因式分解纵深练习.docx

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因式分解纵深练习

因式分解纵深

因式分解中的10种变换

在多项式的因式分解中还渗透了10种变换，应予以充分的重视．

一、指数变换

例1因式分解xn+1-3xn+2xn-1．

解xn+1-3xn+2xn-1

=x2·xn-1-3x·xn-1+2xn-1（指数变换）

=xn-1（x+1）（x-2）．

二、符号变换

例2因式分解（a-b）（x-y）-（b-a）（x+y）．

解（a-b）（x-y）-（b-a）（x+y）

=（a-b）（x-y）+（a-b）（x+y）（符号变换）

=（a-b）（x-y+x+y）

=2x（a-b）．

三、换元变换

例3因式分解（x2+5x+3）（x2+5x-2）-6．

解设x2+5x-2=y，则

（x2+5x+3）（x2+5x-2）-6

=（y+5）y-6（换元）

=y2+5y-6

=（y+6）（y-1）

=（x2+5x+4）（x2+5x-3）

=（x+1）（x+4）（x2+5x-3）．

四、整体变换

例4因式分解（x+y）2-4（x+y-1）．

解（x+y）2-4（x+y-1）

=（x+y）2-4（x+y）+4（将x+y看作一整体）

=（x+y-2）2．

五、拆项变换

例5因式分解x2-11x+24．

解x2-11x+24

=x2-3x-8x+24（将-11x拆为-3x-8x）

=x（x-3）-8（x-3）

=（x-3）（x-8）

六、添项变换

例6因式分解4x4+1．

解4x4+1=（4x4+4x2+1）-4x2（添4x2项）

=（2x2+1）2-（2x）2

=（2x2+2x+1）（2x2-2x+1）

七、主元变换

例7因式分解18x2-21xy-5y2．

解18x2-21xy+5y2

=5y2-21xy+18x2

（将原式看作关于y的二次三项式）

=（5y-6x）（y-3x）．

八、分组变换

例8因式分解x4-x3+x-1

解x4-x3+x-1

=（x4-x3）+（x-1）（分解）

=x3（x-1）+（x-1）

=（x-1）（x+1）（x2-x+1）．

九、数域变换

例9因式分解4a4-1．

解4a4-1

=（2a2+1）（2a2-1）（有理数范围）

注意：

2a2+1到高中后还可以继续分解．

十、综合变换

例10因式分解a6-b6

解a6-b6

=（a2）3-（b2）3（指数变换）

=（a2-b2）（a4+a2b2+b4）（公式变换）

=（a2-b2）（a4+2a2b2+b4-a2b2）（添项变换）

=（a2-b2）[（a4+2a2b2+b4）-（ab）2]（分组变换）

=（a+b）（a-b）（a2+ab+b2）（a2-ab+b2）（公式变换）

因式分解的关键——变形

因式分解题型众多，课本中只介绍了四种基本方法，但是有不少多项式是不能直接应用四种基本方法分解的，往往需要先变形，改变多项式的原有结构，才能达到因式分解．下面向同学们介绍几种变形．

