33解一元一次方程二去括号与去分母.docx
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33解一元一次方程二去括号与去分母
3.3解一元一次方程
（二）──去括号与去分母
内容简介
本节继续结合一些实际问题讨论一元一次方程，重点讨论两方面的问题：
（1）如何根据实际问题列方程？
（2）如何解方程？
这节重点讨论解方程中的“去括号”和“去分母”，这样就可以解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．
本节从一道“用电问题”，引出解方程中的“去括号”问题；又从古代埃及的纸莎草文书中的一道题，引出带有分母的一元一次方程，进而讨论用去分母的方法解这类方程．
在本节中，以解一个具体方程的过程为例，用框图形式表示了一元一次方程解法的一般步骤．
教学目标
1．会根据题意列方程．
2．会去括号、去分母解一元一次方程．
3．了解一元一次方程解法的一般步骤．
4．会通过列方程解决实际问题，并会将含有分母的方程化归成熟悉的方程，逐步体会化归的方法，掌握解方程的程序化方法．
5．结合实际问题中得出的方程，会用“去括号”和“去分母”解一元一次方程，进一步体会化归思想．
6．通过实际情景问题引入，提高学生的兴趣，激发学生探究欲望．
教学重点
本节的重点是通过实际问题讨论解方程中的“去括号”和“去分母”，理解各种类型的一元一次方程，并归纳出一元一次方程解法的一般步骤．在列方程求解的过程中经常用到“去括号”和“去分母”两种变形运算，是代数的基础知识和基本技能．在教学中重点抓住分析括号中的符号、系数问题，去分母时保证方程同解等重点内容．随着方程形式复杂程度的加深，要求运算能力也随之提高．
教学难点
本节的难点是根据实际问题列方程，并能正确求解，解方程过程中正确去括号和去分母．由于实际问题的类型多种多样，问题中的数量关系不一定明显，列方程成为教学中难点，因此列方程解决问题要反复逐步细化，多种形式展示方程求解的一般步骤．“去括号”和“去分母”变形时，保证方程同解是难点之一，如去括号时的负号问题等．
课时安排
4课时．
教案A
第1课时
教学内容
去括号．
教学目标
1．掌握解一元一次方程中“去括号”的方法，并能解此类型的方程．
2．了解一元一次方程解法的一般步骤．
3．通过归纳一元一次方程解法的一般步骤，体会解方程的程序化思想方法．
4．通过具体实例引入新问题（如何去括号），激发学生的学习兴趣．
教学重点
通过“去括号”解一元一次方程．
教学难点
在去括号时括号内符号的变化过程．
教学过程
一、复习旧知导入新课
按具体步骤解下列方程：
2x＋5x－3x＋12＝24－2x．
按移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解，并和同学一起回忆这个步骤．
二、创设情境讲授新课
问题1某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000kW•h（千瓦•时），全年用电15万kW•h．这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？
提问：
你会用方程解这道题吗？
让学生自主分析列出式子（设出未知量、找出各个量和他们之间的关系，列出式子）．
设上半年每月平均用电xkW•h，则下半年每月平均用电（x－2000）kW•h；上半年共用电6xkW•h，下半年共用电6（x－2000）kW•h．
根据全年用电15万kW•h，列得方程
6x＋6（x－2000）＝150000．
如果去括号，就能简化方程的形式．
下面的框图表示了解这个方程的流程：
由上可知，这个工厂去年上半年每月平均用电13500kW•h．
思考：
本题还有其他列方程的方法吗？
用其他方法列出的方程怎样解？
设上半年平均每月用电x度，列方程
x＋x－2000＝
即方程中等号左右两边都是一年中每两个月的平均用电量，解法为
2x－2000＝25000，
2x＝27000，
x＝13500．
从以上例子中归纳总结出解含括号的一元一次方程的步骤：
去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
三、实例分析巩固提高
例1解下列方程：
（1）2x－（x＋10）＝5x＋2（x－1）；
（2）3x－7（x－1）＝3－2（x＋3）．
解：
（1）去括号，得
2x－x－10＝5x＋2x－2．
移项，得
2x－x－5x－2x＝－2＋10．
合并同类项，得
－6x＝8．
系数化为1，得
x＝－
．
（2）去括号，得
3x－7x＋7＝3－2x－6．
移项，得
3x－7x＋2x＝3－6－7．
合并同类项，得
－2x＝－10．
