Chapter13VARMA模型.docx

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Chapter13VARMA模型

Chapter13-VARMA模型

19VARMA模型

1980年Sims提出向量自回归模型（vectorautoregressivemodel）。

这种模型采用多方程联立的形式，它不以经济理论为基础，在模型的每一个方程中，内生变量对模型的全部内生变量的滞后值进行回归，从而估计全部内生变量的动态关系。

8.1基本概念

8.1.1向量平稳过程

设Xt=（x1t,x2t,…,xNt）由N个随机过程构成的多维随机过程。

如果Xt的一阶矩（均值）和二阶矩（协方差）

为时不变的，即

与t没有关系，则称Xt为弱平稳过程。

当k=0时，

表示Xt的同期协方差矩阵，对角线元素ii（0）表示过程{xit}的方差，非对角线元素ij（0）表示过程{xit}与{xjt}的协方差。

当k≠0时，对角线元素ii（k）表示{xit}与{xi,t-k}的协方差，非对角线元素ij（k）表示{xit}与{xj,t-k}的协方差。

8.1.2跨相关矩阵

令D表示Xt=（x1t,x2t,…,xNt）标准差构成的对角矩阵，则Xt与Xt-k的相关系数矩阵为：

其中，第i行第j列的元素具体为：

当k=0时，ρ0=D-1Γ0D-1表示Xt的同期相关系数矩阵。

对角线元素ii（0）表示过程{xit}的同期相关系数1，非对角线元素ij（0）表示过程{xit}与{xjt}的同期跨相关系数。

当k≠0时，对角线元素ii（k）表示{xit}与{xit-k}的自相关系数，非对角线元素ij（k）表示{xit}与{xjt-k}的跨相关系数。

显然，ij（k）与ji（k）表示不同的线性依存关系，一般情况下，ij（k）≠ji（k）。

因此，ij（k）和ρij（k）不是对称矩阵。

由

以及平稳条件可得：

即：

ij（k）=ji（-k），ij（k）表示矩阵（k）的第i行第j列元素，ji（-k）表示矩阵（-k）的第j行第i列元素。

因此，（k）≠（-k），而是（k）=（-k）'。

同样地，ρij（k）≠ρ（-k），而是ρ（k）=ρ（-k）'。

将多维相关矩阵总结如下。

ij（k）（k=0,1,…）表示{xit}的自相关函数。

ij（k）（k=0,1,…）表示{xit}与{xjt}的同期相关系数。

ij（k）（k=0,1,…）表示{xit}与{xj,t-k}的跨期相关系数。

样本相关系数矩阵估计公式为：

8.1.3多维变量滤子

设A（L）和B（L）表示两个滤子。

{Aj}和{Bj}表示mr和rs矩阵。

滤子的积为

D（L）=A（L）B（L）

如果A（L）B（L）=I，则称B（L）为A（L）的逆，或者A（L）为B（L）的逆。

从卷积公式可以看出，只要A00，A（L）的逆就存在。

比如，求一阶多项式（L）=I-1L的逆。

A0I，A1=-1。

B0I

B1+A1=0B1=-A1=1

B2+A1B1+A2=0B2=-A1B1=12

...

Bj=1j

8.2向量自回归模型设定

VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归模型。

假设y1t，y2t之间存在关系，如果分别建立两个自回归模型

y1,t=f（y1,t-1,y1,t-2,…）

y2,t=f（y2,t-1,y2,t-2,…）

则无法捕捉两个变量之间的关系。

如果采用联立的形式，就可以建立起两个变量之间的关系。

VAR模型的结构与两个参数有关。

一个是所含变量个数N，一个是最大滞后阶数k。

含有N个变量滞后k期的VAR模型表示如下：

Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut,ut~IID（0,Ω）（8.4）

其中，

Yt为N⨯1阶时间序列列向量。

c为N⨯1阶常数项列向量。

1,…,k均为N⨯N阶参数矩阵，ut~IID（0,Ω）是N⨯1阶随机误差列向量，其中每一个元素都是非自相关的，但这些元素，即不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关。

用滞后算子的表述为：

（I-1L-2L2-…-pLp）Yt=（L）Yt=c+ut

此处，c表示的不是Yt的均值。

对于平稳过程来讲，Yt的均值为：

E（Yt）==

（1）-1c，其中

（1）=I-1-2-…-p

以两个变量y1t，y2t滞后1期的VAR

（1）模型为例，

y1,t=c1+11y1,t-1+12y2,t-1+u1t

y2,t=c2+21y1,t-1+22y2,t-1+u2t（8.1）

其中u1t,u2t为独立白噪声过程，但u1t与u2t存在相关关系。

11体现了y1的滞后项对其当期项的影响，12体现了y2的滞后项对y1当期项的影响；21体现了y1的滞后项对y2当期项的影响，22体现了y2的滞后项对y2当期项的影响。

如果12=0，21≠0，说明从y1到y2存在单向影响关系；如果21=0，12≠0，说明从y2到y1存在单向影响关系。

如果21=0，12=0，说明y2与y1不存在反馈关系。

如果21≠0，12≠0，说明y2与y1存在双向反馈关系。

y2与y1的当期相关关系通过12体现。

如果12=0，说明y2与y1不存在当期相关。

其矩阵形式是，

=

+

+

（8.2）

设，Yt=

c=

1=

ut=

则，Yt=c+1Yt-1+ut（8.3）

因VAR模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项，他们与ut是渐近不相关的，所以可以用OLS法依次估计每一个方程，得到的参数估计量都具有一致性。