1．变符号

常用的有：

（1）a-b=-（b-a）

（2）当m为偶数时，（a-b）m=（b-a）m

（3）当m为奇数时，（a-b）m=-（b-a）m

例1因式分解：

x3（x-2y）+y3（2y-x）

解x3（x-2y）+y3（2y-x）

=x2（x-2y）-y3（x-2y）

=（x-2y）（x3-y3）

=（x-2y）（x-y）（x2+xy+y2）

2.变指数

常要逆用下面两条性质：

解

（1）am·an=am+n

（2）（am）n=amn

例2因式分解：

xn+1-3xn+2xn-1

解xn+1-3xn+2xn-1

=xn-1·x2-3xn-1·x+2xn-1

=xn-1（x2-3x+2）

=xn-1（x-1）（x-2）

3.添项

例3因式分解：

x4+4

解x4+4

=（x2）2+2×2x2+22-2×2x2

=（x2+2）2-（2x）2

=（x2+2x+2）（x2-2x+2）

例4因式分解：

x4+x2+2ax+1-a2

解原式=x4+2x2+1-a2+2ax-x2

=（x2+1）2-（a+x）2

=（x2+1+a+x）（x2+1-a-x）

4．拆项

例5因式分解：

x3+10x-11

解x3+10x-11

=x3+10x-1-10

=（x3-1）+（10x-10）

=（x-1）（x2+x+1）+10（x-1）

=（x-1）（x2+x+11）

注：

此例也可考虑拆x3或10x．

5．用一个字母代替一个式子

例6因式分解：

（x2+y-2）（x2+y-12）+24

解设x2+y=a，则有：

（x2+y-2）（x2+y-12）+24

=（a-2）（a-12）+24

=a2-14a+48

=（a-6）（a-8）

=（x2+y-6）（x2+y-8）

用待定系数法分解因式

待定系数法是初中数学解题的重要方法之一，下面谈谈待定系数法在因式分解中的应用．

例分解因式：

2x2-7xy+6y2+2x-y-12．

解：

∵2x2-7xy+6y2=（x-2y）（2x-3y），

∴设2x2-7xy+6y2+2x-y-12=（x-2y+m）（2x-3y+n）=2x2-7xy+6y2+（2m+n）x-（3m+2n）y+mn．

比较上式等号两边的对应项的系数，得

解得m=3，n=-4．

∴2x2-7xy+6y2+2x-y-12=（x-2y+3）（2x-3y-4）．

小结由上例可以看出，做这类题目一般的步骤和方法是：

1．根据多项式的特点，确定它所能分解成的形式（含有若干个待定系数），这是关键一步，要注意尽量减少待定系数的个数，以利于求解．

2．根据多项式恒等性质列出以待定系数为未知数的方程组．

3．解方程组．如果有解，那么原多项式可以分解为指定形式，将解得的待定系数代回所设的式子中，就得到原式的因式分解式；如果无解，那么原多项式不能分解为指定形式．

下面再举两例来说明：

例1分解因式：

4m2+4mn+n2+6m+3n+2．

解：

∵4m2+4mn+n2=（2m+n）2，

∴可设4m2+4mn+n2+6m+3n+2

=（2m+n+a）（2m+n+b）

=4m2+4mn+n2+（2a+2b）m+（a+b）n+ab．

比较上式两边的对应项系数，可得关于a、b的方程组：

解得a=1，b=2或a=2，b=1．

∴4m2+4mn+n2+6m+3n+2=（2m+n+1）（2m+n+2）．

例2确定k的值，使x2-xy-6y2+2x-y+k能分解成两个一次多项式的积．

解：

∵x2-xy-6y2=（x+2y）（x-3y），

∴设原式=（x+2y+a）（x-3y+b）=x2-xy-6y2+（a+b）x+（2b-3a）y+ab．

比较等式两边对应项的系数，可得：

解

（1）、

（2）得a=1，b=1．

代入（3）得k=1．

故当k=1时，使x2-xy-6y2+2x-y+k能分解成两个一次多项式的积．

练习：

1．把x2-xy-2y2-2x-5y-3分解因式．

2．求k的值，使x2+7xy+ky2-5x+43y-24能分解成两个一次因式的积．

（答案：

1．（x+y+1）（x-2y-3）；2．k=-18）

换元与因式分解

举两个例题，以说明换元思想在分解因式中的作用．

一、直接设元

例1计算①632+372+63×74；②982-15×98-34．

解：

①令a=63，b=37．

原式=a2+b2+2ab=（a+b）2=（63+37）2=104．

②令a=98，

原式=a2-15a-34=（a+2）（a-17）=8100．

说明：

数字问题经过设元能够更明显地发现其特点，从而准确地选用公式进行计算．

二、变形换元

例2分解因式：

①2x2-7x+3；②6x2-7x-5．

=（x-3）（2x-1）．

=（2x+1）（3x-5）．

说明：

二次三项式中二次项系数不是1，分解时通常需综合考虑各项系进行多次尝试才能成功．经过变形换元后，使二次项系数变为1，再分解就方便了．

几类特殊多项式的因式分解

因式分解是初中数学的重要内容，同学们除要熟练地掌握课本介绍的几种基本方法外，对某些较为特殊的多项式，还要注意观察分析其特点，将这些方法灵活、综合地运用．下面介绍几类特殊多项式的分解方法．

例1分解因式：

（1）（x2+3x+2）（x2-9x+20）-72；

（2）（a+1）（a+2）（a+3）（a+6）+a2．

分析第

（1）题中的（x2+3x+2）（x2-9x+20）可分解为：

（x+1）（x+2）（x-4）（x-5），其中（x+1）（x-4）=x2-3x-4，而（x+2）（x-5）=x2-3x-10．注意到此时出现了相同的项x2-3x，所以用整体代换就能分解它们．第

（2）题的方法类似．

解

（1）原式=（x+1）（x+2）（x-4）（x-5）-72

=（x2-3x-4）（x2-3x-10）-72

=（x2-3x）2-14（x2-3x）-32

=[（x2-3x）-16][（x2-3x）+2]

