初中分解因式常用方法讲解.docx
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初中分解因式常用方法讲解
初中分解因式常用方法讲解
提取公因式法
【例1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.
⑴
；⑵
⑶
；⑷
【例2】分解因式：
⑴
；⑵
⑶
⑷
【巩固】分解因式：
【巩固】⑴
；⑵
【例3】分解因式
⑴
⑵
【巩固】分解因式：
⑴
⑵
【巩固】分解因式：
⑴
⑵
【例4】分解因式：
⑴
（
为正整数）
⑵
（
、
为大于1的自然数）
【巩固】分解因式：
，
为正整数.
【例5】先化简再求值，
，其中
，
．
【巩固】求代数式的值：
，其中
.
对应习题
一、选择题
1．下列各式公因式是a的是（）
A.ax＋ay＋5B．3ma－6ma2C．4a2＋10abD．a2－2a＋ma
2．－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A.－3xB．3xzC．3yzD．－3xy
3．把多项式（3a－4b）（7a－8b）＋（11a－12b）（8b－7a）分解因式的结果是（）
A．8（7a－8b）（a－b）;B．2（7a－8b）2;C．8（7a－8b）（b－a）;D．－2（7a－8b）
4．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）
A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）
5．下列各个分解因式中正确的是（）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）3－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
6．观察下列各式:
①2a＋b和a＋b，②5m（a－b）和－a＋b，③3（a＋b）和－a－b，④x2－y2和x2+y2。
其中有公因式的是（）A．①②B.②③C．③④D．①④
二、填空题
7．当n为_____时，（a－b）n＝（b－a）n；当n为______时，（a－b）n＝－（b－a）n。
（其中n为正整数）
8．多项式－ab（a－b）2＋a（b－a）2－ac（a－b）2分解因式时，所提取的公因式应是_____。
9．（a－b）2（x－y）－（b－a）（y－x）2＝（a－b）（x－y）×________。
10．多项式18xn+1－24xn的公因式是_______。
三、解答题：
11．把下列各式分解因式：
（1）15×（a－b）2－3y（b－a）;
（2）（a－3）2－（2a－6）
（3）
（4）（m＋n）（p－q）－（m＋n）（q＋p）
（5）
（6）
（7）
（8）
12．利用分解因式方法计算：
（1）39×37-13×34;
（2）29×19.99+72×19.99+13×19.99-19.99×14.
运用公式法因式分解
1、因式分解的公式：
平方差公式：
a2－b2＝（a+b）（a－b）
完全平方公式：
a2±2ab+b2＝（a±b）2
2、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、例题分析：
例1：
分解因式：
（1）4a2－9b2
（2）－25a2y4+16b16
解：
（1）4a2－9b2
＝（2a）2－（3b）2
＝（2a+3b）（2a－3b）
解：
（2）－25a2y4+16b16
＝16b16－25a2y4
＝（4b8）2－（5ay2）2
＝（4b8+5ay2）（4b8－5ay2）
注：
要先将原式写成公式左边的形式，写成（4b8）2－（5ay2）2
例2:
分解因式：
（1）36b4x8－9c6y10
（2）（x+2y）2－（x－2y）2（3）81x8－y8（4）（3a+2b）2－（2a+3b）2
分析：
（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。
（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y和x－2y分别为公式中的a和b。
（3）题也是两项式，9x4和y4是公式中的a和b。
（4）题也是两项式，3a+2b和2a+3b是平方差公式中的a和b。
解：
（1）36b4x8－9c6y10
＝9（4b4x8－c6y10）
＝9[（2b2x4）2－（c3y5）2]
＝9（2b2x4+c3y5）（2b2x4－c3y5）
注：
解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
（2）（x+2y）2－（x－2y）2
＝[（x+2y）+（x－2y）][（x+2y）－（x－2y）]
