年湖南省岳阳市中考数学试卷(解析版).doc

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2016年湖南省岳阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）

1．下列各数中为无理数的是（　　）

A．﹣1 B．3.14 C．π D．0

2．下列运算结果正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1

3．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4

4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：

年龄（岁）

人数

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）

A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11

5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体

6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm

7．下列说法错误的是（　　）

A．角平分线上的点到角的两边的距离相等

B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C．菱形的对角线相等

D．平行四边形是中心对称图形

8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：

当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：

max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）

A．0 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　　　　　　．

10．因式分解：

6x2﹣3x=　　　　　　．

11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　　　　　　cm．

12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　　　　　　元．

13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　　　　　　度．

14．如图，一山坡的坡度为i=1：

，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　　　　　　米．

15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　　　　　　．

16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：

P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　　　　　．

三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）

17．计算：

（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．

18．已知：

如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：

BF=CD．

19．已知不等式组

（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；

（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．

20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．

21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：

AQI指数

质量等级

天数（天）

0﹣50

优

51﹣100

良

101﹣150

轻度污染

151﹣200

中度污染

201﹣300

重度污染

300以上

严重污染

（1）统计表中m=　　　　　　，n=　　　　　　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　　　　　　%；

（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？

（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．

22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

（1）求证：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．

23．数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：

直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：

角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）

24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与

（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年湖南省岳阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）

1．下列各数中为无理数的是（　　）

A．﹣1 B．3.14 C．π D．0

【分析】π是圆周率，是无限不循环小数，所以π是无理数．

【解答】解：

∵π是无限不循环小数，

∴π是无理数．

故选C．

2．下列运算结果正确的是（　　）

A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1

【分析】利用幂的有关运算性质逐一计算后即可确定正确的选项．

【解答】解：

A、a2与a3不是同类项，不能合并，故错误；

B、（a2）3=a6，正确，符合题意；

C、a2•a3=a5，故错误；

D、3a﹣2a=a，故错误，

故选B．

3．函数y=中自变量x的取值范围是（　　）

A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4

【分析】根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解该不等式即可得出结论．

【解答】解：

∵x﹣4≥0，

∴x≥4．

故选D．

4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：

年龄（岁）

人数

则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（　　）

A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11

【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．

【解答】解：

年龄是11岁的人数最多，有10个人，则众数是11；

把这些数从小到大排列，中位数是第11，12个数的平均数，

则中位数是=11；

故选B．

5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体

【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据左视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．

【解答】解：

∵几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，

∴该几何体是一个柱体，

又∵俯视图是一个圆，

∴该几何体是一个圆柱．

故选A．

6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）

A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm

【分析】依据三角形任意两边之和大于第三边求解即可．

【解答】解：

A、因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A错误；

B、因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B错误；

C、因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C错误；

D、因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D正确．

故选：

D．

7．下列说法错误的是（　　）

A．角平分线上的点到角的两边的距离相等

B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C．菱形的对角线相等

D．平行四边形是中心对称图形

【分析】A：

根据角平分线的性质，可得角平分线上的点到角的两边的距离相等．

B：

根据直角三角形斜边上的中线的性质，可得直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

C：

根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等．

D：

根据中心对称图形的性质，可得常见的中心对称图形有：

平行四边形、圆形、正方形、长方形，据此判断即可．

【解答】解：

∵角平分线上的点到角的两边的距离相等，

∴选项A正确；

∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

∴选项B正确；

∵菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，

∴选项C不正确；

∵平行四边形是中心对称图形，

∴选项D正确．

故选：

C．

8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：

当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：

max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（　　）

A．0 B．2 C．3 D．4

【分析】分x≥﹣1和x＜﹣1两种情况进行讨论计算，

【解答】解：

当x+3≥﹣x+1，

即：

x≥﹣1时，y=x+3，

∴当x=﹣1时，ymin=2，

当x+3＜﹣x+1，

即：

x＜﹣1时，y=﹣x+1，

∵x＜﹣1，

∴﹣x＞1，

∴﹣x+1＞2，

∴y＞2，

∴ymin=2，

故选B

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）

9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是　2　．

【分析】根据相反数的定义，即可解答．

【解答】解：

数轴上点A所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，

故答案为：

2．

10．因式分解：

6x2﹣3x=　3x（2x﹣1）　．

【分析】根据提公因式法因式分解的步骤解答即可．

【解答】解：

6x2﹣3x=3x（2x﹣1），

故答案为：

3x（2x﹣1）．

11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　4π　cm．

【分析】直接利用弧长公式求出即可．

【解答】解：

半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为：

=4π（cm）．

故答案为：

4π．

12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为　1.24×109　元．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：