=（x2-3x-16）（x-1）（x-2）；

（2）原式=（a2+6+7a）（a2+6+5a）+a2

=（a2+6）2+12a（a2+6）+36a2

=（a2+6+6a）2．

例2分解因式：

x2+2xy-8y2-4x-10y+3．

分析此题容易想到用分组分解法，但比较困难．

考虑到x2+2xy-8y2=（x+4y）（x-2y），

且-4x-10y=-3（x+4y）-（x-2y），

可用十字相乘法来分解．此题结果为

原式=（x+4y-1）（x-2y-3）．

例3分解因式：

（1）a2（b+c）+b2（c+a）+c2（a+b）+2abc；

（2）（a+b）c3-（a2+ab+b2）c2+a2b2．

分析此题中项数多、字母多、字母次数较高，可选取其中出现次数较多或次数较低的某个字母为主字母，将多项式按这个主字母的降幂排列，再考虑其分解．

解

（1）原式=a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b+2abc

=a2（b+c）+a（b2+c2+2bc）+（b2c+c2b）

=a2（b+c）+a（b+c）2+bc（b+c）

=（b+c）（a2+ab+ac+bc）

=（b+c）（a+b）（a+c）；

（2）原式=ac3+bc3-a2c2-abc2-b2c2+a2b2

=b2（a2-c2）+b（c3-ac2）+（ac3-a2c2）

=b2（a-c）（a+c）+bc2（c-a）+ac2（c-a）

=（c-a）（-b2a-b2c+bc2+ac2）

=（c-a）[a（-b2+c2）+bc（-b+c）]

=（c-a）（c-b）（ac+ab+bc）．

因式分解的应用

因式分解在分式运算、解方程、解不等式、代数式的恒等变形等方面有广泛的应用，此外在中学数学中还有其他重要的应用．请看例子．

1．判断整除性

例12n-1和2n+1表示两个连续的奇数（n是整数），证明这两个连续奇数的平方差能被8整除．

证明（2n+1）2-（2n-1）2

=（2n+1+2n-1）（2n+1-2n+1）

=4n·2=8n，

∴这两个连续奇数的平方差能被8整除．

例2求证：

146+1能被197整除．

证明146+1=（142）3+1=1963+1

=（196+1）（1962-196+1）

=197（1962-196+1），

∴146+1能被197整除．

例3x3+y3+z3-3xyz能被（x+y+z）整除．

证明原式即

（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz-zx），

∴x3+y3+z3-3xyz能被（x+y+z）整除．

∴该数能被11整除．

例5设4x-y为3的倍数，求证：

4x2+7xy-2y2能被9整除．

证明∵4x2+7xy-2y2

=（4x-y）（x+2y），

又x+2y=4x-y-3x+3y

=（4x-y）-3（x-y）．

∵3/（4x-y），3/3（x-y），

∴3/（x+2y），

于是9/（4x2+7xy-2y2）．

2．判定几何图形的形状

例6在△ABC中，三边a、b、c满足a3+b3+c3-3abc=0，试判定三角形的形状？

解∵a3+b3+c3-3abc

=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）=0，

而a+b+c≠0，

∴a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，

∴a=b=c，即△ABC为等边三角形．

例7m为何值时，方程2x2-xy-6y2+mx+17y-12=0的图象是两条直线？

解∵2x2-xy-6y2=（2x+3y）（x-2y），

所以设原式即（2x+3y+A）（x-2y+B）=0，

也即2x2-xy-6y2+（A+2B）x+（3B-2A）y+AB=0．

3．求解多元方程

例8如果xyz+xy+yz+zx+x+y+z=1975，试求自然数x、y、z．

解方程两边加1，得

（x+1）（y+1）（z+1）=23·13·19，

①（x，y，z）为（7，12，18），②（7，18，12），

③（12，7，18），④（12，18，7），

⑤（18，7，12），⑥（18，12，7）共6组解．

例9求x2-y2=1979的整数解．

解∵1979是质数，

而（x+y）（x-y）=1979．

解原方程即4xy=2px+2py，

4xy-2px-2py+p2=p2，

（2x-p）（2y-p）=p2．

∵x≠y，以及p是质数，则只能是

4．开拓平几解题思路

例11已知：

a、b为两圆的半径，c为两圆的圆心距，若方程x2-2ax+b2-（b-a）c=0有相等的实数根，求证：

两圆相等或外切．

证明对于方程x2-2ax+b2-（b-a）c=0，

有△=4a2-4b2+4（b-a）c=0，

即（a-b）（a+b-c）=0，

a=b或c=a+b所以两圆相等或外切．

例12在△ABC中，∠BAC=90°，AC＞AB，AD是高，M是BC的中点，求证：

AD2=BM2-DM2．

证明∵BM2-DM2

=（BM+DM）（BM-DM）

=（CM+DM）（BM-DM）

=CD·DB=AD2，

∴AD2=BM2-DM2．

注：

若用CM替代BM，则：

CD=CM+DM，DB=BM-DM．

二次六项式的因式分解

解二元二次方程组常常需将二次六项式：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解，现举一例，以介绍二次六项式的五种分解方法．

