南航《矩阵论》第四章矩阵的因子分解-2.ppt

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1,第4章矩阵的因子分解4.1初等矩阵4.24.3三角分解4.4QR分解4.5Schur定理与正规矩阵4.6奇异值分解,2,矩阵的各种分解在矩阵计算中也扮演相当重要的角色。

由于变换即矩阵，所以各种分解从根本上看是各种变换，其目的是将矩阵变换成特殊的矩阵，比如将分解用于数值计算。

3,4,5,6,7,8,9,注一般可取w=（a-e）/|a-e|,10,解由定理4.2.1=|a|=3,w=（a-e）/|a-e|,所以得,11,12,在用行、列初等变换化,为标准形式过,例4.2.1,求矩阵,的一种满秩分解。

解,程中，,求出相应的初等变换矩阵,具体变换过程如下：

13,到此知,的秩为2，,行、列变换矩阵分别为：

求出,的逆矩阵为,取,的前两列为,取,的前两列为,14,则得,的一种满秩分解,15,例4.2.2求下面矩阵的满秩分解,解对此矩阵只实施初等行变换可以得到,16,由此可知，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。

选取,17,同样，我们也可以选取,18,由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形式并不唯一。

一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成列满秩矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行满秩矩阵。

但是不同的分解形式之间有如下联系：

注：

如果均为矩阵的满秩分解，那么存在矩阵满足,19,20,21,22,23,例4.3.1,求下列矩阵的LU分解：

24,解：

25,从而得这里,26,因为,所以,27,28,29,30,31,32,33,例4.4.1利用Gram-Schmidt方法将下列矩阵进行QR分解：

解先将的三个列向量正交化与单位化：

34,所以的QR分解为：

35,Gram-Schmidt方法实质上是一种投影类方法，它将正交投影到空间。

在标准Gram-Schmidt方法中，是逐步计算出来的，需要计算时，才用到，此前不需要改动的值。

36,从而,第一步，当时，存在Householder矩阵，使得（为方便说明，不妨取负号）,如果，则，直接进行下一步。

QR分解的Householder变换法,37,从而,第二步，对，当时，存在Householder矩阵，使得,38,使得,即有,如果，则，直接进行下一步。

39,使得,第三步，对继续类似的变换，如此最多步，也即至多可以找到个矩阵,令，则为酉矩阵，从而上述算法确实得到QR分解,40,例4.4.2利用Householder变换将下列矩阵进行QR分解：

41,对向量，令,解：

从而得Householder矩阵,42,使得,（注意，即被反射到,而实际上是镜射平面的法向量）,43,对向量，令,（实际上是平面的法向量）,可得Householder矩阵,44,因此取,从而有,45,所求的QR分解为,46,47,48,49,50,51,4.6矩阵的奇异值分解,从Beltrami（1873）和Jordan（1874）提出奇异值分解（SVD）至今，SVD及其推广已经成为矩阵计算中最有用和最有效的工具之一，并在最小二乘问题、最优化、统计分析、信号与图像处理、系统理论与控制等领域被广泛使用。

52,一、从几何观测说起,圆经过变换，变成椭圆。

圆的正交方向变成椭圆的长、短轴方向,53,假定矩阵是列满秩矩阵。

一般地，维空间中的单位球面经过变换变成超椭圆。

正交方向变成超椭圆的主半轴方向。

称的个主半轴的长度为的奇异值，对应的单位向量为的左奇异向量（leftsingularvector），对应的原象为的右奇异向量。

相应的空间称为奇异空间,54,矩阵在多元统计分析中称为协方差矩阵，这说明SVD可以在其中大展拳脚，事实上也确实如此。

55,56,57,从变换的角度理解，酉变换V保持球面不变，对角矩阵将球面拉伸到一个有标准基的超椭圆，最后酉变换旋转或镜射这个超椭圆，但不改变它的形状。

因此的求解为,58,59,60,例4.6.1求下列矩阵的奇异值分解表达式,61,解：

（1）容易计算的特征值为5，0，0，所以的奇异值为。

下面计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征向量,62,由这三个标准正交特征向量组成矩阵，所以有再计算的标准正交特征向量，解得分别与5，0对应的两个标准正交特征向量,63,由这两个标准正交特征向量组成矩阵那么有,64,于是可得奇异值分解式为,65,图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解,计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。

转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵A=（aij）mn来存储。

矩阵A的元素aij是一个正的数，它相应于象素的灰度水平（graylevel）的度量值。

66,由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的条件下，将存储一个mn阶矩阵需要存储的mn个数减少到n+m+1的一个倍数。

67,压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的奇异值分解和矩阵范数下的逼近。

如果图象的数字矩阵A的奇异值分解为：

A=UVT，其展开式：

压缩矩阵A的方法是取一个秩为k（kr）的矩阵Ak来逼近矩阵A。

Ak按如下方法选取：

68,有在秩为k（kn）的所有矩阵中，矩阵Ak所对应的图象和矩阵A所对应的图象最相近。

一般的，k越大图象就越清晰。

经典的方法是选取接近k，使Ak的存储量比A的存储量减少20%。

69,存储矩阵Ak只需要存储k个奇异值，k个m维向量ui和n维向量vj的所有分量，共计k（m+n+1）个元素。

如果m=n=1000，存储原矩阵A需要存储10001000个元素。

取k=100时，图象已经非常清晰了，这时的存储量是100（2000+1）=200100个数。

和矩阵A比较，存储量减少了80%。