基本不等式均值不等式技巧.docx

1、基本不等式均值不等式技巧基本不等式习专题之基本不等式做题技巧【基本知识】2 2R，则ab ? L （当且仅当a2时取“二”）2.若a,bR*，则心 ab (2)若 a,b2R*，则a b 2. ab （当且仅当a时取“=”）号成立;（当且仅当a b时取“=”）2 “=”号成立.【技巧讲解】技巧一：凑项(增减项)与凑系数( 利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于 构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造)5 11 :已知X ，求函数y 4x 2 的最大值。4 4x 52.当时，求y x(8 2x)的最大值。33：设Ox ，求函数y 4x(3 2x)的最大值。214、求函

2、数y x 2(x 1)的最小值。2(x 1)25已知x 0，y ，且满足3x 2y 12，求X igy的最大值.6已知x，y为正实数，且x 2 + y2 = 1,求 x 1 + y 2的最大值.7 若 a,b,c 且 a(a b c) be 4 2 . ,求 2a b c 的最小值技巧一答案:2解析：由_ - - -知，：亠，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值， 此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。当- ，即卩x= 2时取等号 当x= 2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本

3、不等式求解， 但凑系数后可得到和为定值， 从而可利用基本不3、解： x3 2x y24x(3 2x) 2 2x(3 2x) 222x 3 2x2等式求最大值。Q3时等号成立。24解析:评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，积为常数。通常要通过添加常数、拆项(常常是拆底次的式子)等方式进行构造。5、分析lgx lgy lg(xy), xy是二项“积”的形式，但不知其“和”的形式 X y是否3x 2y定值，而已知是3x与2y的和为定值12，故应先配系数，即将 xy变形为 6 ，再用均当且仅当3x 2y，即x 2,y3时，等号成立所以lgx lg y的最大值是lg6.值不等式.lg66分析：因

4、条件和结论分别是二次和一次，故采用公式x . 1 + y 2 = x2号2 ”234同时还应化简 詁1 + y 2中y2前面的系数为7分析 初看，这是一个三元式的最值问题，无法利用即 x 1+ y 2.2 x2 +专三a b 2 ab +b来解决.换个思1解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（ 分离。x+1）的项，再将其巴丄莎FEZ 41 x + 1 * 丿 | 时,y 2、(x 1)2、解：可将上式转化为44 5 9 (当且仅当x 1(x+1)x= 1时取“=”号）。y(x 1)-11+2(x+1-1)(x+1)2 (x+1 )-3(x 1)+1当 x-1 时，x+10

5、1 一 +2 (1+x) 2-2 此时 y(x+1)当x0A A _一+2 (1+x) =- ( 一+2 (-1-x) ) -2.2,此时y (x+1) (-x-11丙 +2 (1+x)-312.2-3所以值域为：1 1(-, - ,+ )2、2-3 2、2+322+3技巧三：换元2,、 x 7x 10 “士亠1、求y （x 1）的值域。x 1Jx 2y 2、 求函数 2x 5的最大值.用不等式求最值。即化为 y mg(x)然后运用基本不等式来求最值。B(A 0, B0) , g(x)恒正或恒负的形式,24、已知x, y为正实数，且x 2 + y2 = 1,求x+厂2的最大值.参考答案:2分析

6、可先令x 2 t，进行换元，再使分子常数化，然后运用均值不等式来 解决所以x 3时，取最大值为二2.令8x 2 sin x则有x8 2 sinx丄2cos xy1y2cosxx 2y828csc2 xc 22sec x8(122sin xcos x2 2 2 2cot x) 2(1 tan x) 10 8cot x 2tan x3、解法三：(三角换元法)2 410 2 (8cot2x) (2tan2 x) 18，易求得x 12,此时y 3时“二”号成立，故最小值是18技巧四：消元(转化为函数最值，此时要注意确定变量的范围)1、 已知正数x、y满足x y ，求x 2y的最小值。12、 已知a,