系数化为1，得
x＝5．
四、小结
这节课学习到了什么？
和上节课相比今天所学的一元一次方程有什么不同？
解含括号的一元一次方程的基本步骤是什么？
去括号是应注意哪些事项？
五、作业
教科书第98页习题3.3第1题
第2课时
教学内容
去括号．
教学目标
1．进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．
2．通过分析行程问题中顺流速度、逆流速度、水流速度、静水中的速度的关系，以及零件配套问题中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．
3．培养学生自主探究和合作交流意识和能力，体会数学的应用价值．
教学重点
分析问题中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出一元一次方程，并会解方程．
教学难点
找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出方程．
教学过程
一、复习提问
1．行程问题中的基本数量关系是什么？
路程＝速度×时间
可变形为：
速度＝路程/时间，时间＝路程/速度．
2．相遇问题或追及问题中所走路程的关系？
相遇问题：
双方所走的路程之和＝全部路程＋原来两者间的距离（原来两者间的距离）．
追及问题：
快速行进路程＝慢速行进路程＋原来两者间的距离或快速行进路程－慢速行进路程＝原路程（原来两者间的距离）．
二、讲授新知
例2一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．
分析：
一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此得出：
顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间．
解：
设船在静水中的平均速度为xkm/h，则顺流速度为（x＋3）km/h，逆流速度为（x－3）km/h．
根据往返路程相等，列得
2（x＋3）＝2.5（x－3）．
去括号，得
2x＋7＝2.5x－7.5．
移项合并同类项，得
0.5x＝13.5．
系数化为1，得
x＝27．
答：
船在静水中的平均速度为27km/h．
三、巩固练习
教科书第99页第7题．
练习：
在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求：
（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；
（2）两机场之间的航程．
解：
（1）若设无风时飞机的航速为xkm/h，那么与上例类似，可得顺风飞行的速度为（x＋24）km/h，逆风飞行的速度为（x－24）km/h．
根据往返路程相等，列得
2.8（x＋24）＝3（x－24）．
去括号，得
2.8x＋67.2＝3x－72．
移项合并同类项，得
－0.2x＝139.2．
系数化为1，得
x＝696．
（2）两机场之间的航程为
2.8（x＋24）＝2.8（696＋24）＝2016km．
答：
（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速为696km/h；
（2）两机场之间的航程是2016km．
四、小结
通过以上问题的讨论，我们进一步体会到列方程解决实际问题的关键是正确地建立方程中的等量关系．另外在求出x值后，一定要检验它是否合理，虽然不必写出检验过程，但这一步绝不是可有可无的．
五、作业
教科书第98页习题3.3第2
（1）
（2）、8题．
第3课时
教学内容
去分母．
教学目标
1．掌握解一元一次方程中“去分母”的方法．
2．了解一元一次方程解法的一般步骤．
3．体会解方程的程序化思想方法，发展用方程方法分析问题、解决问题的能力．
教学重点
通过“去分母”解一元一次方程．
教学难点
探究通过“去分母”的方法解一元一次方程．
教学过程
一、创设问题情境
纸莎草文书，是古代埃及人用象形文字写在一种特殊的草上的著作，至今已有3700多年的历史了，在文书中记载了很多有关数学的问题，其中一个是：
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．求这个数是多少？
提出问题：
同学们能不能用方程解决这个问题？
大家思考并列式子．老师对同学们的回答进行总结．
二、新课讲解
这个问题可以用现在的数学符号表示，设这个数是x，根据题意得方程．
x＋
x＋
x＋x＝33．
这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可以使这些方程中的计算更简便些．
