高考数学总复习83空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版.docx

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高考数学总复习83空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版

2019-2020年高考数学总复习8.3空间点直线平面之间的位置关系演练提升同步测评文新人教B版

1．在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

【解析】选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的．

【答案】A

2．（xx·安徽合肥一模）如图，已知四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，则下列结论中错误的是（　　）

A．过BD且与PC平行的平面交PA于点M，则M为PA的中点

B．过AC且与PB垂直的平面交PB于点N，则N为PB的中点

C．过AD且与PC垂直的平面交PC于点H，则H为PC的中点

D．过P，B，C的平面与平面PAD的交线为直线l，则l∥AD

【解析】设AC∩BD＝O，∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点．

∵过BD且与PC平行的平面交PA于M点，∴OM∥PC，∴M是PA的中点，故A正确．

设N为PB的中点，连接AN，∵PA与AB不相等，∴AN与PB不垂直，∴过AC且与PB垂直的平面交PB于N点，则N一定不是PB的中点，故B错误．

∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD，∴PA＝AC，PD＝DC，∴过AD且与PC垂直的平面交PC于H点，则H为PC的中点，故C正确．

∵AD∥BC，平面PAD与平面PCB有公共点P，

∴l∥AD∥BC，故D正确．故选B.

【答案】B

3．（xx·浙江）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　　）

A．m∥l　　　　　　　　　　B．m∥n

C．n⊥lD．m⊥n

【解析】由题意知，直线m与l以及直线m与n的位置关系不能确定，故A，B，D不正确．又n⊥β且l⊂β，则n⊥l.故选C.

【答案】C

4．（xx·江西南昌模拟）设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的（　　）

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，l⊥a，l⊥b，若a∥b，l可以与平面α斜交，推不出l⊥α；若l⊥α，a，b是平面α内两条不同的直线，由线面垂直的性质定理，得l⊥a，l⊥b，∴“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要而不充分条件．故选C.

【答案】C

5．（xx·湖南衡阳模拟）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（　　）

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

【解析】如图，连接C1D，BD，AC，在三角形C1DB中，MN∥BD，故C正确；

∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故A正确；∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，故B正确；∵A1B1与BD不平行，MN∥BD，∴MN与A1B1不平行，故D错误．故选D.

【答案】D

6．（xx·课标全国Ⅱ）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）

【解析】①不正确．由m⊥n，m⊥α，可知n∥α或n⊂α.

又n∥β，∴α∥β或α∩β＝l（但不一定垂直）．

②正确．n∥α，则存在n′⊂α，n∥n′，又m⊥α，则必有m⊥n′，

∴m⊥n.

③正确．α∥β，则α内任一直线均与β平行，又m⊂α，∴m∥β.

④正确．m∥n，∴m，n与α所成的角相等．又α∥β，∴n与α，β所成的角相等．∴m与α所成的角和n与β所成的角相等．

故答案为②③④.

【答案】②③④

7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

【解析】EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个．

【答案】4

8．（xx·浙江）如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

【解析】如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，

∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，

N为BC的中点，

由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2

，

∴MK＝

.

在Rt△CKN中，CK＝

＝

.

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝

＝

.

【答案】

9．（xx·四川高考改编）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

【解析】如图，将原图补成正方体ABCDQGHP，

连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APG＝

.

【答案】

10．如图，空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E，F，G的平面交AD于点H.

（1）求AH∶HD；

（2）求证：

EH，FG，BD三线共点．

【解析】

（1）∵

＝

＝2，∴EF∥AC，

∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，

平面EFGH∩平面ACD＝GH，

∴EF∥GH，∴AC∥GH.

∴

＝

＝3，∴AH∶HD＝3∶1.

（2）证明∵EF∥GH，且

＝

，

＝

，

∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形．

令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，

又P∈FG，FG⊂平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴P∈BD.∴EH，FG，BD三线共点．

B组　专项能力提升

（时间：

30分钟）

11．（xx·上海闵行区期末调研）已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：

A，B，C，D四点不共面，命题乙：

直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

【答案】A

12．（xx·郑州第二次质量预测）如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（　　）

A．|BM|是定值

B．点M在某个球面上运动

C．存在某个位置，使DE⊥A1C

D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE

【解析】取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝

A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得A、B正确．由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC重合，AC与DE不垂直，可得C不正确．

【答案】C

13．如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

【解析】还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

【答案】②③④

14．已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

（1）求证：

直线EF与BD是异面直线；

（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

【解析】

（1）证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

（2）取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝

AC，求得∠FEG＝45°，

即异面直线EF与BD所成的角为45°.

15．如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝

，AB＝2，AC＝2

，PA＝2.求：

（1）三棱锥PABC的体积；

（2）异面直线BC与AD所成角的余弦值．

【解析】

（1）S△ABC＝

×2×2

＝2

，三棱锥PABC的体积为V＝

S△ABC·PA＝

×2

×2＝

.

（2）如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE（或其补角）是异面直线BC与AD所成的角．

在△ADE中，DE＝2，AE＝

，AD＝2，

cos∠ADE＝

＝

.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为

.

2019-2020年高考数学总复习8.4直线平面平行的判定与性质演练提升同步测评文新人教B版

1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　）

A．AB∥CD　　　　　　　　　B．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A，B，C，D四点共面

【解析】充分性：

A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．

【答案】D

2．（xx·安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

【解析】对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确．

【答案】D

3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是（　　）

A．若l∥α，l∥β，则α∥β

B．若l⊥α，l⊥β，则α∥β

C．若l⊥α，l∥β，则α∥β

D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β

【解析】l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故A项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知B项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故C项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故D项错．故选B.

