var（i,0）,cov（sii0s由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中，因此，本节将用下标t代表i。

二、实际经济问题中的序列相关性大多数经济时间数据都有一个明显的特点:

惯惯性性，表现在时间序列不同时间的前后关联上。

由于消费习惯消费习惯的影响被包含在随机误差项中，则可能出现序列相关性（往往是正相关）。

例如，例如，绝对收入假设下居民总消费函数模型：

Ct=0+1Yt+tt=1,2,n11、经济变量固有的惯性2、模型设定的偏误所谓模型设定偏误设定偏误（Specificationerror）是指所设定的模型“不正确”。

主要表现在模型中丢掉了重要的解释变量或模型函数形式有偏误。

例如例如，本来应该估计的模型为Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型设定中做了下述回归：

Yt=0+1X1t+1X2t+vt因此，vt=3X3t+t，如果X3确实影响Y，则出现序列相关。

但建模时设立了如下模型：

Yt=0+1Xt+vt因此，由于vt=2Xt2+t,，包含了产出的平方对随机项的系统性影响，随机项也呈现序列相关性。

又如：

如果真实的边际成本回归模型应为：

Yt=0+1Xt+2Xt2+t其中：

Y=边际成本，X=产出，3、数据的“编造”例如：

季度数据季度数据来自月度数据的简单平均，这种平均的计算减弱了每月数据的波动性，从而使随机干扰项出现序列相关。

还有就是两个时间点之间的“内插内插”技术往往导致随机项的序列相关性。

在实际经济问题中，有些数据是通过已知数据生成的。

因此，新生成的数据与原数据间就有了内在的联系，表现出序列相关性。

计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果：

二、序列相关性的后果1、参数估计量非有效因为，在有效性证明中利用了E（NN）=2I即同方差性和互相独立性条件。

而且，在大样本情况下，参数估计量虽然参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。

具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。

2、变量的显著性检验失去意义在变量的显著性检验中，统计量是建立在参数方差正确估计基础之上的，这只有当随机误差项具有同方差性和互相独立性时才能成立。

其他检验也是如此。

3、模型的预测失效区间预测与参数估计量的方差有关区间预测与参数估计量的方差有关，在方差有偏误的情况下，使得预测估计，在方差有偏误的情况下，使得预测估计不准确，预测精度降低。

不准确，预测精度降低。

所以，当模型出现序列相关性时，所以，当模型出现序列相关性时，它的预测功能失效。

它的预测功能失效。

三、序列相关性的检验然后然后，通过分析这些“近似估计量近似估计量”之间的相关性，以判断随机误差项是否具有序列相关性。

序列相关性序列相关性检验方法有多种，但基本思路相检验方法有多种，但基本思路相同：

同：

首先首先，采用OLS法估计模型，以求得随机误差项的“近似估计量近似估计量”，用ei表示：

lsiiiYYe0）（基本思路:

三、序列相关性的检验1、图示法2、回归检验法以te为被解释变量，以各种可能的相关量，诸如以1te、2te、2te等为解释变量，建立各种方程：

tttee1tttteee2211如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在序列相关性。

回归检验法的优点优点是：

（1）能够确定序列相关的形式，

（2）适用于任何类型序列相关性问题的检验。

33、杜宾-瓦森（Durbin-WatsonDurbin-Watson）检验法D-W检验是杜宾（检验是杜宾（J.Durbin）和）和瓦（沃）森瓦（沃）森（G（G.S.Watson）.S.Watson）于于19511951年提出的一种检验序列自相关年提出的一种检验序列自相关的方法的方法，该方法的假定条件是该方法的假定条件是：

（1）解释变量X非随机；

（2）随机误差项i为一阶自回归形式：

i=i-1+i（3）回归模型中不应含有滞后应变量作为解释变量，即不应出现下列形式：

Yi=0+1X1i+kXki+Yi-1+i（4）回归含有截距项该统计量该统计量的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到精确的分布很难得到。

但是但是，他们成功地导出了临界值的下限dL和上限dU，且这些上下限只与样本的容量n和解释变量的个数k有关，而与解释变量X的取值无关。

杜宾和瓦森针对原假设：

H0:

=0，即不存在一阶自回归，构如下造统计量：

nttnttteeeWD12221）（.D.W.统计量统计量:

D.W检验步骤检验步骤:

（1）计算DW值

（2）给定，由n和k的大小查DW分布表，得临界值dL和dU（3）比较、判断若0D.W.dL存在正自相关dLD.W.dU不能确定dUD.W.4dU无自相关4dUD.W.4dL不能确定4dLD.W.4存在负自相关0dLdU24-dU4-dL正相关不能确定无自相关不能确定负相关当D.W.值在2左右时，模型不存在一阶自相关。

证明：

证明：

展开D.W.统计量：

nttntntnttttteeeeeWD1222212122.（*）1

（2）1（2.1221nttnttteeeWD如果存在完全一阶正相关，即如果存在完全一阶正相关，即=1，则，则D.W.0完全一阶负相关，即完全一阶负相关，即=-1,则则D.W.4完全不相关，即完全不相关，即=0，则，则D.W.2这里，nttntttnttnttteeeeee22211221为一阶自回归模型i=i-1+i的参数估计。

）1

（2）1（2.1221nttnttteeeWD4、拉格朗日乘数（Lagrangemultiplier）检验拉格朗日乘数检验克服了DW检验的缺陷，适合于高阶序列相关以及模型中存在滞后被解释变量的情形。

它是由布劳殊（Breusch）与戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被称为GB检检验验。

ikikiiiXXXY22110对于模型如果怀疑随机扰动项存在p阶序列相关阶序列相关：

tptpttt2211GB检验可用来检验如下受约束回归方程tptptktkttXXY11110约束条件为：

H0:

1=2=p=0约束条件H0为真时，大样本下）（）（22pRpnLM其中，n为样本容量，R2为如下辅助回归的可决系数：

tptptktktteeXXe11110给定，查临界值2（p），与LM值比较，做出判断，实际检验中，可从1阶、2阶、逐次向更高阶检验。

如果模型被检验证明存在序列相关性，则需要发展新的方法估计模型。

最常用的方法是广义最小二乘法（GLS:

Generalizedleastsquares）和广义差分法（GeneralizedDifference）。

四、序列相关的补救四、序列相关的补救1、广义最小二乘法对于模型Y=X+如果存在序列相关，同时存在异方差，即有,22212222111221）（）Cov（nnnnnE是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得=DD变换原模型：

D-1Y=D-1X+D-1即Y*=X*+*（*）1211211111）（）（）（DDDDDDDDDD*EEEI2（*）式的OLS估计：

*1*）（YXXXYXXXYDDXXDDX11111111）（）（这就是原模型的这就是原模型的广义最小二乘估计量（GLSestimators），是无偏的、有效的估计量。

是无偏的