运筹学作业解的题目发布版.docx
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运筹学作业解的题目发布版
运筹学作业
一、有如下线性规划问题
Maxf（x）=2x1+3x2
x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1,x2≥0
1）用图解法求最优解；
解：
线性规划问题为：
Maxf（x）=2x1+3x2
x1+2x2≤8
4x1≤16
4x2≤12
x1≥0
x2≥0
1、以x1为横坐标、x2为纵坐标，建立平面坐标系。
然后在该平面坐标系上画出各个约束条件，包括非负约束条件。
（见下图1.1）
图1.1
2、图1.1所示的凸多边形OABCD即为给定线性规划问题的可行域。
3、将目标函数f（x）=2x1+3x2，写成
x2=-2/3x1+1/3f（x）
令f（x）=0，则上式变为x2=-2/3x1，对应直线见下图1.2的
。
图1.2
4、观察图1.2将直线
平行移动至与凸多边形OABCD的顶点C相切时，对应直线
，目标函数f（x）取得最大值，此时得最优解，为：
x1=4，x2=2（即C点的坐标值），目标函数值f（x）=14。
即图1.3所示
图1.3
2）写出所有基本可行解，并指出它在图解法图中的位置；
解：
基本可行解如下：
（0,0）、（0,3）、（2,3）、（4,2）、（4,0）
分别对应图解法图1.1中凸多边形OABCD的五个顶点O、A、B、C、D。
3）用QSB软件求最优解，对C1,C2,b1,b2进行灵敏度分析，打印出计算结果。
解：
1、QSB软件求出最优解：
灵敏度分析：
q1=1.5，资源1的影子价格为1.5，资源1无剩余；
q2=0.5，资源2的影子价格为0.5，资源2无剩余；
q3=0，资源3的影子价格为0，资源3有剩余；
q1最大，资源1最紧缺。
C1、C2：
从上面最优解可看到，C1、C2为当前值2、3时，x1、x2均投入生产，此时保持最优解结构不变的C1、C2取值范围为C1≥1.5（C2不变时），0≤C2≤4（C1不变时）。
b1、b2：
从上面最优解可看到，要保持最优解结构和影子价格q1、q2、q3不变的b1、b2取值范围为4≤b1≤10（b2、b3不变时），2≤b2≤8（b1、b3不变时）。
二、有如下线性规划问题，令x6，x7分别为约束条件
（1）和
（2）的松弛变量，指出下表各组解的类型（1、可行解，2、非可行解，3、基础可行解，4、基础非可行解）
Maxf（x）=3x1+2x2+5x3+x4+2x5
x1+2x2+x3+x4+2x5≤430
（1）
4x1+2x3+3x4+6x5≤1290
（2）
x1,x2,x3,x4,x5≥0
xJ
解
x1x2x3x4x5x6x7
解的
类别
一
203040500260550
二
000004301290
三
0064500-2150
四
00023010000
五
30070000-1090
解：
xJ
解
x1x2x3x4x5x6x7
解的
类别
一
203040500260550
非可行解
二
000004301290
基础可行解
三
0064500-2150
基础非可行解
四
00023010000
可行解
五
30070000-1090
非可行解
具体分析过程：
将线性规划问题标准化后，见下
Maxf（x）=3x1+2x2+5x3+x4+2x5
x1+2x2+x3+x4+2x5+x6=430（3）
4x1+2x3+3x4+6x5+x7=1290（4）
x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0
1、解一
（1）因为非零分量个数6>m（=2），所以，它是非基础解。
（2）将解一代入约束方程（3），见下
20+2*30+40+50+2*0+260=430（满足）
将解一代入约束方程（4），见下
4*20+2*40+3*50+6*0+550=860（不满足）
综上所述它是非可行解。
2、解二
（1）
1）因为非零分量个数2≤m（=2）；（满足）
2）2个基变量（X6，X7）所对应的系数矩阵为：
即所对应的矩阵是非奇异的。
（满足）
3）将解二代入约束方程（3），见下
0+2*0+0+0+2*0+430=430（满足）
将解二代入约束方程（4），见下
4*0+2*0+3*0+6*0+1290=1290（满足）
综上所述，它是基础解。
（2）由于X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7均≥0，该解满足非负约束条件。
所以是基础可行解。
3、解三
（1）
1）因为非零分量个数2≤m（=2）；（满足）
2）2个基变量（X3，X6）所对应的系数矩阵为：
即所对应的矩阵是非奇异的。
（满足）