VAR模型的特点是：

（1）不以严格的经济理论为依据。

在建模过程中只需明确两件事：

①共有哪些变量是相互有关系的，把有关系的变量包括在VAR模型中；②确定滞后期k。

使模型能反映出变量间相互影响的绝大部分。

（2）VAR模型对参数不施加零约束。

（对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除，不分析回归参数的经济意义。

）

（3）VAR模型的解释变量中不包括任何当期变量，所有与联立方程模型有关的问题在VAR模型中都不存在（主要是参数估计量的非一致性问题）。

（4）VAR模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计。

比如一个VAR模型含有三个变量，最大滞后期k=3，则有kN2=3⨯32=27个参数需要估计。

当样本容量较小时，多数参数的估计量误差较大。

（5）无约束VAR模型的应用之一是预测。

由于在VAR模型中每个方程的右侧都不含有当期变量，这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预测。

（6）用VAR模型做样本外近期预测非常准确。

做样本外长期预测时，则只能预测出变动的趋势，而对短期波动预测不理想。

西姆斯（Sims）认为VAR模型中的全部变量都是内生变量。

近年来也有学者认为具有单向因果关系的变量，也可以作为外生变量加入VAR模型。

附录：

（file:

B8c1）

8.3VAR模型的平稳条件

根据齐次差分方程理论，VAR（p）模型平稳性的充分必要条件为：

如下特征方程的特征根落在单位圆之外。

|I-1L-1L2-…-pLp|=0

或者等价地表述为：

如下特征方程的特征根落在单位圆之内。

|ILp-1Lp-1-1Lp-2-…-p|=0

显然，这两个特征方程的特征根互为倒数。

以VAR

（1）模型Yt=c+1Yt-1+ut，为例。

将其用滞后算子表述为

（I-1L）Yt=c+ut（8.13）

保持VAR模型稳定的条件是|I-1L|=0的根都在单位圆以外，或者|1-LI|=0的根都落在单位圆以内。

而|1-LI|=0的根即是矩阵1的特征根。

例8.1对于二变量（N=2），k=1的VAR模型：

（8.14）

其中，1=

。

其特征方程是

|I-1L|=

=（1-（5/8）L）2-1/8L2=（1-0.978L）（1-0.27L）=0（8.15）

求解得

L1=1/0.978=1.022,L2=1/0.27=3.690

因为L1，L2都大于1，所以对应的VAR模型是稳定的。

例8.2对于2个变量、2阶VAR模型：

Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+ut

其中，1=

2=

其特征方程为：

|I-1L-2L2|=0

|I-1L-2L2|=

=

=[1-（5/8）L-1/8L2][1-（5/8）L-3/4L2]-[-（1/2）L+1/4L2][-（1/4）L+1/4L2]

=（1-0.978L）（1-0.27L）=0（8.15）

求解得4个根如下表所示。

根

模

L1=1.000

1.000

L2=0.947

0.947

L3=0.380-0.144i

0.406

L4=0.380-0.144i

0.406

其中，3个根在单位圆内，一个根落在单位圆上，所以平稳性条件未能得到满足。

练习：

模拟上述两个模型的随机数据，观察其变化趋势。

注：

对于高阶自回归方程，可以通过友矩阵变换（companionform）的方法将其转换为VAR

（1）模型，然后根据VAR

（1）模型的平稳条件判断其平稳性。

具体变换过程如下。

给出k阶VAR模型，

Yt=c+1Yt-1+2Yt-2+…+kYt-k+ut（8.17）

再配上如下等式，

Yt-1=Yt-1

Yt-2=Yt-2

…

Yt-k+1=Yt-k+1

把以上k个等式写成分块矩阵形式，

（8.18）

其中每一个元素都表示一个向量或矩阵。

令

Yt=（Yt-1Yt-2…Yt-k+1）'NK⨯1

C=（c00…0）'NK⨯1

A=

Ut=（ut00…0）'NK⨯1

上式可写为

Yt=C+AYt-1+Ut（8.19）

这样，k阶VAR模型用友矩阵表示成了1阶分块矩阵的VAR模型。

VAR模型的稳定性要求A的全部特征值，即特征方程|I-AL|=0的全部根必须在单位圆以外，或者特征方程|A-λI|=0的全部根落在单位圆以内。

注意，特征方程中的A是Nk⨯Nk阶的。

特征方程中的I也是Nk⨯Nk阶的。

对于k阶VAR模型的友矩阵变换形式，特征方程是，

|A-λI|=

即：

|I-1L-2L2-…-kLk|=0

的特征根落在单位圆之外。

例：

2变量2阶VAR模型的友矩阵变换形式是

（8.20）

其中等式的每一个元素（项）都表示一个4⨯1阶向量或4⨯4阶矩阵。

平稳性条件要求其特征方程为：

|I-AL|=

=|I-1L-2L2|=0（8.22）

的全部根必须在单位圆以外。

例：

2变量3阶VAR模型的友矩阵变换形式是

（8.21）

其中等式的每一个元素（项）都表示一个6⨯1阶向量或6⨯6阶矩阵。

平稳性条件要求其特征方