【答案】B

4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：

①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；

②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；

③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.

其中真命题的个数为（　　）

A．3B．2

C．1D．0

【解析】①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；

②中l与m也可能异面；③中

⇒l∥n，

同理，l∥m，则m∥n，正确．

【答案】C

5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

【解析】①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，

∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP（如图）．

④中，NP∥AB，能得出AB∥平面MNP.

【答案】B

6．（xx·河南省实验中学模拟）如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，

＝________．

【解析】连接AC交BE于点M，连接FM.

∵PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FM，∴PA∥FM，∴

＝

＝

＝

.

【答案】

7．（xx·青岛二模）将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”．给出下列四个命题：

①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行．其中是“可换命题”的是________．（填命题的序号）

【解析】由线面垂直的性质定理可知①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，不是“可换命题”；由公理4可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④是假命题，故④不是“可换命题”．

【答案】①③

8．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1（底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱）中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，动点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

【解析】因为HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面B1BDD1，故线段FH上任意点M与N相连，都有MN∥平面B1BDD1.（答案不唯一）

【答案】M∈线段FH

9．如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．

求证：

（1）BE∥平面DMF；

（2）平面BDE∥平面MNG.

【证明】

（1）如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，

又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，

所以BE∥平面DMF.

（2）因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，

又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，

所以DE∥平面MNG.

又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，

所以BD∥MN，

又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，

所以BD∥平面MNG，

又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，

所以平面BDE∥平面MNG.

10．如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD为菱形．

（1）证明：

平面AB1C∥平面DA1C1；

（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？

若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．

【解析】

（1）由棱柱ABCDA1B1C1D1的性质知，AB1∥DC1，∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面DA1C1，∴AB1∥平面DA1C1，

同理可证B1C∥平面DA1C1，而AB1∩B1C＝B1，

由面面平行的判定定理知，平面AB1C∥平面DA1C1.

（2）存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.

∵A1B1綊AB綊DC，∴四边形A1B1CD为平行四边形．

∴A1D∥B1C.

在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，

∵B1B綊C1C，∴B1B綊CP，∴四边形BB1CP为平行四边形，

则BP∥B1C，∴BP∥A1D，∴BP∥平面DA1C1.

B组　专项能力提升

（时间：

30分钟）

11．（教材改编）对于平面α和共面的直线m，n，下列命题中为真命题的是（　　）

A．若m，n与平面α所成的角相等，则m∥n

B．若m∥α，n∥α，则m∥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α

D．若m⊂α，n∥α，则m∥n

【解析】正三棱锥PABC的侧棱PA，PB与底面所成角相等，但PA与PB相交，应排除A；若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，应排除B；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，应排除C；因为m，n共面，设经过m，n的平面为β，因为m⊂α，所以α∩β＝m.因为n∥α，所以n∥m.

【答案】D

12．空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是________．

【解析】设

＝

＝k，∴

＝

＝1－k，

∴GH＝5k，EH＝4（1－k），∴周长＝8＋2k.

又∵0

【答案】（8，10）

13．（xx·昆明第一次检测）在三棱锥SABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于D，E，F，H.D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为________．

【解析】取AC的中点G，连接SG，BG.

易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，

故AC⊥平面SGB，

所以AC⊥SB.

因为SB∥平面DEFH，SB⊂平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，

则SB∥HD.同理SB∥FE.

又D，E分别为AB，BC的中点，

则H，F也为AS，SC的中点，

从而得HF綊

AC綊DE，

所以四边形DEFH为平行四边形．

又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，

所以DE⊥HD，

所以四边形DEFH为矩形，

其面积S＝HF·HD＝

·

＝

.

【答案】

14．（xx·课标全国Ⅲ）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（1）证明：

MN∥平面PAB；

（2）求四面体NBCM的体积．

【解析】

（1）证明由已知条件，得AM＝

AD＝2.

取BP的中点T，连接AT，TN.

因为N为PC的中点，

所以TN∥BC，

TN＝

BC＝2，

所以TN＝AM.

又AD∥BC，所以TN∥AM，且TN＝AM，故四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，

所以MN∥平面PAB.

（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，

所以N到平面ABCD的距离为

PA.

取BC的中点E，连接AE.因为AB＝AC＝3，

所以AE⊥BC，AE＝

＝

.

因为AM∥BC，所以点M到BC的距离为

，

故S△BCM＝

×4×

＝2

.

所以四面体NBCM的体积

VNBCM＝

×

PA·S△BCM＝

.

15．（xx·衡水模拟）如图所示的几何体ABCDFE中，△ABC，△DFE都是等边三角形，且所在平面平行，四边形BCED是边长为2的正方形，且所在平面垂直于平面ABC.

（1）求几何体ABCDFE的体积；

（2）证明：

平面ADE∥平面BCF.

【解析】

（1）取BC的中点O，ED的中点G，连接AO，OF，FG，AG.

∵AO⊥BC，AO⊂平面ABC，平面BCED⊥平面ABC，

∴AO⊥平面BCED.同理FG⊥平面BCED.∵AO＝FG＝

，

∴VABCDFE＝

×4×

×2＝

.

（2）证明由

（1）知AO∥FG，AO＝FG，

∴四边形AOFG为平行四边形，∴AG∥OF.

又∵DE∥BC，DE∩AG＝G，DE⊂平面ADE，AG⊂平面ADE，FO∩BC＝O，FO⊂平面BCF，BC⊂平面BCF，

∴平面ADE∥平面BCF.