数列求和的基本方法和技巧(例题与答案).doc

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数列求和的基本方法与技巧

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：

2、等比数列求和公式：

例1、已知，求的前n项和.

解：

由

由等比数列求和公式得（利用常用公式）

＝＝＝1－

练习：

求的和。

解：

由等差数列的求和公式得

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.

例2求和：

………………………①

解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积

设……………………….②（设制错位）

①－②得（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

∴

练习：

求数列前n项的和.

解：

由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积

设…………………………………①

………………………………②

①－②得

（错位相减）

∴

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.

例3求的值

解：

设………….①

将①式右边倒序得

…………..②（倒序）

又因为

①+②得（倒序相加）

＝89

∴S＝44.5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

例4、求和:

解:

原式=

==

练习：

求数列的前n项和：

，…

解：

设

将其每一项拆开再重新组合得

（分组）

当a＝1时，＝（分组求和）

当时，＝

练习：

求数列的前n项和。

解：

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

例5求数列的前n项和.

解：

设（裂项）

则（裂项求和）

＝

＝

练习:

解：

六、并项求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

例6、数列{an}：

，求S2002.

解：

设S2002＝

由可得

……

∵（找特殊性质项）

∴S2002＝（合并求和）

＝

＝

＝

＝5

练习：

在各项均为正数的等比数列中，若的值.

解：

设

由等比数列的性质（找特殊性质项）

和对数的运算性质得

（合并求和）

＝

＝

＝10

七、利用数列的通项求和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例7、求5，55，555，…，的前n项和。

解：

∵an=59（10n-1）

∴Sn=59（10-1）+59（102-1）+59（103-1）+…+59（10n-1）

=59[（10+102+103+……+10n）-n]

=（10n＋1-9n-10）

练习：

求数列：

1，，，的前n项和。

解：

2、

3、　　=

4、=