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等．这个方程中各分母的最小公倍数是42，方程两边同乘42，得：
42×
x＋42×
x＋42×
x＋42x＝42×33．
即
28x＋21x＋6x＋42x＝1386．
合并同类项，得
97x＝1386．
系数化为1，得
x＝
．
建议：
先让学生尝试独立解答，老师巡视，观察学生的解题方法，并请同学表述解法及解法依据．
第一种：
直接合并同类项的方法；第二种：
去分母的方法．
提问：
不同的解法有什么各自的特点？
老师引导学生分析并对比两种方法，得到共识：
当方程中就含有分数系数时，先去分母可以使解题更加方便、快捷．
上节课，我们学习了教科书第99页练习第7题的一种解法，请同学们想一想还有没有另外的解法．
练习：
在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求：
（1）无风时这架飞机在这一航线的平均航速；
（2）两机场之间的航程．
解法2如果设两城之间的航程为xkm，你能列方程吗？
这时它们之间的相等关系是什么？
分析：
由两城间的航程xkm和顺风飞行需2.8小时，逆风飞行需要3小时，可得顺风飞行的速度为
km/h，逆风飞行的速度为
km/h．
在这个问题中，飞机在无风时的速度是不变的，即飞机在顺风飞行和逆风飞行中，无风时这架飞机在这一航线的平均航速相等，根据这个相等关系，列得方程
－24＝
＋24．
移项、去分母（这里要求得两个分母的最小公倍数，最小公倍数是42）、合并同类项、系数化为1，得
x＝2016．
无风时这架飞机在这一航线的平均航速
－24＝
－24＝696km/h．
老师出一个题目：
问同学们怎样求解？
通过讨论先去分母，然后求解．可以分组讨论，得出正确的去分母方法．
然后归纳总结出去分母的方法：
在方程两边乘以所有分母的最小公倍数；依据是“等式两边同时乘同一个数，结果仍相等”．
结合本题思考，让学生总结解这种方程的一般操作过程：
去分母—去括号—移项—合并同类项—系数化为1．
三、归纳总结
总结这节课学习到了什么？
和上节课相比我们这节课有什么新的内容？
在解含有分数的方程时应该按什么步骤进行？
去分母对解方程有什么作用？
去分母时应注意什么问题？
四、作业
教科书第98页习题3.3第3题．
第4课时
教学内容
去分母．
教学目标
使学生灵活应用解方程的一般步骤，提高综合解题能力．
教学重点
灵活应用解题步骤．
教学难点
在“灵活”二字上下功夫．
教学过程
一、复习
一元一次方程的解题步骤、分数的基本性质．
二、讲授新知
接着看看上节课的方程，并以之为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤．
方程
中各分母的最小公倍数是10，方程的两边乘10，于是方程左边变为
10×
＝10×
－10×2＝5（3x＋1）－10×2，
去了分母，方程右边变为
10×
＝10×
－10×
＝（3x－2）－2（2x＋3）．
下面的框图表示了解这个方程的流程．
归纳：
解一元一次方程的一般步骤包括：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等．通过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x＝a的形式转化，这个过程主要依据等式的基本性质和运算律等．
三、实例分析
例3解下列方程
（1）
－1＝2＋
；
（2）3x＋
＝3－
．
解：
（1）去分母（方程两边乘4），得
2（x＋1）－4＝8＋（2－x）．
去括号，得
2x＋2－4＝8＋2－x．
移项，得
2x＋x＝8＋2－2＋4．
合并同类项，得
3x＝12．
系数化为1，得
x＝4．
（2）去分母（方程两边乘6），得
18x＋3（x－1）＝18－2（2x－1）．
去括号，得
18x＋3x－3＝18－4x＋2．
移项，得
18x＋3x＋4x＝18＋2＋3．
合并同类项，得
25x＝23．
系数化为1，得
x＝
．
四、小结
若方程的分母是小数，应先利用分数的性质，把分子、分母同时扩大若干倍，此时分子要作为一个整体，需要补上括号，注意不是去分母，不能把方程其余的项也扩大若干倍．
五、作业
教科书第98页习题3.3第4、11题．
教案B
第1课时
教学内容
去括号．
教学目标
1．掌握用一元一次方程解决实际问题的方法，会用分配律，去括号解决关于含括号的一元一次方程；
2．经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．
教学重点
列方程解决实际问题，会解含有括号的一元一次方程．
教学难点
建立等量关系．
教学过程