＝（x+2y+x－2y）（x+2y－x+2y）
＝（2x）（4y）＝8xy
注：
此例可以用乘法公式展开，再经过合并同类项得到8xy，由本例的分解过程可知，因式分解在某些情况下可以简化乘法与加减法的混合运算。
（3）81
＝（9x4）2－（y4）2
＝（9x4+y4）（9x4－y4）
＝（9x4+y4）[（3x2）2－（y2）2]
＝（9x4+y4）[（3x2+y2）（3x2－y2）]
＝（9x4+y4）（3x2+y2）（3x2－y2）
注：
第一次应用平方差公式后的第二个因式9x4－y4还可以再用平方差公式分解②3x2－y2在有理数范围内不能分解了，因为3不能化成有理数平方的形式。
（4）（3a+2b）2－（2a+3b）2
＝[（3a+2b）+（2a+3b）][（3a+2b）－（2a+3b）]
＝（3a+2b+2a+3b）（3a+2b－2a－3b）
＝（5a+5b）（a－b）
＝5（a+b）（a－b）
注：
（5a+5b）这个因式里还有5可以再提取，应该再提取出来。
例3、分解因式：
（2m－n）2－121（m+n）2－4（m+n）2+25（m－2n）2
分析：
（1）题的第二项应写成[11（m+n）]2就可以用平方差公式分解，2m－n和11（m+n）为公式中的a和b，
（2）题中将这二项先利用加法交换律后再将每一项写成平方形式就找到公式中的a和b分别为5（m－2n）和2（m+n），再应用平方差公式分解。
解：
（1）（2m－n）2－121（m+n）2
＝（2m－n）2－[11（m+n）]2
＝[（2m－n）+11（m+n）][（2m－n）－11（m+n）]
＝（2m－n+11m+11n）（2m－n－11m－11n）
＝（13m+10n）（－9m－12n）
＝－3（13m+10n）（3m+4n）
注：
（－9m－12n）这项应提取公因式－3
（2）－4（m+n）2+25（m－2n）2
＝25（m－2n）2－4（m+n）2
＝[5（m－2n）]2－[2（m+n）]2
＝[5（m－2n）+2（m+n）][5（m－2n）－2（m+n）]
＝（5m－10n+2m+2n）（5m－10n－2m－2n）
＝（7m－8n）（3m－12n）
＝3（7m－8n）（m－4n）
注：
利用平方差分解后的两个因式要进行整式的四则运算，并要注意运算时去括号法则的应用。
例如－2（m+n）＝－2m－2n≠－2m+2n
例4.分解因式:
（1）
b－ab
（2）a4（m+n）－b4（m+n）（3）－
分析：
这三道题都有公因式，应先提取公因式再应用平方差公式。
注意要分解到不能分解为止。
解：
（1）a5b－ab
＝ab（a4－1）
＝ab（a2+1）（a2－1）
＝ab（a2+1）（a+1）（a－1）
注：
a2+1在有理数范围不能分解，a2－1可以分解。
（2）a4（m+n）－b4（m+n）
＝（m+n）（a4－b4）
＝（m+n）（a2+b2）（a2－b2）
＝（m+n）（a2+b2）（a+b）（a－b）
（3）－
＝－
（a2－16）
＝－
（a+4）（a－4）
注：
提取分数公因式－
便于后面用公式法分解。
例5、计算1.22222×9－1.33332×4
分析:
这是数字的计算问题，若按运算顺序一步步做很繁，我们认真观察，寻求简便算法，发现题中的两项，每一项都可以写成一个数的完全平方，再可以用平方差公式进行因式分解，这样可以使计算简化。
解：
1.22222×9－1.33332×4
＝（1.2222×3）2－（1.3333×2）2
＝（1.2222×3+1.3333×2）（1.2222×3－1.3333×2）
＝（3.6666+2.6666）（3.6666－2.6666）
＝6.3332×1＝6.3332
例6、分解因式：
（1）x2+6ax+9a2
（2）－x2－4y2+4xy（3）9（a－b）2+6（a－b）+1
分析：
这题的三个小题都为三项式，又都没有公因式，可考虑是否能用公式中的完全平方公式。
（1）题的x2＝（x）2，9a2＝（3a）2，且这两项的符号相同，可写成平方和。
这样x和3a就为公式中的a和b了。
另外6ax正好是2（x）（3a）即公式中的2ab项，这样这题就可用和的完全平方公式分解。
解：
（1）x2+6ax+9a2
＝（x）2+2（x）（3a）+（3a）2
＝（x+3a）2
注：
再写第一步的三个项的和时实际上先写x2和（3a）2项，再写固定的“2”常数再将公式中的a、b数即x和3a写进二个括号内；计算出来为6ax，即原题中的中间项。
分析：
（2）题中的－x2－4y2，这两项符号相同，提取负号后可写成平方和，即－x2－4y2＝－[x2+（2y）2]，4xy正好是2（x）（2y）是公式中的2ab项，此题可用完全平方公式。
注意提取负号时4xy要变号为－4xy。
解：
（2）－x2－4y2+4xy
＝－（x2－4xy+4y2）
＝－[x2－2（x）（2y）+（2y）2]
＝－（x－2y）2
分析：