例分解因式：

x2+2xy-8y2+2x+14y-3．

方法1主元法

整理为关于x（或y）的二次三项式，先分解常数项（事实上是关于y（或x）的二次三项式），再分解关于x（或y）的二次三项式．

解原式=x2+（2y+2）x-8y2+14y-3=x2+（2y+2）x+（-2y+3）（4y-1）=（x-2y+3）（x+4y-1）．

方法2双十字相乘法先把二次项部分分解成两个一次式的积，然后再分解原式．

解原式=（x-2y）（x+4y）+2x+14y-3

=（x-2y+3）（x+4y-1）．

方法3零值法

分别令y=0，x=0得关于x、y的二次三项式．分别分解（常数项分解要一致）即可得结果．

解令y=0．

则原式=x2+2x-3=（x+3）（x-1）

令x=0．

则原式=-8y2+14y-3=（-2y+3）（4y-1）

因此，原式=（x-2y+3）（x+4y-1）

方法4待定系数法

利用“两多项式恒等，则对应项系数相等”性质，比较系数得方程组，从而确定分解因数．

解∵x2+2xy-8y2=（x-2y）（x+4y）

∴原式=（x-2y+m）（x+4y+n）

=x2+2xy-8y2+（m+n）x+（4m-2n）y+mn．

解方程组，得m=3，n=-1．满足mn=-3

因此，原式=（x-2y+3）（x+4y-1）

说明亦可直接设原式=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2），展开，整理．比较系数得六元方程组，而确定a1、a2、b1、b2、c1、c2，但较繁．

方法5求根法

利用法则：

若方程ax2+bx+c=0两根为x1，x2则ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）进行分解．

解∵关于x的方程

x2+（2y+2）x-8y2+14y-3=0两根为

x1=2y-3，x2=-4y+1

∴原式=（x-2y+3）（x+4y-1）．

取零法分解二元二次多项式

在中学数学教学中，常常遇到二元二次多项式的因式分解，如在方程组求解及解析几何的求轨迹等问题中，都用到了二元二次多项式的因式分解．尽管二元二次多项式的分解有一些常用的方法，但对有些学生来说，却仍感到困难．因此，这里通过实例介绍一种新的分解方法——取零法．

例1把2x2+xy-y2-4x+5y-6分解因式．

分析：

该二次式若分解因式，则其因式为一次式．

设2x2+xy-y2-4x+5y-6

=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2），

令y=0，则2x2-4x-6=（a1x+c1）（a2x+c2），得（2x+2）（x-3）=（a1x+c1）（a2x+c2），通过对照系数就可以求出a1、a2、c1、c2．

令x=0，则-y2+5y-6=（b1y+c1）（b2y+c2），得（-y+2）（y-3）=（b1y+c1）（b2y+c2），

同理可求出b1、b2、c1、c2．

解：

在原式中令y=0，分解因式，得

2x2-4x-6=（2x+2）（x-3）；①

在原式中令x=0，分解因式，得

-y2+5y-6=（-y+2）（y-3）．②

比较①、②两式，拼凑并检验，得

2x2+xy-y2-4x+5y-6=（2x-y+2）·（x+y-3）．

一般来说，若二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f能分解成两个一次因式的积，即ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2），③

