高考数学解题策略题目.docx

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高考数学解题策略题目

函数的主干知识、函数的综合应用以及函数与方程思想的考查，一直是高考的重点内容之一.高考试题中，既有灵活多变的客观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可以说是贯穿了数学高考整份试卷.高考中所占比重比较大，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，难度值一般控制在

之间.

考试要求：

考查逻辑思维能力、等价转换能力、空间想象能力、运算能力、识别能力、运用数学知识分析问题和解决问题能力.函数思想主要有：

（1）引入变量，确定函数关系；

（2）选定主元，揭示函数关系；（3）选取变元，构造函数关系；（4）实际问题，建立函数关系；（5）特殊函数，转化函数关系.方程思想主要有：

（1）待定系数求解方程；

（2）分类思想讨论方程；

（2）变量代换构造方程.

题型一构造函数和方程解题

例1.已知

，（

、

、

），则有（）.

A.

B.

C.

D.

变式与引申1：

（2009年山东文科第12题）已知定义在

上的奇函数

，满足

且在区间

上是增函数,则（）.

A.

B.

C.

D.

题型二函数、方程、不等式三者之间的相互转化

例2.已知

，

，对于

值域内的所有实数

，不等式

恒成立，求

的取值范围．

变式与引申2：

设不等式

对于满足

的所有

的值都成立，求

的取值范围.

题型三函数与方程在解析几何中的应用

例3.已知中心在坐标原点

的椭圆

经过点

，且点

为其右焦点.

（1）求椭圆

的方程；

（2）是否存在平行于

的直线

，使得直线

与椭圆

有公共点，且直线

与

的距离等于4？

若存在，求出直线

的方程；若不存在，请说明理由.

变式与引申3：

已知

的边

边所在直线的方程为

满足

点

在AC边所在直线上，且满足

．

（

）求AC边所在直线的方程；（

）求

外接圆的方程；

（

）若动圆过点

，且与

的外接圆外切，

求动圆的圆心的轨迹方程．

题型四应用函数与方程研究实际问题

例4.某港口

要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口

北偏西30°且与该港口相距20海里的

处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以

海里/小时的航行速度匀速行驶，经过

小时与轮船相遇.

（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

（2）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；

（3）是否存在

，使得小艇以

海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？

若存在，试确定

的取值范围；若不存在，请说明理由.

变式与引申4：

（2010年湖北理科第17题）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用

（单位：

万元）与隔热层厚度

（单位：

）满足关系：

，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设

为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

本节主要考查：

（1）本节考查的是函数与方程的思想方法；

（2）主观题即选择题和填空题考查函数与方程思想的基本运算，解答题中，则是更深层次地在知识网络的交汇处、从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查.

点评：

1.函数思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题.

2.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程思想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.

3.

（1）函数和方程是密切相关的，对于函数

，当

时，就转化为方程

，也可以把函数式

看做二元方程

.函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程

，就是求函数

的零点.

（2）函数与不等式也可以相互转化，对于函数

，当

时，就转化为不等式

，借助于函数图象与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式.

（3）数列的通项或前

项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要.

（4）函数

（

）与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题.

（5）解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论.

（6）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.

习题

1.设

是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，

=

，则

=

（A）-

（B）

（C）

（D）

2.设函数

对任意

恒成立，则

实数

的取值范围是________.

3．设

为数列

的前

项和，

，

，其中

是常数．

（1）求

及

；

（2）若对于任意的

，

，

，

成等比数列，求

的值.

4.已知函数

.若

且

求

的取值范围.

5.设

，

分别为椭圆

的左、右焦点，过

的直线

与椭圆

相交于

两点，直线

的倾斜角为

，

到直线

的距离为

.

（1）求椭圆

的焦距；

（2）如果

求椭圆

的方程.

第2节运用分类讨论思想解题的策略

分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置，在选择题、填空题、解答题中都会涉及到分类讨论的思想方法，其难度在0.4～0.6之间.

考试要求：

《考试说明》强调，对于数学思想和方法的考查要与数学知识的考查结合进行，通过数学知识的考查，反映考生对数学思想和方法理解和掌握的程度．考查时，要从学科整体意识和思想含义上立意，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度．

题型一由概念引起的分类讨论

例1.平面直角坐标系

中，直线

与抛物线

相交于

、

两点．求证：

“如果直线

过点

，那么

”是真命题.

变式与引申1：

已知集合

，若

时，则实数

的取值范围是____________.

题型二由参数引起的分类讨论

例2.（2011全国课标卷第21题）已知函数

，曲线

在点

处的切线方程为

。

（Ⅰ）求

、

的值；

（Ⅱ）如果当

，且

时，

，求

的取值范围。

变式与引申2：

（1）解关于

的不等式：

.

（2）设

为实常数，问方程

表示的曲线是何种曲线？

题型三由自变量引起的分类讨论

例3.若不等式

在

内恒成立，求实数

的取值范围.

变式与引申3：

（1）设

则不等式

的解集为（）

A.

B.

C.

D.

（2）已知

是不为零的实数，

则

.

题型四由运算引起的分类讨论

例4.已知函数

（Ⅰ）证明：

曲线

（Ⅱ）若

求a的取值范围.

变式与引申4：

（1）若

，求数列

的前

项和

.

（2）已知等差数列

的前

项和

.求数列

的前

项和

.

本节主要考查：

（1）本节考查的是分类讨论的数学思想方法，高中数学的每一个知识点都可能成为分类讨论考查的对象，因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础.

（2）分类讨论的原则有：

同一性原则、互斥性原则、层次性原则.同一性原则简言之即“不遗漏”；互斥性原则强调的是“避免重复”；层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行,不同标准的不同层次的讨论不能混淆.（3）分类讨论的思想方法是把要解决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,便于求解.它的思维策略是“化整为零，各个击破”.

点评：

（1）分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法，在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置.分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用.

（2）引入分类讨论的主要原因

由数学概念引起的分类讨论：

如绝对值的定义、直线的斜率等；

由数学运算要求引起的分类讨论：

如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等；

由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；

由图形的不确定引起的分类讨论；

由参数的变化引起的分类讨论；

按实际问题的情况而分类讨论.

（3）分类讨论的思想方法的步骤：

（1）确定标准；

（2）合理分类；（3）逐类讨论；（4）归纳总结

（4）解题时把好“四关”

要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”；

要找准划分标准，把好“分类关”；

要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”；

要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关”.

习题

1.已知函数

，下列结论正确的是（）

A．当

时，有最小值0B．当

时，有最大值0

C．无最大值和最小值D．有最小值无最大值

2.数列

的通项

，其前

项和为

，则

=_________

3.已知集合

，若

求

的取值范围.

4.已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：

，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数

.求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

5.（2011湖南文科）设函数

（I）讨论

的单调性；

（II）若

有两个极值点

，记过点

的直线的斜率为

，问：

是否存在

，使得

若存在，求出

的值，若不存在，请说明理由．

第三节运用数形结合思想解题的策略

数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化,能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合.运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程.这在解选择题、填空题中更显其优越.

考试大纲的说明中强调：

“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法，解答题中对数形结合思想的考查以由‘形’到‘数’的转化为主.”

考试要求展望2014年高考考查数形结合思法，可能会与以下内容为载体来命题：

①函数与图象的对应关系；②曲线与方程的对应关系；③以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等；④所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.

题型一数形结合在函数与方程中的应用

例1.已知

且

试求使方程

有解的实数

的取值范围.

变式与引申1:

求函数

的值域.

题型二数形结合在不等式中的应用

例2.若不等式

的