（3）题9（a－b）2+1可写成平方和[3（a－b）]2+12，就找到公式中的a和b项为3（a－b）和1，6（a－b）正好是2×3（a－b）×1为公式中的2ab项，符合完全平方公式。
解：
（3）9（a－b）2+6（a－b）+1
＝[3（a－b）]2+2×3（a－b）×1+12
＝[3（a－b）+1]2
＝（3a－3b+1）2
例7、分解因式：
（1）a4x2－4a2x2y+4x2y2
（2）（x+y）2－12（x+y）z+36z2
（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16（4）
（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4
分析：
（1）题有公因式x2应先提取出来，剩余因式（a4－4a2y+4y2）正好是（a2－2y）2
解：
（1）a4x2－4a2x2y+4x2y2
＝x2（a4－4a2y+4y2）
＝x2[（a2）2－2（a2）（2y）+（2y）2]
＝x2（a2－2y）2
分析：
（2）中可将（x+y）看作一个整体，那么这个多项式就相当于（x+y）的二次三项式，并且降幂排列，公式中的a和b分别为（x+y）和（6z），中间项－2ab为－2（x+y）（6z），正好适合完全平方公式。
解：
（x+y）2－12（x+y）z+36z2
＝（x+y）2－2（x+y）（6z）+（6z）2
＝（x+y－6z）2
注：
此题中的多项式，切不可用乘法公式展开后再分解，而要注意观察、分析，根据多项式本身的形式特点，善于将多项式中的某一项（或一部分）作为整体与因式分解公式中的字母对应起来。
如此题中将（x+y）代换完全平方公式中的a，6z换公式中的b。
分析：
（3）的题型与
（2）题相同，只不过公式中的a和b为x2+4x和4，分解为（x2+4x+4）2后再将x2+4x+4再用一次完全平方公式分解，分解到不能分解为止。
解：
（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
＝（x2+4x）2+2（x2+4x）×4+42
＝（x2+4x+4）2
＝[（x+2）2]2＝（x+2）4
分析：
（4）题把x2－2y2和y2看作为一个整体，那么这个多项式就是关于x2－2y2和y2的二次三项式，但首末两项不是有理数范围内的完全平方项，不能直接应用完全平方公式，但注意把首项系数
提出后，括号里边实际上就是一个完全平方公式。
注意分解到不能分解为止。
解：
（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4
＝
[（x2－2y2）2－4（x2－2y2）y2+4y4]
＝
[（x2－2y2）2－2（x2－2y2）（2y2）+（2y2）2]
＝
（x2－2y2－2y2）2
＝
（x2－4y2）2
＝
[（x+2y）（x－2y）]2
＝
（x+2y）2（x－2y）2
例8、分解因式：
（1）9（a－b）2+12（a2－b2）+4（a+b）2
（2）3a4－6a2+3
（３）an+1+an－1－2an（4）（m2+n2+1）2－4m2n2
分析：
（1）题中的9（a－b）2＝[3（a－b）]2，
4（a+b）2＝[2（a+b）]2而中间项
12（a2－b2）＝12（a+b）（a－b）＝2×3（a－b）×2（a+b）
正好是公式中的2ab项。
解：
（1）9（a－b）2+12（a2－b2）+4（a+ｂ）2
＝[3（a－b）]2+12（a+b）（a－b）+[2（a+b）]2
＝[3（a－b）]2+2×3（a－b）×2（a+b）+[2（a+b）]2
＝[3（a－b）+2（a+b）]2
＝（3a－3b+2a+2b）2
＝（5a－b）2
分析：
（2）此题的三项式可看作a2的二次三项式，且应先提取公因式3，再用公式进行分解。
解：
（2）3a4－6a2+3
＝3（a4－2a2+1）
＝3（a2－1）2
＝3[（a+1）（a－1）]2
＝3（a+1）2（a－1）2
注：
应用完全平方公式后注意再将因式a2－1再用平方差公式分解。
注意用积的乘方法则。
分析：
（3）题有公因式an－1，先提取公因式再用公式。
注意先按降幂排列好顺序。
解：
（3）an+1+an－1－2an
＝an+1－2an+an－1
＝an－1（a2－2a+1）
＝an－1（a－1）2
分析：
（4）题是一个二项式，符合平方差公式。
用平方差公式分解后的两个多项式的因式都可再用平方差公式。
解：
（4）（m2+n2－1）2－4m2n2
＝（m2+n2－1+2mn）（m2+n2－1－2mn）
＝[（m2+2mn+n2）－1][（m2－2mn+n2）－1]
＝[（m+n）2－12][（m－n）2－12]
＝（m+n+1）（m+n－1）（m－n+1）（m－n－1）
例12：
分解因式：
（m2－1）（n2－1）+4mn.