3）将解三代入约束方程（3），见下
0+2*0+645+0+2*0-215=430（满足）
将解三代入约束方程（4），见下
4*0+2*645+3*0+6*0+0=1290（满足）
综上所述，它是基础解。
（2）由于X6=-215<0，该解不满足非负约束条件。
所以是基础非可行解。
4、解四
（1）
1）因为非零分量个数2≤m（=2）；（满足）
2）2个基变量（X4，X5）所对应的系数矩阵为：
即所对应的矩阵是奇异的。
（不满足）
所以，它不是基础解。
（2）
1）将解四代入约束方程（3），见下
0+2*0+0+230+2*100+0=430（满足）
将解四代入约束方程（4），见下
4*0+2*0+3*230+6*100+0=1290（满足）
2）由于X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7均≥0，该解满足非负约束条件。
综上所述，它是可行解。
5、解五
（1）因为非零分量个数4>m（=2），所以，它是非基础解。
（2）
1）将解五代入约束方程（3），见下
300+2*70+0+0+2*0-10=430（满足）
将解五代入约束方程（4），见下
4*300+2*0+3*0+6*0+90=1290（满足）
2）由于X6=-10<0，该解不满足非负约束条件。
综上所述它是非可行解。
三、写出下列线性规划问题的对偶问题
Maxf（x）＝２ｘ1＋３ｘ2－５ｘ３
ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋ｘ４≥５
２ｘ１ ＋ｘ３ ≤４
ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＝６
ｘ１≤０，ｘ２，ｘ３≥０，ｘ４不限
解：
对偶问题为：
Ming（y）=5y1+4y2＋6y3
y1+2y2≤2
y1+y3≥3
y1--y2-y3≤5
y1+y3=0
y1≤0,y2≥0,y3正负不限。
四、有下列运输问题
B1
B2
B3
B4
ai
A1
A2
A3
3
1
7
11
9
4
3
3
10
18
8
5
7
4
9
bj
3
6
5
6
1）用表上作业法求解最优解；
解：
1、使用运费差额法求得初始方案，见下表4.1：
表4.1运费差额法求得的初始方案
初始解对应的总费用f（X）=2*3+1*1+6*4+5*3+3*8+3*5=85
2、用位势法对1的初始解进行检验：
（1）利用基变量的cij值计算出ui和vj的值，设u1=0，计算出ui和vj的值见表4.2。
表4.2
B1
B2
B3
B4
ui
A1
A2
A3
3
1
4
3
8
5
0
-2
-5
vj
3
9
3
10
（2）利用表4.2计算得到的ui和vj的值，按照公式zij=ui+vj计算所有的机会成本zij，填入表4.3。
表中非基变量各格划有斜线，斜线左上角表示相应的zij值，右下角表示运费单价cij；对于基变量，zij=cij，所以不用斜线区分。
表4.3（zij/cij）值及其检验
（3）计算非基变量各格中的zij-cij值，均≤0，所以该基础可行解为最优解。
2）用QSB软件求最优解，并打印计算结果。
解：
五、有如下任务分配问题
A
B
C
D
甲
2
15
13
14
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
1）用匈牙利法（清华算法）求解最优解；
解：
（1）匈牙利法（清华算法）求解如下：
（2）对应最优解的最终分配方案为：
甲->A、乙->B、丙->D、丁->C，其目标函数值为：
=2+4+13+11=30。
2）用QSB软件求最优解，并打印计算结果。
解：
运筹学作业2
一、某公司有4个推销员在全国三个不同市场里推销货物，这三个市场里推销员人数与收益的关系如下表。
试用动态规划方法确定市场推销员的最优分配方案，使总收益最大。
推销员
市场
0
1
2
3
4
1
2
3
20
40
50
32
50
60
47
60
72
57
71
84
66
82
97
解：
1．划分阶段
分成3个阶段，即K=3，并按逆向编号，市场3k=1,市场2k=2,市场1k=3。
分配推销员的优先顺序为：
市场1-市场2-市场3。
2．确定状态变量sk
状态变量sk表示第k阶段尚未分配的推销员数。
显然有s3=4,s2和s1的可能取值范围为0～4。
3．确定决策变量xk
决策变量xk表示分配给第k阶段市场的推销员数，显然有xk≤sk。
4．确定状态转移方程
状态转移方程为：
sk－1=sk-xk，即s2=s3-x3=4-x3。
5．确定直接效果函数dk（sk,xk）
dk（sk,xk）表示第k阶段初有推销员数sk,分配给第k市场xk个推销员时产生的直接收益，这些收益指标见题目中表格。
6．最优指标函数
由于三个市场的总收益等于三个市场的收益之和，即其指标函数为累加形式。