124000万=1240000000=1.24×109，

故答案为：

1.24×109．

13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD=　70　度．

【分析】根据圆内接四边形的对角互补求∠BAD的度数即可．

【解答】解：

∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，

∴∠BCD+∠BAD=180°（圆内接四边形的对角互补）；

又∵∠BCD=110°，

∴∠BAD=70°．

故答案为：

70．

14．如图，一山坡的坡度为i=1：

，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了　100　米．

【分析】根据坡比的定义得到tan∠A=，∠A=30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．

【解答】解：

根据题意得tan∠A==，

所以∠A=30°，

所以BC=AB=×200=100（m）．

故答案为100．

15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　1＜x＜4　．

【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．

【解答】解：

∵由图象可知：

A（1，4），B（4，1），x＞0，

∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4，

故答案为：

1＜x＜4．

16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：

P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为　　．

【考点】规律型：

【分析】根据各个点的位置关系，可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，点P2016的在第四象限的角平分线上，且横纵坐标的绝对值=2016÷4，再根据第四项象限内点的符号得出答案即可．

【解答】解：

由规律可得，2016÷4=504，

∴点P2016的在第四象限的角平分线上，

∵点P4（1，﹣1），点P8（2，﹣2），点P12（3，﹣3），

∴点P2016，

故答案为．

三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）

17．计算：

（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．

【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【解答】解：

原式=3﹣2+2﹣1

=2．

18．已知：

如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：

BF=CD．

【分析】由四边形ABCD为矩形，得到四个角为直角，再由EF与FD垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形BEF与三角形CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证．

【解答】证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，

∵EF⊥DF，

∴∠EFD=90°，

∴∠EFB+∠CFD=90°，

∵∠EFB+∠BEF=90°，

∴∠BEF=∠CFD，

在△BEF和△CFD中，

，

∴△BEF≌△CFD（ASA），

∴BF=CD．

19．已知不等式组

（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；

（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．

【分析】

（1）首先分别解不等式①②，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：

（1）由①得：

x＞﹣2，

由②得：

x≤2，

∴不等式组的解集为：

﹣2＜x≤2，

∴它的所有整数解为：

﹣1，0，1，2；

（2）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，

∴积为正数的概率为：

=．

【分析】设学生步行的平均速度是每小时x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．

【解答】解：

设学生步行的平均速度是每小时x千米．

服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，

根据题意：

﹣=3.6，

解得：

x=3，

经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．

答：

学生步行的平均速度是每小时3千米．

AQI指数

质量等级

天数（天）

0﹣50

优

51﹣100

良

101﹣150

轻度污染

151﹣200

中度污染

201﹣300

重度污染

300以上

严重污染

（1）统计表中m=　20　，n=　8　．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占　55　%；

（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？

（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．

【分析】

（1）由A占25%，即可求得m的值，继而求得n的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比；

（2）首先由

（1）补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案；

（3）提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等．

【解答】解：

（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8，

∴空气质量等级为“良”的天数占：

×100%=55%．

故答案为：

20，8，55；

（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：

365×（25%+55%）=292（天），

答：

估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；

补全统计图：

（3）建议不要燃放烟花爆竹．

22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

（1）求证：

方程总有两个不相等的实数根；

（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．

【分析】

（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．

（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．

【解答】解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．

∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，

∴方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵x=0是此方程的一个根，

∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，

∴m=0或m=﹣1，

把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，

可得：

（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．

23．数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：

直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

【分析】

（1）根据∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C，只要求出∠A′B′B即可．

（2）（Ⅰ）结论：

直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可．（Ⅱ）在RT△ABB′中，利用勾股定理计算即可．

（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．只要证明∠A′B′B=90°即可解决问题．在△CBB′中求出BB′，再在RT△A′B′B中利用勾股定理即可．

【解答】解；

（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，

∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，

∴∠CBB′=∠CB′B=65°，

∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．

（2）（Ⅰ）结论：

直线BB′、是⊙A′的切线．

理由：

如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，

∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=

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