Runge-Kutta算法.ppt

Runge-Kutta算法.ppt

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Runge-Kutta积分方法,由此得到高阶的单步法。

但是，往往右函数的高阶导数或者无法直接得到、或者计算太过复杂。

所以实际的做法是：

用tn,tn+1区间中解曲线邻域的一些已知点函数值的线性组合来代替F（t,Y）的导数，从而得到高阶的单步法公式。

例,此处即通过计算已知点的函数值（K1,K2）的线性组合代替高阶导数，得到了较高的精度。

Runge-Kutta方法的推导,Runge-Kutta方法的一般形式：

确定了阶数之后，再通过Taylor展开、比较两边系数的方法，确定各待定系数：

二阶显式Runge-Kutta方法,展开各项如下：

其中,二阶显式Runge-Kutta方法,要使得方法是二阶的，则局部截断误差应该为三阶小量，即：

例,结果及比较,三阶显式Runge-Kutta方法,在推导二阶显式方法的过程中，注意到局部截断误差表达式中h3项包含了以下表达式：

因此若要在局部截断误差中消去h3项，必须增加包含了以上各项的多个方程，同时我们注意到r=2时，只有等四个待定系数，少于方程的数目，所以这样的系数不存在。

故：

r=2时Runge-Kutta方法只能是二阶的。

要得到三阶的方法，则必须有r=3。

三阶显式Runge-Kutta方法,四阶显式Runge-Kutta方法,四阶显式Runge-Kutta方法,xn,xn+h/2,xn+h,f1,f2,f3,f4,例,结果及比较,结果及比较,关于Runge-Kutta方法,提高Runge-Kutta方法的精度的方法,提高精度最简单的方法是缩短步长，但要以牺牲计算速度和积累舍入误差为代价。

变步长的Runge-Kutta方法,作为妥协，如果能在计算过程中实时控制步长的大小，就可以在获得较高的计算速度的同时，保证较高的精度。

Runge-Kutta-Fehlberg方法,Fehlberg设计了一个更加精巧的嵌套方法如下：

Runge-Kutta-Fehlberg方法,Fehlberg给出的四阶、五阶公式RKF4（5）如下：

Runge-Kutta-Fehlberg方法,七阶、八阶RKF7（8）,Runge-Kutta-Fehlberg方法,七阶、八阶RKF7（8）,单步法,作业,