所以最优指标函数为:
fk（sk）=max{dk（sk,xk）+fk-1（sk-1）}k=1,2,3
xk
7．边界条件:
f0（s0）=0
8．各阶段计算过程如下：
第1阶段，s1=0,1,2,3,4
f1（s1）=max{d1（s1,x1）+f0（s0）}=max{d1（s1,x1）}
x1x1
f1（0）=max{d1（0,x1）}=d1（0,0）=50
x1≤0
f1
（1）=max{d1（1,x1）}=max{d1（1,0）,d1（1,1）}=max{50,60}=60
x1≤1
f1
（2）=max{d1（2,x1）}=max{d1（2,0）,d1（2,1）,d1（2,2）}
x1≤2
=max{50,60,72}=72
f1（3）=max{d1（3,x1）}=max{d1（3,0）,d1（3,1）,d1（3,2）,d1（3,3）}
x1≤3
=max{50,60,72,84}=84
f1（4）=max{d1（4,x1）}=max{d1（4,0）,d1（4,1）,d1（4,2）,d1（4,3）,d1（4,4）}
x1≤4
=max{50,60,72,84,97}=97
第2阶段，s2=0,1,2,3,4
f2（s2）=max{d2（s2,x2）+f1（s1）}
x2
f2（0）=max{d2（0,x2）+f1（0）}=d2（0,0）+f1（0）
x2
=40+50=90
f2
（1）=max{d2（1,x2）+f1（s1）}
x2
=max
{
d2（1,0）+f1
（1）
}
d2（1,1）+f1（0）
=max
{
40+60
}
50+50
=100
f2
（2）=max{d2（2,x2）+f1（s1）}
x2
=max
{
d2（2,0）+f1
（2）
}
d2（2,1）+f1
（1）
d2（2,2）+f1（0）
=max
{
40+72
}
50+60
60+50
=112
f2（3）=max{d2（3,x2）+f1（s1）}
x2
=max
{
d2（3,0）+f1（3）
}
d2（3,1）+f1
（2）
d2（3,2）+f1
（1）
d2（3,3）+f1（0）
=max
{
40+84
}
50+72
60+60
71+50
=124
f2（4）=max{d2（4,x2）+f1（s1）}
x2
=max
{
d2（4,0）+f1（4）
}
d2（4,1）+f1（3）
d2（4,2）+f1
（2）
d2（4,3）+f1
（1）
d2（4,4）+f1（0）
=max
{
40+97
}
50+84
60+72
71+60
82+50
=137
第3阶段，s3=4
f3（s3）=max{d3（s3,x3）+f2（s2）}
x3
f3（4）=max{d3（4,x3）+f2（s2）}
x3
=max
{
d3（4,0）+f2（4）
}
d3（4,1）+f2（3）
d3（4,2）+f2
（2）
d3（4,3）+f2
（1）
d3（4,4）+f2（0）
=max
{
20+137
}
32+124
47+112
57+100
66+90
=159
9．根据以上3个阶段的计算结果可知，使总收益最大的最优分配方案是：
1市场2个推销员，2市场0个推销员，3市场2个推销员，总收益为159单位。
二、
分别用标号法QSB软件求下图S到t的最短路径。
解：
标号法
根据上图的标号结果，采用反向追溯可确定始点S到终点t的最短路径为：
s-2-5-t，长度为31.
1．QSB软件
NetworkModeling-〉ShortestPathProblem
三、分别用标号法QSB软件求下图S到t的最大流。
图中弧边的数字为弧的容量。
解：
1．标号法
（1）确定一初始可行流，如图8.1中流为可行流f0={f0ij},流量为V（f0）=8；
图8.1确定一初始可行流
（2）标号寻找一条增广链，如图8.2。
图8.2标号寻找一条增广链
从图8.2可知，（s,3,5,6,t）为增广链，增广流量为1。
（3）增广过程，在图8.2中，对增广链（s,3,5,6,t）上弧进行增广，得到如图8.3的新可行流，流量为V（f1）=9。
图8.3标号寻找另一条增广链
在8.3中可行流基础上，重新寻找另一条增广链，如图可知，（s,3,5,t）为增广链，增广流量为7。
（4）增广过程，在图8.3中，对增广链（s,3,5,t）上弧进行增广，得到如图8.4的新可行流，流量为V（f2）=16。
图8.4标号寻找另一条增广链
在8.4中可行流基础上，重新寻找另一条增广链，如图可知，（s,2,5,t）为增广链，增广流量为3。
（5）增广过程，在图8.4中，对增广链（s,2,5,t）上弧进行增广，得到如图8.5的新可行流，流量为V（f3）=19。
图8.5标号寻找另一条增广链
