平面奇点的定性理论.doc

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平面非线性系统的奇点分析

（数学与应用数学）

学生：

张西指导老师：

杜正东

摘要:

本文主要讨论了平面非线性常微分方程组的奇点的定性性质，包括其类型和稳定性，以及系统的相图在奇点附近的拓扑结构。

总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。

并将上述结果应用到了三次约化Kukles系统。

关键词：

奇点，鞍点，焦点，结点。

§1引言

由常微分方程本身的结构来直接研究和判断解的性质，这是常微分方程定性理论的基本思想。

众所周知，常微分方程（组）大量存在于描述自然现象的数学模型中，它已成为自然科学和尖端技术，包括自动控制理论，航天技术生物技术，经济学等的研究中不可缺少的数学工具。

常微分方程的定性研究的目的是要搞清楚系统在相空间的轨道分布状况。

相对与高维系统来说，二维自治系统的情况更单纯，因为在平面上有Jordan闭曲线定理即：

任何R2上的单闭曲线L将R2分成两部分——D1和D2,自D1内任何一点到D2内任何一点的连续路径必定与L相交。

只有对奇点的性质的研究透彻，才能更好的对其他问题进行研究。

对于平面非线性系统的的定性分析，最重要的是研究一些特殊的轨道，如奇点（即平衡点）。

周期轨等，只要我们把一个系统在这些特殊轨道附近的状况分析清楚了，该系统的整体相图结构也就大致清楚了。

因此作为平面非线性分析的第一步，奇点分析是最简单，也是最基本的工作。

本文则主要讨论了平面非线性微分方程组的奇点的定型性质。

总结了平面非线性系统奇点分析的一些方法和结果。

§2平面线性系统的奇点分析

定义：

[奇点]设若x0∈Rn满足F（x0）＝0，则x=x0叫做方程的一个奇点。

给定一个平面非线性系统：

，

当（0,0）为奇点时，若P,Q均二阶可微，则在（0,0）附近总可以用Taylor展式展开表示为：

的形式，其中R1（x,y）,R2（x,y）为高阶项，即:

自然想到在原点（0,0）附近的轨道分布是否和它的第一近似方程组:

（2.1）

的相似，其中a,b,c,d是实数，首先我们必须把平面线性系统在奇点附近的状况搞清楚。

为此我们首先给出平面齐次线性方程（2.1）种奇点定性性质的分类准则.

系统（2.1）的系数矩阵的特征方程为：

令p=-（a+b）,q=ad-bc,则,它的根为：

奇点的性质可总结如下：

（1）q＜0是异号实根0为鞍点

（2）q＞0,p＞0,p2-4q＞0,同为负实根，这时奇点0为稳定结点

（3）q＞0,p＞0,p2-4q＜0

此时奇点0为稳定焦点。

（4）q＞0,p＜0,p2-4q＞0,同是正实根，此时奇点0为不稳定结点。

（5）q＞0,p＜0,p2-4q＜0，此时奇点0为不稳定焦点。

（6）q＞0,p＝0，是一对共轭虚根，这时奇点0为中心。

（7）q＞0,p＞0,p2-4q＝0是一对负实重根：

a）设初等因子是单的，这时奇点0为稳定临界点。

b）设初等因子是重的，这时奇点0为稳定退化结点。

（8）q＞0,p＜0,p2-4q＝0，是一对实重根：

a）设初等因子是单的，奇点为不稳定临界点。

b）:

初等因子是重的，奇点0为不稳定退化结点。

（9）q=0，a）a=b=c=d,这时（x,y）平面上每一点都为奇点。

b）a=b=0或（c=d=0）但c2+d2≠0或（a2+b2≠0）此时x=c是解，直线cx+dy=0上都是奇点。

c）c2+d2≠0,a2+b2≠0,再者或者ac≠0或bd≠0设ac≠o则原方程可化为：

是解

§3平面非线性系统奇点分析的一般方法

在§2节我们讨论了线性系统奇点的定性性质，对于非线性系统来说。

当其线性部分的系数矩阵的特征值实部全部不为0时，它在奇点附近的相图的拓扑结构是一样的。

但当其线性部分的系数矩阵的特征值有零实部时，情况就要复杂得多。

本节给出了讨论非线性系统在平衡点附近的相图结构的统一处理方法。

给定方程：

（3.1）

设0（0,0）是（3.1）的奇点，即X（0,0）=Y（0,0）=0设Z（x,y）,Y（x,y）,在原点附近对x,y有高阶偏导数,则（3.1）可写为：

（3.2）

其中Xm,Yn,分别是x和y的m,n次齐次多项式，m,n≥1,当r→0,=o（rm），=o（rn）其中，进一步假设Xm,Yn,互质。

定义3.1设L是方程的轨线，点A（r,）是L上的动点，若当r→0时有→则轨线L叫做沿固定方向进入奇点0（0,0）.