分析：
将（m2－1）（n2－1）展开得m2n2－m2－n2+1＝（m2n2+1）－（n2+m2）可将m2n2+1与n2+m2均配成完全平方则可用平方差公式分解。
解：
（m2－1）（n2－1）+4mn
＝（m2n2－m2－n2+1）+4mn
＝（m2n2+1）－（n2+m2）+4mn
＝（m2n2+2mn+1）－（m2－2mn+n2）
＝（mn+1）2－（m－n）2
＝（mn+1+m－n）（mn+1－m+n）
对应习题
A组、选择题。
1、下列各式从左到右的变形错误的是（）。
（A）（y－x）2＝（x－y）2（B）－a－b＝－（a+b）（C）（a－b）3＝－（b－a）3（D）－m+n＝－（m+n）
2、下列各式是完全平方式的是（）。
（A）x2+2xy+4y2（B）25a2+10ab+b2（C）p2+pq+q2（D）m2－2mn+
n2
3、（x+y）2+6（x+y）+9的分解结果为
（A）、（x+y－3）2（B）、（x+y+3）2（C）、（x－y+3）2（D）、（x－y－3）2
4、－1+0.09x2分解因式的结果是（）。
（A）（－1+0.3x）2（B）（0.3x+1）（0.3x－1）（C）不能进行（D）（0.09x+1）（0.09x－1）.
5、49a2－112ab2+64b4因式分解为（）
（A）（7a－8b）2（B）（7a－8b2）（7a+8b2）（C）（7a－8b2）2（D）（7a+8b2）2
B．用平方差公式因式分解
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
D用平方差公式因式分解
（1）4a2－4ab+b2;
（2）a2b2+8abc+16c2;（3）（x+y）2+6（x+y）+9;
（4）
－
+n2（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;（6）
x2y－x4－
E运用简便方法计算
（1）
（2）
（1）8002－1600×799+7992
十字相乘法分解因式
1．二次三项式
（1）多项式
，称为字母的二次三项式，其中称为二次项，为一次项，为常数项．
例如：
和
都是关于x的二次三项式．
（2）在多项式
中，如果把看作常数，就是关于的二次三项式；如果把看作常数，就是关于的二次三项式．
（3）在多项式
中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式．同样，多项式
，把看作一个整体，就是关于的二次三项式．
2．十字相乘法的依据和具体内容
（1）对于二次项系数为1的二次三项式
方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
（2）对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：
用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：
一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．
二、典型例题
例1把下列各式分解因式：
（1）
；
（2）
．
例2把下列各式分解因式：
（1）
（2）
．（3）
；
（4）
；（5）
．
对应习题
一、选择题
1．
如果
，那么p等于（ ）
A．abB．a＋bC．－abD．－（a＋b）
2．如果
，则b为（ ）
A．5B．－6C．－5D．6
3．多项式
可分解为（x－5）（x－b），则a，b的值分别为（ ）
A．10和－2B．－10和2C．10和2D．－10和－2
4．不能用十字相乘法分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．分解结果等于（x＋y－4）（2x＋2y－5）的多项式是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．将下述多项式分解后，有相同因式x－1的多项式有（ ）
①
；②
；③
；
④
；⑤
；⑥
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
7．
__________．
8．
（m＋a）（m＋b）．a＝__________，b＝__________．
9．
（x－3）（__________）．
10．
____
（x－y）（__________）．
三、解答题
11．把下列各式分解因式：
（1）.
（2.）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
；（10）
．（11）
；
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