重庆一中0910学年高三上学期调研测试数学理.docx
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重庆一中0910学年高三上学期调研测试数学理
重庆一中2009—2010学年度高三上学期调研测试
数学试题（理科）
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：
1•答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2•答选择题时，必须使2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用像皮擦擦干净后,
再选涂其他答案标号。
3•答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：
（本大题10个小题，每小题5分，共50分）（在每小题给出的四个选项不，只有一项是符合
题目要求的；各题答案必须填涂在答题卡上相应位置）
1•函数f（x）=lx+a的反函数过点P（3,0）,贝U实数a=（）
A.9B.-3C.1D.5
2.已知信要合P={（x,y）|y二k（x1）,xR,yR},Q={（x,y）|x=1,yR}，那么集合P'Q中
（）
A.没有一个元素B.只有两个元素
C.只有一个元素D.有一个或零个元素
0<2
3.若平面区域*0兰y兰2是一个梯形，则实数k的取值范围是（）
y兰kx_2
A.（1,2）B.（2,：
：
）C.（1,：
：
）D.（-：
：
，2）
=2sin（）（xR,，0），又f（：
）--2,f（：
）=0且|
3
2
函数f（x）的图象按向量
r
a平移得到函数y=2sin（—x）的图象，则向量a的坐标可为
3
f（23）二
A.4
B.2
C.8
D.6
立。
那么“当n=6时,
A.充分不必要条件
C.充要条件
已知数列｛an｝满足，ai
1
A.-
2
B.
如图，已知抛物线
线交点的连线过
、2A.
2
C.2-1
已知等差数列
该命题不成立”是“当n=5时，该命题成立”的
B.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
=1，且an1=2an1（nN
C.2
D.不存在
y2二2px（p■0）的焦点恰好是椭圆
F,则该椭圆的离心率
1
B.-
3
何｝中，a1:
:
0且a1a?
的前n项和Sn取最小值时,
n的值为
A.49
B.51
10.已知x-0,隈三0,2二，则
A.23,3-2
C.32,3-、2
2x-2a
2
-y2=1（ab-0）的右焦点F,且两条曲
b2
（）
a3a102=0，设bn=anan1an2（nN），当｛bn｝
D.49或51
C.49或50
21x「xsin：
f（x/）2的最大值、最小值分别为（
2丄1
x-xcos：
2
B.23,2--3
D.12,1-2
第H卷（非选择题，共100分）
、填空题：
（本大题5个小题，每小题5分，共25分）（各题答案必须填写在答题卡相应位置上，只填结果，不要过程）。
11.函数f（x）二ln（3-x）•x的定义域是
-1
13•向量a=（,1）,b=（2,-x），且ab<0，则实数
x
于点P,直线l过点P与椭圆C交于x轴上方的不同两点M、N，如图所示，设F为椭圆C的
■-1■-
右焦点，且|FN||FM|，则直线l的斜率
4
为。
15•对于一切实数x，令[X]为不大于x的最大整数，则函数f（x）二[X]称为高斯函数或取整函数，如
[3,1]=3,[5]=5,[-5]--5,[-3.4]--4。
若数列｛an｝满足a*二f（log3n）,nN,Sn为其前n项的
和，则｛an｝的前3n1-1（n・N*）项的和S3n~=。
三、解答题：
（本大题6个小题，共75分）（各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内，必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程。
）
21
16.（13分）已知函数f（x）二ax（a-2）x,（a0）与g（x）=Inx.
a
（1）若f（x）与g（x）在公共点（e,1））处有相同的切线（e为自然对数的底数），求a的值；
（2）当a=1时，求函数F（x）二f（x）-g（x）的极值。
—xx°xxx
17.（13分）已知向量m=（、.3cos—,cos-）,n=（-cos-,sin）,f（x）二sin（）.
444426
（1）若m//n,求f（x）的值；
（2）在匚ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足（••2a-c）cosB二bcosC，示函数f（A）
的单调递增区间
18.（13分）已知函数f（x）二axb.1x2,g（x）=2b（1宀，且g（0）=2,f（、3）=2-3.