定义3.2设原点0为方程组（3.1）的孤立奇点。

如果存在序列,当n→∞时有rn→0，→且，其中是（3.1）在An点的方向场的向量，（或称场向量）与坐标向量的夹角（从向量半径逆时针方向转向场向量）的正切，则=叫做（3.1）的特殊方向。

令是P（r）点处的坐标向量与场向量的夹角，便有：

由定义3.2若是特殊方向，则在点列An（）上必有：

令则,（3.2）变为:

令：

令：

则由上式得：

其中时

定理3.1设G（）＝０无实根，则0（0,0）是（3.2）的中心，中心焦点或焦点

→G（）≡0,称为奇异情形此时m=n，：

变换y=ux，则3.2变为：

其中：

下面则是奇点的情况：

定理3.2考察方程组（3.2）设G（）≡0（从而m=n）且是解析函数，从n+1项开始则：

a）最多除了，其中，以及共2n方向外，沿着其余方向，方程组（3.2）有唯一轨线进入奇点.

b）Zn（1,Uk）=o,若在（x，y）平面上或者沿或有（3.2）的两条轨线同时从射线y=uxk,x﹥0或（x﹤0）的两侧进入{0},或者沿着和各有一条轨线进入{0}，这决定在（x,u）平面经过（0,uk）的解曲线与u轴相切时，它时落在u轴的一侧或两侧。

c）若Yn（0,1）≠0在（x,y）平面上有两条轨线分别沿进入{0}.

d）若，则（0,uk）为奇点，则必须再次进行类似讨论。

令:

则方程（3.4）可写为:

设:

其中整数c≥1则有：

下面则根据CHk的符号以及L的奇偶性进行讨论：

定理3.4设L是奇数CHk﹥0则,为第一类正常区域，有无数条轨线沿进入奇点。

定理3.5设L为奇数CHk﹤0则是第二类正常区域，有轨线沿进入奇点{0}.

定理3.6设L为偶数，则是第三类正常区域，则无轨线进入奇点{0}.

定理3.7设是G（）=0的L重根，L为奇数，满足如下条件：

并且当L＝1时：

而当L>1时:

则（3.2）只有唯一轨线沿进入奇点{0}.

定理3.8：

设是G（）=0的L重根，L是偶数，令：

设在扇形区域，当充分小时有，

则在中有方程（3.2）的无数条轨线沿进入奇点{0}设：

则在无方程（3.2）的轨线沿着进入奇点，其中常数:

定理3.9如果不存在使对一切，都是方程（3.1）的特殊方向，则（3.1）的轨线如果进入奇点0，它只能螺旋形地进入或沿一定方向进入。

定理3.10若原点0是方程（3.1）地孤立奇点，X（x,y），Y（X,Y）在原点O地领域上解析，则（3.1）如果有轨线进入奇点0，它只能螺旋形地进入或沿着固定方向进入。

§4特征根实部不为零和是一对纯虚根时附加非线性项地情形

这一节我们将用上面一节地方法对两种特殊情况奇点的判定。

考察方程：

（4.1）

（4.2）

其中a,b,c,d,是实数；且在原点地领域中，对（x,y）连续，还满足唯一性条件，我们对（4.2）引入3个条件：

a）,=o（r）,r→0

b）,在原点地小领域内对x,y可微。

c）,,r→0,其中是任意小的正数，则可得出结论：

ⅰ）当线性方程组（4.1）地奇点是焦点，如果方程组（4.2）地附加项满足条件a），则奇点0仍是（4.2）地焦点，且稳定性不变。

ⅱ）当奇点0是（4.1）地鞍点和正常结点，如果满足条件a）和b），则相应地奇点0仍分别是（4.2）的鞍点和正常结点，且对正常结点来说，不改变稳定性。

ⅲ）当奇点0是（4.1）的退化结点时，如果满足条件c）则奇点o仍是（4.2）的退化结点，且不改变稳定性。

ⅳ）当奇点o时（4.1）的临界点时，如果满足条件b）和c），则奇点0仍是（4.2）的临界点，且不改变稳定性。

下面是当特征根是一对纯虚根情形的讨论：

定理4.1：

设0（0,0）是（4.1）的中心，又设（4.2）的附加项（x,y）和（x,y）都满足条件a）,则0（0,0）是（4.2）的中心，焦点或中心焦点。

中心焦点的判别法：

考察方程

（4.3）

取形式级数：

其中，，都是x，y的k次齐次多项式，FK中的系数待定，使之满足

，

然后若能证明一下级数收敛，则奇点0就是中心:

