数学运算不定方程问题.docx

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数学运算不定方程问题

核心点拨

1、题型简介

未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。

通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax+by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。

在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

2、核心知识

形如

，

，

的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。

这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

a.不定方程是否有解？

b.不定方程有多少个解？

c.求不定方程的整数解或正整数解。

（1）二元一次不定方程

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

定理1：

二元一次不定方程

，

A.若其中

，则原方程无整数解；

B.若

，则原方程有整数解；

C.若

，则可以在方程两边同时除以

，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为B的情形。

如：

方程2x+4y=5没有整数解；2x+3y=5有整数解。

定理2：

若不定方程

有整数解

，则方程

有整数解

，此解称为特解。

方程

的所有解（即通解）为

（k为整数）。

（2）多元一次不定方程（组）

多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

例：

②－①消去x得y+2z=11   ③

③的通解为

，k为整数。

所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

（3）其他不定方程

3、核心知识使用详解

解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：

如因式分解、配方、换元等；　　

（2）不等式估算法：

利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；　　

（3）同余法：

对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；　　

（4）构造法：

构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；　　

（5）无穷递推法。

（6）特殊值法：

已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

夯实基础

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1、二元一次不定方程

例1：

（2008．云南）

小明在商店买了若干块5分钱的糖果和1角3分钱的糖果，如果他恰好用了1块钱，问他买了多少块5分钱的糖果？

A.6

B.7

C.8

D.9

【答案】

B

【解析】

[题钥]

假设若干个未知数，由给定的条件列出不定方程。

[解析]

根据题意，设小明分别买了5分钱的糖果和1角3分钱的糖果x、y块，则有：

5x和100都能被100整除，则13y（<100）也一定能被5整除，

故y只能为5，（若y=0,则选项中没有正确答案，故排除）。

故x=7，

因此，选B。

例2：

（2009．江苏A类）

有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。

为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是：

A.1辆

B.3辆

C.2辆

D.4辆

【答案】

B

【解析】

[题钥]根据条件列出方程，再根据奇偶性进行计算。

[解析]

设大客车有x辆，小客车有y辆，则有：

37x+20y=271。

根据数字的奇偶性判断：

可知20y为偶数，而271为奇数，

所以37x为奇数，故x为奇数，排除C、D。

将A、B代入方程，可知，只有当x=3时，y为整数，符合题意，

故选B。

2、多元一次不定方程（组）

例3：

（2009．国考）

甲购买3支签字笔、7支圆珠笔、1支铅笔共花费32元，乙买了4支同样的签字笔，10支圆珠笔，1支铅笔，共用去43元，如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共需多少元钱？

A.21

B.11

C.10

D.17

【答案】

C

【解析】

[题钥]

根据条件，设未知数，列出方程，采用特殊值法目的是简化解题步骤，应合理取值。

[解析]

设签字笔、圆珠笔、铅笔的单价分别为x元、y元、z元，则有

设系数最复杂的y=1，则有

解得x=8，z=1，

所以签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，需要：

x+y+z=8+1+1=10。

因此，选C。

3、其他不定方程

例4：

某大学军训，军训部将学员编成8个小组，如果每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人；如果每组人数比预定人数少1人，那么学员总数将不到90人。

由此可知，预定的每组学员人数是：

A.20人

B.18人

C.16人

D.12人

【答案】

D

【解析】

[题钥]根据条件列出不等式，再根据整除的性质判断。

[解析]

假设预定的每组学员人数为x,故学员总人数为8x。

“每组人数比预定人数多1人，那么学员总数将超过100人”，

即8（x+1）>100,8x>92，

可知总人数大于92人。

“每组人数比预定人数少1人，那么学员总数将不到90人”，

即8（x-1）<90,8x<98，

可知总人数小于98人。

（92，98）范围内能被8整除（x为非负整数，故8x是8的倍数）的数只有96，

故每组有学员96÷8=12人。

因此，选D

进阶训练

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1、二元一次不定方程

例5：

（2010．浙江）

工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个；工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽7个。

现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个，问生产的螺丝比螺丝帽多几个？

A.34个

B.32个

C.30个

D.28个

【答案】

A

【解析】

[题钥]

假设甲生产螺丝帽x分钟，生产螺丝x’分钟，则

得：

同理，

在列不定方程时，即可使用20-x来代替

，从而简化方程、减少未知数个数，降低题目难度。

[解析]

设工人甲生产螺丝帽x分钟，工人乙生产螺丝帽y分钟，则有：

，即：

，

化简得

，

x、y均为非负整数，经检验（代入排除法），

只有x=4，y=2符合条件。

则生产的螺丝比螺丝帽多

个。

因此，选A。

2、多元一次不定方程（组）

例6：

在1500年前的“张立建算经”里曾提出了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题：

“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

”鸡翁、鸡母、鸡雏的个数均不为0，则共有几种情况？

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】

D

【解析】

[题钥]

根据条件列方程（组），然后再根据数的奇偶性进行判断。

[解析]

设鸡翁、鸡母、鸡雏各x、y、z只，

则有

3×①-②得7x+4y=100，

数字的奇偶性可知：

100、4y均为偶数，则7x必为偶数，即x必为偶数。

根据题意，x、y、z均为非负整数：

由方程①可得

是整数，即z能被3整除。

由7x+4y＝100可知，x的取值范围在[0,15）之间，

根据x+y+z=100②经验证（代入法），共有3组正整数解，分别为

，

因此，选D。

3、其他不定方程

例7：

（2005．山东）

甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册、有2人各捐7册，其余各捐11册；乙班有1人捐6册，有3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余人各捐9册。