（1）求g（x）的值域；
（2）定义在R上的函数h（x）满足h（x2）=-h（x）,h（-x）二-h（x）,且当0空x空1时
1
h（x）[Iog2（g（x））-f（x）]，求h（x）在R上的解析式。
2
19.（12分）设数列｛a*｝｝的前n项和为为Sn,已知a1二a（a=2,a・R）,^且anHt=3Sn-2,n匸N
（1）设0=Sn-2"，证明｛bn｝为等比数列，并求数列｛^｝的通项公式；
（2）若存在正整数n,使得不等式Sn5成立，求a的取值范围。
20.（12分）设向量a=（x•2,y）,b=（x-2,y），点P（x,y）为动点，已知|a|-|bF2，且点P的轨迹
Cl。
若抛物线C2的顶点在原点，与轨迹Cl共焦点F,设抛物线C与轨迹Ci的交点分别为M、N。
（1）分虽求轨迹为Ci与抛物线C2的方程；
（2）过F作一条与x轴不垂直的直线，与曲线Ci在点M、N左侧的部分交于C、D两点，与曲线C在点M、N左侧的部分交于B、E两点，若G为CD的中点，H为BE的中点，问1BD1|GF1是否
|CDMHF|
为定值？
若是，求出定值；若不是，请说明理由。
21.（12分）设f（x）=x3-ax2-bx-c,x[-1,1],记y=|f（x）|的最大值为M。
3
（1）当a=c=0,b时，求M的值。
4
（2）当a,b,c取遍所有实数时，求M的最小值Mmin；
（以下结论可供参考：
对于a,b,c,dR,有|abcd^|a||b||c||d|，当a,b,c,d同
号时取等号）
（3）对于第
（2）小题中的Mmin,设数列｛an｝满足a^[4Mmin'：
：
）,门，N*,求证：
参考答案
I—5ACBCC6—10DACDB
II.0,3
12.213.（-2,0）-（'2,
14
10
ni
（2n-1）33
2
1
16.解:
（1）因f（x）=2ax（a-2）,g（x）二
x
由条件有:
2ae+（a_2）=_Le
4分
2ae
1
+（a—2）e+—=1
二丿
a
2
2ae+（a—2）e=1
nae2-
丄=0na2e2=1二aJ
7分
ae
ae2+（a—2）e+—=1
（2）当a=1时，函数F（x）二f（x）-g（x）=x2-x1-Inx（x0）
1
F（x）=2x-1——
x
c2丿
2x-x-1
x
（2x1）（x-1）
x
令F（x）=0,
x0得：
x=1
x
（0,1）
1
（1,p）
F（x）
-
0
+
F（x）
极小值
10分
所以F（x）只有极小值F（x）极小值二F
（1）=1，没有极大值13分
17•解:
（1）
x.
x2
x
.3.
x
1
x
1c
3
cos—sin
cos
—
sin
—
+—
cos-
0
4
4
4
2
2
2
2
2
m//n二
x兀1
即sin（）：
262
1
所以f（x）.6分
2
（2）因为（2a-c）cosB二bcosC，
则2sinA-sinC）coS3=sinBcosC,
即2sinAcosB=sinBcosCcosBsinC=sin（BC）=sin（愿一A）=sinA
二cosT
则B,10分
4
3兀
因此ae=
4
3
于是A=（0,—二）
4
x兀由f（x）=SIn（；）,
26
A兀3
则f（A）=sin（）,A（0,二）
264
（2江1
则f（A）的单调递增区间为0,.13分
<3」
18•解：
（1）由f（3）=2-3,g（0）=2
得3a2b=2-3,2b=2
解得：
a=-1,b=1
f（x）=%/1+x2—x,g（x）=2‘*3分
1x2_1,.1x2-1,
-g（x）的值域为2,•：
：
6分
（2）由h（x2）=—h（x）=h（x4）=h（x），又h（-x）二-h（x），
所以h（x）是周期为4的奇函数，
1
当0_x_1时，h（x）x，
2
1
-当T_x_0时，h（x）二-h（-x）x,
2
1
于是，当-1乞x叮,h（x）=x;9分
2
当1乞x乞3时，—1乞x—2乞1,
1
.h（x）=—h（x-2）（x-2）.
2
j
-x,一1兰x兰1
2
故h（x）=<211分
1
-（x—2）,1兰x兰3
i2
1
—（x—4k）,4k—1兰x乞4k+1,k乏Z
2
所以h（x）=｛213分
1
-（x—4k—2）,4k+1Ex兰4k+3,k乏Z
l2
n—1*n—1
19•解：
（1）解法_:
an1-3Sn-2,n二N=Sn・1-Sn二3Sn-2
=&1二4Sn-21
-Sn1-2n1=4Sn-22n1=4（Sn-2n）.2分
易知bn=Sn-20,
bn1Sn1…2"1
—=4
bnSn-2n
所以｛0｝为等比数列，4分
bn二b4nJ=（S1-2）4n—（a-2）4；
■bn=（a-2）4n」6分
解法二：
对Sn1=4Sn-2n1，两边同除以4n1，化为叠加法求Sn，再证｛bn｝为等比，并求bn。
解法三：
an1=3Sn-2nN*①
an=Sn4-2n,n一2,nN*②
①-②得：
an1=4an-2n1,n，N*
下同法二，示出an,Sn，再证｛bn｝为等比，并求bn。
nn4n-1n
（2）bn=Sn-2（a-2）4=Sn=（a-2）42
n_1n
Sn5=（a-2）425,
若存在正整数n,使得不等式（a-2）4心-2n5成立。
（a-2）4nl-2n5=
a-2
5-2n
20—42n
4n
a-2
4
5-2
若存在正整数n,使得不等式
a-2
4
5-2n
成立。
a-2
4
法一：
a-25-21n21n*
4[4n]min-{5[（?