，

记:

约定

即（4.4）

其系数行列式:

（4.2.1）

（对于一切奇数2m+1，相应方程（4.4）必有解，若对于一切偶数2m，相应的线性方程组4.4也有解，则奇点0是方程（4.3）的中心，F（x,y）＝c是方程（4.3）的第一积分，若存在偶数2m，相应的方程4.4无解，而对应于偶数2……2（m+1）相应的方程组（4.4）有解，这时引进新的未知数

方程组：

必有解，且≠0，这时奇点o为稳定焦点，当﹤0，为不稳定焦点当﹥0。

§5奇点的几何分类

在非线性奇点一节里，我们引进了特殊方向，并讨论了有无轨线以及有多少条轨线沿特殊方向进入奇点，但仅仅有了这些信息还不足以确定奇点领域的拓扑结构；为此，还必须弄清楚两个特殊方向之间轨线的可能走向。

在这一节里，我们将把奇点的领域分成一些曲边扇形，然后讨论平面孤立奇点附近究竟可能有多少种不同的曲边扇形。

知道了某以孤立奇点领中有那些不同类型的曲边扇形以及他们的相对位置，这个奇点领域的拓扑结构就确定了。

在这一部分我们除了要求平面微分方程的右侧函数式连续的并且满足条件确保的唯一性。

定义：

如果对于任给﹥0，在孤立奇点0的领域中，都包含围绕0的闭轨线，这时奇点0或是中心或是焦点，这样的奇点0就叫做中心型。

定理5.1设0是非中心型孤立奇点，则至少存在两条或当t→+∞时或者t→-∞时进入0的半轨线L即0时它的唯一极限点。

定理5.2设{0}是非中心型孤立奇点，则存在，f（Q,I+）及f（Q,I-）都有这样的性质：

他或者进入奇点0，或者离开。

即所谓f（Q,I+）（或f（Q,I-））离开，是指对任意T﹥0，T1﹥T,f（Q,I+）（或f（Q,I-））

由定理5.2我们从中出发轨线分成三类：

1）：

f（Q,I）叫做抛物线型轨线，若f（Q,I+）和f（Q,I-）之一进入奇点，另一离开。

2）：

f（Q,I）叫做双曲型轨线，若f（Q,I+）和f（Q,I-）都离开。

3）：

f（Q,I）叫做椭圆心型轨线，若f（Q,I+）和f（Q,I-）都进入奇点0。

定理5.3设0为非中心型孤立奇点，满足定理5.2，则内的双曲扇形及双曲椭圆扇形的个数是有限的，椭圆扇形的个数也是有限的（指的是与有公共点而整个落在内的椭圆花瓣）。

定义5.1设{0}为中心型孤立奇点，满足定理5.2的条件。

对p∈,若f（Q,I+）→{0}或（f（Q,I-）→{0}），且对任给﹥0，使，或者中不存在同类型的轨线（包括f（Q,I）），或者中都是椭圆型型轨线但存在Pn∈,当n→∞时Pn→P,且，则称f（Q,I+）（或f（Q,I-）或f（Q,I））是奇点的分界线。

§6有零特征根时附加非线性项的情形

在下面一部分我们要研究线性方程足组中的q＝0，加上非线性项后的情形，也即线性方程组的特征根一个是零或两个都是零，但线性系数不全为零时，附加非线性项后奇点的性质。

ⅰ）q=0p≠0

这时相应的线性方程的特征根一个为零，另一个不为零，不失一般性，可设平面系统以化为如下形式：

（7.1）

此外，还假设0（0,0）是（6.1）的孤立奇点，P2和Q2是在点0（0,0）附近次数不低于2的解析函数。

定理6.1设0（0,0）是（6.1）的孤立奇点，且P2和Q2是内次数不低于2的解析函数，于是当充分小时，存在解析函数满足：

令:

其中

于是有：

a）:

当m是奇数且am>0时，0（0.0）是不稳定结点

b）:

当m是奇数且am<0时，0（0.0）是鞍点；另外他的四条分界线分别沿方向进入（0.0）

c）:

当m是偶数时0（0.0）是鞍结点，即由分别沿着y正半轴和负半轴进入0（0.0）的两条分界线分成两部份，一部分是抛物扇形，一部分是两个双曲扇形，另外当am>0（<0）时，抛物扇形落在右（左）半平面。

ⅱ）：

这时相应的线性方程组的两个特征根都为零，但线性项系数不全为零，研究这类奇点的手法是，做Briot-Bouquet变换y=x,将（x，y）平面上的复杂奇点0分解成（x,y）平面上的较简单奇点，这种想法起源于H.Poincare.