已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，各班捐书总数在400～550之间。

那么，甲、乙、丙三个班各有多少人？

A.48,50,53

B.49,51,53

C.51,53,49

D.49,53,51

【答案】

C

【解析】

[题钥]

不定方程（组）问题的求解，往往不需要全部求得每个方程的解，利用某个方程的解即可推断出其它方程的解。

利用代入法也可快速排除选项。

[解析]

根据题意可知，甲班捐赠的图书最多，丙班捐赠的图书最少，

甲班比丙班多捐赠：

28+101=129册。

而丙班捐赠的图书不少于400册，甲班捐赠的图书不多于550册，

则甲班捐赠的图书在529—550册之间；

设甲班人数为x，则

529≤1×6+2×7+11（x-3）≤550，

即

，

故x可取50或51。

观察选项，只有C符合。

在公务员考试中，大家经常会遇到一种比较头痛的题目，那就是不定方程类的题目，很多考生都会有无从下手的感觉。

其实，这类题目，只要掌握了常考的类型和典型解法，在考场上解决掉这类题目还是非常简单的，接下来我们就一起来看看考试中经常遇到的不定方程类型与解法。

类型一，利用数字特性，结合代入法

这类题目往往是会利用数字特性，例如整除、奇偶、尾数等特性，然后结合代入法，得到正确答案。

【例1】共有20个玩具交给小王手工制作完成。

规定制作的玩具每合格一个得5元，不合格一个扣2元，未完成的不得不扣。

最后小王共收56元，那么他制作的玩具中不合格的共有（  ）个。

A.2                  B.3

C.5                  D.7

【解析】设合格为x，不合格为y，所以5x-2y=56，而由5x=2y+56可知，2y+56一定是5的倍数，因此，可以排除B、C；代入D选项，y=7，解得x=14，x+y＞20，排除，只剩下A选项，（代入A，y=2，x=12，x+y＜20，满足题目条件），所以选A。

【例2】一个人到书店购买了一本书和一本杂志，在付钱时，他把书的定价中的个位上的数字和十位上的看反了，准备付21元取货。

售货员说：

“您应该付39元才对。

”请问书比杂志贵多少钱？

（  ）

A.20                B.21

C.23                D.24

【解析】设书的价格为x，杂志的价格为y，根据题意，我们很容易知道x+y=39，题目让我们求x-y，根据奇偶特性，两数和为奇数、两数差也为奇数，因此我们知道了排除A、D，所以答案不是B就是C，将选项B代入，x+y=39、x-y=21，可以解得x=30，y=9，根据题意有3+9=12，不满足题意；将选项C代入，可以解得x=31，y=8，满足13+8=21的条件；因此选C。

【例3】有271位游客欲乘大、小两种客车旅游，已知大客车有37个座位，小客车有20个座位。

为保证每位游客均有座位，且车上没有空座位，则需要大客车的辆数是（  ）

A.1辆                B.3辆

C.2辆                D.4辆

【解析】设大小客车分别为x、y，根据题意有37x+20y=271，由于20y是尾数为0的数，因此，37x的尾数一定是1，代入选项，只有选B。

类型二，利用特解思想

这类题目，往往要求大家解不定方程组，解的时候，我们只需要将某一个未知数设为0，往往是系数较大的未知数，然后求解。

【例4】甲买了3支签字笔、7支圆珠笔和1支铅笔，共花了32元，乙买了4支同样的签字笔、10支圆珠笔和1支铅笔，共花了43元。

如果同样的签字笔、圆珠笔、铅笔各买一支，共用多少钱（  ）

A.10元              B.11元

C.17元              D.21元

【解析】设签字笔、圆珠笔、铅笔的价格分别为x、y、z，得方程组：

3x+7y+z=32，4x+10y+z=43，为典型的不定方程组，可以利用特解思想，令系数较大的y=0，然后求解，得到x=11、z=-1，所以x+y+z=10，选A。

【例5】去超市购买商品，如果购买9件甲商品、5件乙商品和1件丙商品，一共需要72元；如果购买13件甲商品、7件乙商品和1件丙商品，一共需要86元。

若甲、乙、丙三种商品各买2件，共需要多少钱？

A.88                B.66

C.58                D.44

【解析】解法同例4，解得2（x+y+z）=88，选A。

类型三，单纯利用代入法来解

这类题目条件不多，只需要单纯地用代入法，就可以将答案找到。

【例6】装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒能装11个，小盒每盒能装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？

（    ）

A.3，7              B.4，6

C.5，4              D.6，3

【解析】设大小盒分别为x、y，则有11x+8y=89，由于没有其他条件，我们只能采取直接代入法来解，最终，只有A选项符合条件，选A。

【例7】有若干张卡片，其中一部分写着1.1，另一部分写着1.11，它们的和恰好是43.21。

写有1.1和1.11的卡片各有多少张?

A.8张，31张        B.28张，11张

C.35张，11张        D.41张，1张

【解析】本题采用代入排除法。

将选项中的数代入验证。

只有选项A满足。

所以选择A选项。

综上所述，在考试的时候，如果大家遇到不定方程的题目，只需要按照这几种常见思路去解，应该可以很容易解答