）]-（？
）}min,nN.10分
只需
『5-2打
[,n]min,
4
8分
令f（n）=5[（丁门？
-（1f,nN,
22
1n*
令t=（）,nN,
2
ti0,-,
I2」
g（t）=5t2—t,t=G）n0<2，nN
1113
g（t）min二min{g（）,g（：
）}二g（：
）：
168864
a-2329
a
46416
又a=2,
29
所以a的取值范围为（一,2）一（2,=）。
12分
16
法二：
研究数列
I
4n
的单调性求最值。
法三：
构造函数由导数研究单调性求最值。
22y2
20.解：
（1）C1:
x1（x-1）;C2:
y=8x6分
3
（2）设B（X1,y1）,E（X2,y2）,C（X3,y3）,D（X4,y4）,
直线y二k（x-2）,
2
将直线y=k（x-2）代入y=8x
得：
ky2-8y-16k=0,
由韦达疋理：
y1y2
（k
y°2=一16
同理，将y:
=k（x-2）,
8
2
2yy22
代入x1得：
3
（2）-y-3=0
3k
222
即（3-k）y12ky9k=0,
由韦达定理:
12k
y^k2-3
9k2
3-k2
|BE||GF||BE||GF|
—””—=—_—■—_—
|CD||HF||CD||HF|
|y「y2l扣3y411y3一y412I%y2I
22
|%-y21」y3+y41=厲-y?
）55）
|y3-y41|%y21.（y1y?
）2（y^y4）2
64
（12k、2
（力+y2Y-4y”2厲+丫4）2_
p+64k2
—5
Ik—3.丿
（力+丫2）2侠+y4）2—4丫3丫4\
64（12kY36k2
klk2-3丿k2-3
4
（1k2）
1k2
|BE||GF1=2为定值。
12分
ICD||HF|
2311
21•解：
（1）求导可得f（x）=3x3（x）（x•-）,
422
'1111
m^|f（—1）|,|f（—；）|,|f（；）|,|f
（1）I=-
.22,4
当xh'1,—1时取等号
2
11
（2）4f
（1）-4f（-1）=8_8b,8f（）_8f（）=2_8b.
22
11
M」f
（1）|；M」f（-1）|；M」f（；）|；M」f（-；）|
22
11
24M_4|f
（1）|4|f（-1）|8|f（；）|8|f（=）|
22
11
」4f
（1）-4f（-1）_8f（=）8f（-二）|=6,
22
由
（1）可知，当a=0,b
Mmin
丄7分
4
（3）证法-
一：
（局部放缩法）
所以an-
1,,nN*,
由于-V
ak
.22-
Qa2
=3,c=0时，IM」。
44
因为4Mmin=1,
ak
2
ak1「1ak
k丿个1
ak
（k-1）ak_^（k-1）ak2、.（k-1）
（k_2,kN
所以不等式左边
11
:
:
:
1■-
2、12.2
:
:
:
1亠
1
1■-
2、n-1..1、122..n-1.n-1
=1（1-0）（2-1厂（n-1-■n-2）=1.n-1
11分
下证1.nT—2n=12n-1n-仁2n=2、n-1乞n
二4（n-1）证法二：
（数学归纳法）即证：
当a.•1,•：
：
n，N
显然。
即证。
12分
a233,..an..
a2■afa1■af■a3aj•a2亠■亠a：
下用数学归纳法证明:
①当n
=1时，左边二
a1
2
a1
1二1：
：
：
••、2，显然;
ai
②假设
n二k（k
）时命题成立，即
ai■
2
a1
a/l
a3
左边
ai
2a1
、2k
2
ai
a2
aia；
+■…+
22
a2a3
222
■a2a3
222
a1■a^■ak1
ak
a「a；」a「2k8分
+…+
222a1•a?
亠•亠ak
ak1
2
11亠亠ak
ak1
222
a1•a2亠•亠ak.1
1,：
：
nN*）
均值不等式
处2kak1*
2、、kak1
=；』2k1
<2k
11分
下证：
..2k_2（k1）（kN*）（*）
2_、2
二二1,kN*，
2
2jk
4k4k
显然。
所以命题对n=k1时成立。
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