一、导入新课
我们已经学习了运用一元一次方程解决一些比较简单的实际问题．本节继续讨论如何列、解一元一次方程的问题．当问题中数量关系较复杂时，列出的方程的形式也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些．
二、问题探究
问题某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000kW•h（千瓦•时），全年用电15万kW•h．这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？
你会用方程解这道题吗？
提出问题：
1．本问题的等量关系是什么？
2．如果设上半年每月平均用电x度，那么怎样表示下半年每月平均用电量、上半年共用电量和下半年共用电量．
3．根据等量关系，列出方程．
4．怎样解这个方程．
思路点拨：
本问题的等量关系是：
上半年用电量（kW•h）＋下半年用电量（kW•h）＝150000kW•h．
设上半年每月平均用电xkW•h，则下半年每月平均用电（x－2000）kW•h；上半年共用电6xkW•h，下半年共用电6（x－2000）kW•h．
根据全年用电15万kW•h，列得方程
6x＋6（x－2000）＝150000．
思考：
本题还有其他列方程的方法吗？
用其他方法列出的方程应怎样解？
点拨：
如果设去年下半年平均每月用电x度，那么怎样列方程呢？
这个方程的解是问题的答案吗？
设下半年平均每月用电x度，则上半年平均每月用电（x＋2000）度，列方程
6（x＋2000）＋6x＝150000．
方法一是直接设元法，方程的解就是问题的答案；方法二是间接设元法，方程的解并不是问题答案，需要根据问题中的数量关系求出最后答案．
方程中有带括号的式子时，利用分配律去括号是常用的化简步骤．
通过解方程可知，这个工厂去年上半年每月平均用电13500kW•h．
三、巩固练习
1．解下列方程：
（1）5（x＋2）＝2（5x－1）；
（2）（x＋1）－2（x－1）＝1－3x；
（3）2（x－2）－（4x－1）＝3（1－x）；
（4）3（x－2）＋1＝x－（2x－1）．
2．列方程解应用题
两辆汽车，一辆的速度是50km/h，另一辆的速度是80km/h，在某段时间内快车比慢车多行了150km．这段时间有几小时?
参考答案：
1
（1）x＝
（2）x＝－1（3）x＝6（4）x＝
2．设这段时间有x小时，列方程（80－50）x＝150，解得x＝5（小时）
四、小结
本节课我们继续讨论列方程解决实际问题，同时学习了如何解含有括号的方法，解此类方程，一般地先去括号，后移项，合并，系数化为1，并且注意去括号时易出错的问题．
第2课时
教学内容
去括号．
教学目标
1．进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤．
2．通过实际问题中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用．
教学重点
分析问题中的数量关系，寻找相等关系，解一元一次方程．
教学难点
找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出方程．
教学过程
一、实例分析
例一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度．
分析：
（1）顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流速度，船在静水中的速度之间的关系如何？
顺流行驶速度＝船在静水中的速度＋水流速度；
逆流行驶速度＝船在静水中的速度－水流速度．
（2）设船在静水中的平均速度为xkm/h，那么，问题中的相等关系是什么？
一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此得出：
顺流速度×顺流时间＝逆流速度×逆流时间．
解：
设船在静水中的平均速度为xkm/h，则顺流速度为（x＋3）km/h，逆流速度为（x－3）km/h．
根据往返路程相等，列得
2（x＋3）＝2.5（x－3）．
去括号，得
2x＋7＝2.5x－7.5．
移项合并同类项，得
0.5x＝13.5．
系数化为1，得
x＝27．
答：
船在静水中的平均速度为27km/h．
二、巩固练习
1．一艘货轮往返于两个码头间运送货物，顺流而下时，通常用5h；逆流而上时通常用8h，已知它在静水中的速度是26km/h．求水流的速度是多少?
2．学校团委组织65名新团员为学校建花坛搬砖，女同学每人每次搬6块，男同学每人每次搬8块，每人各搬4次，共搬了1800块．问这些新团员中有多少名男同学?