在8.5中可行流基础上，重新寻找另一条增广链，如图可知，当标号进行到节点3时已无法进行下去，说明图8.5的可行流已不存在增广链，图8.5的可行流即为所求的最大流。
最大流的流量为V（f*）=19。
另外，从图8.7还可知，已标号节点为s,v2,v3,v4,v5和v6,，所以可得最小截集为（V,V’）={（v5,t）,（v6,t）}。
2．QSB软件
NetworkModeling-〉MaximalFlowProblem
四、某自动交换台有４条外线，打外线的呼叫为泊松流，强度为２次／分钟，通话时长服从负指数分布，平均通话时长为２分钟。
当４条外线全忙时，用户呼叫接遇忙音。
假设用户遇忙音后立即停止呼叫。
问
1、用户拨外线遇忙的概率为多大？
2、损失的话务量为多大？
3、外线的利用率为多少？
4、过负荷为１００％时，外线的利用率为多少？
解：
根据题意分析，这是一个M/M/4的损失制无限源系统，且
n=4
λ=2次／分钟
1/μ=2分钟/次
ρ=λ/μ=2*2=4Erl
1、用户拨外线遇忙,即4条外线均被占用的概率为：
=0.311
2、当４条外线全忙时,损失率为：
B=E4（4）=P4=0.311
损失的话务量为:
ρL=B*ρ=0.311*4=1.244Erl
3、外线的利用率
=0.689
4、过负荷为１００％时，外线的利用率
α=（ρ'-ρ）/ρ
ρ'=（1+α）*ρ=（1+1）*ρ=2*ρ=2*4=8Erl
=0.5746
=0.851
四、《决策分析》P179第1题。
1、某工厂需要10000个电源变压器。
其来源可能有两种选择，一种是用设备费11500元及每个化每个成本15元进行制造；另一种是以每个18元的价格购买成品。
外购成品可保证全部是正品，而自行制造则有一定次品，次品率的分布如下：
次品率
0
0.1
0.2
0.3
0.4
概率
0.15
0.25
0.2
0.25
0.15
若次品被组装后，在检验时发现，则每件需化费12元的修理费，问该厂应如何决策？
两种决策方案效果的差别是多少？
解：
设方案1为a1：
自行制造，方案2为a2：
购买成品；θ为自行制造的平均次品率.则
θ=0*0.15+0.1*0.25+0.2*0.2+.3*0.25+0.4*0.15=0.2
U（a1）=11500+10000*15+10000*θ*12=161500+10000*0.2*12=185500（元）
U（a2）=10000*18=180000（元）
U（a2）购买成品。
两种决策方案效果的差别是:
U（a1）-U（a2）=185500-180000=5500元。
五、《决策分析》P184第1，2题
1、有一小型工程，共有7个作业，它们之间的先后关系用节点号表示下表所示：
节点编号
作业代号
紧前作业
作业需要时间
A
--
2
B
--
4
C
--
5
D
B
1
E
A,C
1
F
A,C
3
G
E,B
7
1）绘制网络图；2）求关键路线及其工期。
解：
1）网络图如图9.1所示。
图9.1网络图
2）在图9.1上利用节点标号法，如图9.2所示。
图9.2
关键路线为
，路长即工期为13天。
2、设某工程网络图如下图所示，图中，每一作业旁边用“－”联结的3个数字分别表示该作业的最乐观、最可能和最悲观的作业完成时间。
1、
试求各作业的平均作业时间和方差；
2、根据每个作业的平均作业时间求该工程的关键路线及其工期；
3、试计算该工程在40天完成的概率；
4、如果完成的概率要求达到98％，则工程的工期应规定为多少天？
解：
1、各作业的平均作业时间和方差分别为：
t12=（4+4*6+14）/6=7,12=（14-4）/6=5/3
t13=（3+4*13+23）/6=13,13=（23-3）/6=10/3
t24=（5+4*7+15）/6=8,24=（15-5）/6=5/3
t34=（6+4*16+32）/6=17,34=（32-6）/6=13/3
t35=（2+4*6+10）/6=6,35=（10-2）/6=4/3
t45=（1+4*5+9）/6=5,12=（9-1）/6=4/3
2、在题中网络图上利用节点标号法，如图10.1所示。
图10.1
关键路线为：
1345。
工期为35天，即tm=35。
3、工程在40天完成的概率
因为，c2=（10/3）2+（13/3）2+（4/3）2=31.667
c=√c2=√31.667=5.627
当T=40天时，
z=（T-tm）/c=（40-35）/5.627=0.8886
查正态分布表可得
P（Z≤0.8886）=0.8133
所以工程在40天完成的概率为0.8133
4、如果完成的概率要求达到98％，即P（Z≤z）=0.98时，查正态分布表可得z=2.05，所以
T=z*c+tm=2.05*5.627+35=46.535
则工程的工期应规定为46.535天。
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