以下不失一般性，可设方程已化成如下形式：

又假设，P2和Q2在内解析，且最低项次数不低于2并且0（0.0）是（6.2）的孤立奇点则经过一系列的变换：

其中是内的解析函数；可为零，当时，。

（A）的奇点0的性质将由k和n的奇偶性以及和的正负号而定。

定理6.2考察方程（A）假设k=2m+1（m≥1）令＝则奇点0的性态由下表确定：

的各种可能的关系

奇点0的性质

鞍点

中心或焦点

中心或焦点

n为偶数

结点

n为奇数

由一个双曲扇形和一个椭圆扇形组成

定理6.3考虑方程组（A），假设k=2m（m≥1）则奇点0的性态由下表确定：

的各种可能关系

奇点0的性质

退化奇点

退化奇点

鞍结点

§7应用

考虑如下的三次微分系统，它又称为三次约化Kukles系统：

（7.1）

则我们可以算出它的奇点的具体情况，

ⅰ）唯一奇点：

0（0,0）当。

ⅱ）两个奇点：

0（0,0）和A1:

。

ⅲ）两个奇点：

0（0,0）和A2:

。

ⅳ）三个奇点：

自然的在所有情况中0（0,0）是强中心，它是简单的情况，我们着重考察的基本性质。

1）：

A1和A2的基本性质：

对于方程（7.1）A1和A2的jacobian矩阵：

则的相异特征值为：

则可以推出A1为鞍点。

而在ⅲ）中A2是退化奇点，特别当是Bogdanov-Takens点。

当有两个特征值：

为鞍结点。

2）B的基本性质

令B为B-或B+，x－＝令x0为x-或x+,则方程（7.1）对于B的Jacobian行列式为：

令T为迹D由行列式确定，具体如下：

当

则B的性质由T，D,所确定，明显的D≠0，因此B是非退化的，明显的a5和a6对B的性质不会由影响，下面我们将对于T,D,的不同情况对B的性质进行分析。

7.2.1）:

在这部分我们将考察

。

因此可以推出a4>0,也可以推出a1>0,相反的，如果a4>0，a1>0则可以推出D－>0,则推出D+<0,和B+为鞍点。

定理（7.1）：

如果a4>0，a1>0和可得B-是细焦点（或中心）和B+是鞍点。

7.2.2）

在这部分我们将考察的情况。

因为－<0，T－>0当且仅当：

（7.2）

则B－是不稳定焦点或，

当T－<0时：

（7.3）

则B－是稳定焦点。

定理（7.2）：

如果a1>0,a4>0和（7.2）成立，则B－是不稳定焦点，B＋是鞍点，如果a1>0,a4>0和（7.3）成立，则B－是稳定焦点，B+是鞍点。

（7.2.3）:

在这部分我们考察，我们可以得出a4>0，a1>0，x－<0,x＋<0则B＋是鞍点.

定理（7.3）假设a4>0，a1>0，则B＋是鞍点，而且：

（1）如果，则B－是稳定结点。

（2）如果，则B－是稳定非正常结点。

（3）如果，则B－是不稳定非正常结点。

（4）如果，则B－是不稳定结点。

（7.2.4）

这部分我们考虑D－<0.

定理（7.4）如果a4<0，则B－和B＋是鞍点，如果a1<0和a4>0,则B－是鞍点而且：

（1）如果，则B＋是细焦点（或中心）。

（2）如果，则B＋是稳定焦点。

（3）如果，则B＋是不稳定焦点。

（4）如果，则B＋是稳定结点。

（5）如果，则B＋是稳定非正常结点。

（6）如果，则B＋是不稳定非正常结点。

（7）如果，则B＋是不稳定结点。

参考文献：

[1]DeBaggis,H.F.,DynamicalSystemsWithStableStructures,ContributionstononlinearoscillationsⅡ（1952）,37-59

[2]Peixoto,M.M.,StructuralStability,on,two-Dimensional,Manifolds,Topology,1（1962）,101-120

[3]张芷芬,丁同仁,黄文灶,董镇喜微分方程稳定性理论，科学出版社，1985.

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