7、b为正实数，2b + ab + a= 30，求函数y=不 的最小值2y_3、设x，y，z为正实数，x 2y 3z ，则xz的最小值是1解法：（消元法）丄 8 1 /曰 x 丄由 1得y ，由x y x 816当且仅当x8代即x 12,此时y3时“=”号成立，故此函数最小值是a=30 2bb + 130 2bab = b + 12 b2+ 30bb+ 118。2x 2(x 8) 16 16x 2y x x x 2 -y0x0又x0x8则x 816Jz16(x8)16 102 (x8)1018x 8x 8x 8 x 8 x 8t = b+1,1 v t v 16, ab =2t2+ 34t 31t

8、由 a 0 得，0v bv 1516 16 /_=2( t + 7 ) + 34 V t + Y 2 . t 7ab 当且仅当t = 4，即b = 3， a= 6时，等号成立。18x 3z yy 3分析本题也是三元式的最值问题由题意得 2 ，则可对xz进行消元,用x，z表示，即变为二元式，然后可利用均值不等式解决问题 解：由x,z 0,y勺丝,可得y2 x2 9z2 6xz 6xz 6xz= 3,xz 4xz 4xz当且仅当x 3z,即x y,z 1时，取“=”.32故乞的最小值为3.xz技巧五：整体代换（条件不等式）1 91 ：已知x 0, y 0，且 1，求x y的最小值。x y82、已知

9、正数x、y满足x错因：解法中两次连用基本不等式,y 2 xy等号成立条件是x y，在X y min 12。 1 91 9 2 -等号成立条件是 即y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，x y . xy x y在利用基本不等式处理问题时， 列出等号成立条件是解题的必要步骤， 而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Qx0,yc 1 9彳0, 1， xyx1 y -9y 9x10 6 10 16x yxyx y当且仅当y9x191，Jxy时，上式等号成立，又_xy可得x 4, y12 时，x y min 16。变式：(1)若x, y R且2xy1，求丄1白勺最小值xy(2)i已知a,b,

10、 x, y R 且a b1，求xy的最小值x y2、解法：(利用均值不等式): 8 丄 1x 2y (8 $(x 2y) 10 仝型 10 2 x 16y 18,当且仅当 x yx y y x Vyx x 16yy x即x 12,y 3时“=”号成立，故此函数最小值是18。技巧六：转化为不等式11.已知a, b为正实数，2b+ ab+ a = 30,求函数y= 的最小值2、 已知正数x y满足xy x y 3，试求xy、x y的范围。1 解：由已知得： 30- ab = a+ 2b / a + 2b 2 2 ab / 30 ab 2 2 ab令 u= ,ab 则 u2 + 2 2 u 30W

11、0， 5 2 u秸点评：本题考查不等式a b ab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力；2R )出发求得ab的范围，关键是寻找到如何由已知不等式ab a 2b 30 (a,b1解法： 由 x 0, y 0 ,则 xy x y 3 xy 3 x y 2 xy，即(、xy)2 2 xy 3 0 解得、.一刃 1(舍)或；xy 3，当且仅当x y且xy x y 3即x y 3时取“=”号,故xy的取值范围是9,)。又 x y 3 xy (U)2 (x y)2 4(x y) 12 0 x y 2(舍)或 x y 6，2当且仅当x y且xy x y 3即x y 3时取“=”号，故x y的取值

12、范围是6,)技巧六：取平方1、已知x，y为正实数，3x+ 2y= 10,求函数 W = 3x + 2y的最值. 2:求函数y .2x1 52xx 5)的最大值。解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系,号X尹，本题很简单2 23x + 2y 0, W2= 3x + 2y+ 2 3x 2y = 10 + 2 3x , 2y 10 + ( 3x)2( 2y)2= 10 + (3x+ 2y) =20 W 20 = 2 5解析：注意到2x 1与5 2x的和为定值。y2 (12x1 52x)2 42. (2x 1)(52x) 4(2x 1) (5 2x) 8又y 0，所以0y 22当且仅当2x1=52x，即 x3-时取等号。2故 Ymax2、2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用基本不等式。注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数 f(x) x -的单x调性。x2 51 ：求函数y 的值域。Jx2 42、若 x、y R，求 f (x) x4 （0 x 1