参考答案
1．设水流速度为xkm/h，列方程5（26＋x）＝8（26－x），解得x＝6．水流速度为6km/h．
2．设有x名男同学，列方程[8x＋6（65－x）]×4＝1800，解得x＝30．有30名男同学．
三、小结
列方程解决实际问题的关键是正确地建立方程中的等量关系，并且在求出x值后，一定要检验它是否合理，虽然不必写出检验过程，但这一步绝不是可有可无的．
第3课时
教学内容
去分母．
教学目标
1．使学生掌握去分母解方程的方法．
2．经历去分母解方程的过程，体会把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的转化的思想方法．
教学重点
掌握去分母解方程的方法．
教学难点
求各分母的最小公倍数，以及去分母时，有时要添括号．
教学过程
一、问题探究
下面我们来讨论英国伦敦博物馆保存的一部极其珍贵的文物——纸莎草文书中的一个有关数学的问题．
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33．求这个数是多少？
用现在的数学符号表示，这道题就是方程．设这个数是x，根据题意可得
x＋
x＋
x＋x＝33．
当时的埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程．
上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可使解方程中的计算更方便些．
只要将方程两边同乘以42，就可化去方程中的分母，方程两边同乘42，得
42×
x＋42×
x＋42×
x＋42x＝42×33．
即
28x＋21x＋6x＋42x＝1386．
解方程得
x＝
．
二、深化提高
为更全面地讨论问题，我们再以方程
为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤．
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等，由此能否去掉这个方程的所有分母呢？
要乘的这个数是多少比较合适呢？
这个数就是方程中各分母的最小公倍数10，方程两边同乘以10，于是方程左边变为：
10×
＝10×
－10×2＝5（3x＋1）－10×2，
去了分母，方程右边变为
10×
＝10×
－10×
＝（3x－2）－2（2x＋3）．
三、归纳总结
1．去分母所选的乘数应是所有分母的最小公倍数，不应遗漏；
2．用分母的最小公倍数去乘方程的两边时，不要漏掉等号两边不含分母的项，如上面方程中的“2”．
3．去掉分母以后，分数线也同时去掉，分子上的多项式用括号括起来．
回顾解以上方程的全过程，表示了一元一次方程解法的一般步骤，通过去分母—去括号—移项—合并—系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x＝a的形式转化．
这个过程主要依据等式的性质和运算律等．
第4课时
教学内容
去分母．
教学目标
使学生灵活应用解方程的一般步骤，提高综合解题能力．
教学重点
总结解方程的步骤．
教学难点
灵活应用解方程的一般步骤．
教学过程
一、复习导入
1．解一元一次方程实际上就是将一个方程利用等式性质和运算律进行一系列的变形，最终化为x＝a，一般地，先去分母，然后移项、合并同类项，最后系数化为1，当然这些步骤并不是一成不变的，要灵活运用这些步骤．
2．去分母就是根据等式性质2，在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，常犯错误是漏乘不含有分母的项，再一个容易错误的地方是对分数线的理解不全面，分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上．
二、新课教学
例解下列方程
（1）
－1＝2＋
；
（2）3x＋
＝3－
．
解：
（1）去分母（方程两边乘4），得
2（x＋1）－4＝8＋（2－x）．
去括号，得
2x＋2－4＝8＋2－x．
移项，得
2x＋x＝8＋2－2＋4．
合并同类项，得
3x＝12．
系数化为1，得
x＝4．
（2）去分母（方程两边乘6），得
18x＋3（x－1）＝18－2（2x－1）．
去括号，得
18x＋3x－3＝18－4x＋2．
移项，得
18x＋3x＋4x＝18＋2＋3．
合并同类项，得
25x＝23．
系数化为1，得
x＝
．
三、巩固练习
1．在括号里填写下列解方程各步骤的名称：
解方程
解：
5（3x－1）＝2（4x＋2）－10（）
15x－5＝8x＋4－10，（）
15x－8x＝5＋4－10，（）
7x＝－1，（）
（）
2．一件工作，甲独做20小时完成，乙独做12小时完成，现在先由甲独做4小时，剩下的部分由甲、乙合作，剩下的部分要几小时完成?
3．要加工200个零件，甲先单独加工5小时，又与乙一起加工4小时，完成了任务．已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙每小时各加工多少个零件?
参考答案：
1．去分母，去括号，移项，合并，系数化1；
2．设剩下部分需x小时完成，列方程
＋
＋
＝1，解得x＝6；
3．设乙每小时加工x个零件，列方程5（x＋2）＋4（x＋2）＋4x＝200，解得x＝14．甲每小时加工16个零件，乙每小时加工14个零件．
四、课堂小结
注意工程问题有哪三个基本量？
这些基本量之间有怎样的关系．
课后练习
1．填空
一件工作，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，那么甲、乙的工作效率分别为_____，______；甲、乙合作m小时可以完成的工作量为_______．
2．解答题
（1）抗洪抢险中修补一段大堤，甲队单独施工12天完成，乙队单独施工8天完成；现在由甲队先工作两天，剩下的由两队合作完成，还
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