令y=0，则ax2+dx+f=（a1x+c1）（a2x+c2），④

令x=0，则cy2+ey+f=（b1y+c1）（b2y+c2）．⑤

④、⑤式与③式比较、拼凑，得原式分解结果：

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）．

注意：

（1）常数分解必须一致，否则很可能不能分解；

（2）常数项的符号保持不变的情况下，变动二次项系数的符号；（3）分解后的结果必须经过检验．

例2把2x2-2y2-3z2-3xy+xz-7yz分解因式．

分析：

这是一个三元二次多项式，如果我们将其一个字母，如z当作常数，那么原多项式就是关于x、y的二元二次多项式．

解令y=0，得2x2+zx-3z2=（2x+3z）·（x-z）

令x=0，得-2y2-7zy-3z2=（y+3z）·（-2y-z）．以上两式比较、拼凑并检验，得

2x2-2y2-3z2-3xy+xz-7yz=（2x+y+3z）（x-2y-z）．

例3若多项x2-y2+mx+5y-6能分解为两个一次因式的积，求m的值．

解：

在原式中令x=0，得-y2+5y-6=（-y+2）（y-3），或-y2+5y-6=（y-2）·（-y+3）．

在原式中令y=0，得x2+mx-6=（x-2）（x+3），或x2+mx-6=（x+2）（x-3）．

∴x2-y2+mx+5y-6=（x-y+2）·（x+y-3），①

或x2-y2+mx+5y-6=（x+y-2）（x-y+3）．②

比较①、②式两边的系数，可得m=±1．

例4当m为何值时m为质数，方程6x2-7xy-my2-x+7y-2=0表示两条直线？

并求出直线的方程．

解：

所给方程要表示两条直线，则方程左边6x2-7xy-my2-x+7y-2必可分解为两个一次因式的形式．

∴令y=0，得6x2-x-2=（2x+1）（3x-2）．

令x=0，得-my2+7y-2=（-my+1）（y-2）．

∴m=3．

检验，得原方程变形为

（2x-3y+1）（3x+y-2）=0，

∴当m=3时，原方程表示两条直线，方程为2x-3y+1=0或3x+y-2=0．

一题多解开阔视野

一题多解，可以开阔学生的视野，加强学生对基础知识的灵活运用，激发学生学习数学的兴趣，增强学生的自信心．

例分解因式2x2-xy-3y2+5x-5y+2．

1．按次幂分组

把多项式中相同次的项分为一组．

解法一：

原式=（2x2-xy-3y2）+（5x-5y）+2

=（2x-3y）（x+y）+（5x-5y）+2

=（2x-3y+1）（x+y+2）．

2．主元法

把x视为主元，按x的降幂重新排列．

解法二：

原式=2x2+（5-y）x-3y2-5y+2

=2x2+（5-y）x+（-3y+1）（y+2）

=（2x-3y+1）（x+y+2）．

把y视为主元，按y的降幂重新排列．

解法三：

原式=-3y2-（5+x）y+2x2+5x+2

=-3y2-（5+x）y+（2x+1）（x+2）

=（-3y+2x+1）（y+x+2）

=（2x-3y+1）（x+y+2）

3．待定系数法

假定原式可分解为两个一次因式的积的形式，然后根据恒等式的性质求出有关待定系数，进而达到将多项式得以分解因式．

解法四：

∵2x2-xy-3y2=（2x-3y）（x+y）

∴设原式=[（2x-3y）+m][（x+y）+n]=2x2-xy-3y2+（2n+m）x+（m-3n）y+mn．

由多项式相等的条件得：

∴原式=（2x-3y+1）（x+y+2）．

4．取零法

设ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=（a1x+b1y+c1）（a2x+b2y+c2）．

（1）

令y=0，则

（1）式变为ax2+dx+f=（a1x+c1）（a2x+c2）．

（2）

令x=0，则

（1）式变为cy2+ey+f=（b1y+c1）（b2y+c2）．（3）

因此只要先求出

（2），（3）式，便可得

（1）式

解法五：

令x=0，则-3y2-5y+2=（-3y+1）（y+2）．

令y=0，则2x2+5x+2=（2x+1）（x+2）．

∴原式=（2x-3y+1）（x+y+2）．

例说一题多解

浙江黄岩实验中学叶对萍

例1已知x+y=1，求x3+3xy+y3的值．

法1由x+y=1，两边立方，得（x+y）3=1．

∵（x+y）3=（x+y）2（x+y）

=（x2+2xy+y2）（x+y）

=（x3+2x2y+xy2+x2y+2xy2+y3

=x3+y3+3x2y+3xy2

=x3+y3+3xy（x+y）

把x+y=1代入，得

x3+3xy+y3=1．

法2x3+3xy+y3

=（x+y）（x2-xy+y2）+3xy

=x2-xy+y2+3xy

=x2+2xy+y2=（x+y）2=1．

法3x3+3xy+y3

=x3+3xy（x+y）+y3

=x3+3x2y+3xy2+y3

=（x+y）3=1．

例2已知a+b+c=0，求证：

a3+b3+c3=3abc

法1把a=-（b+c）代入等式左边，得

a3+b3+c3

=-（b+c）3+b3+c3

=-b3-c3-