函数与方程重点.docx

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函数与方程重点

函数与方程（重点）

适用学科

高中数学

适用年级

高中三年级

适用区域

全国新课标

课时时长（分钟）

60

知识点

1.对一般方程的零点的求法2.二分法求零点

3.零点个数

教学目标

了解二分法的基本思想;能够借助计算机（或计算器）用二分法求相应方程的近似解;掌握方程的根与函数的零点之间的关系,体会函数的核心地位,形成用函数的观点处理数学问题的意识。

教学重点

能够借用计算器用二分法求相应方程的近似解

教学难点

对二分发的理论支撑的理解

教学过程

一.课程导入：

问题1：

在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是

一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？

如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km长，大约有200多根电线杆子呢． 

（设计意图：

从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点，通 过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法，说明二分法源于现实生活，并在 现实生活中广泛应用。

） 

想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？

二、复习预习

（1）本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。

 函数f（x）的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看,即为相应方程f（x）=0的实数根，从函数的图形表示看,函数的零点就是函数f（x）与x轴交点的横坐标.函数是中学数学的核心概念，核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性，而函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机的联系在一起。

（2）本节是函数应用的第一课，因此教学时应当站在函数应用的高度，从函数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。

三、知识讲解

考点1、函数的零点

（1）函数的零点的概念

对于函数y＝f（x），把使f（x）＝0的实数x叫做函数y＝f（x）的零点．

（2）函数的零点与方程的根的关系

方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点．

（3）零点存在性定理

如果函数y＝f（x）满足：

①在闭区间[a，b]上连续；②f（a）·f（b）＜0；则函数y＝f（x）在（a，b）上存在零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．

考点2、二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且f（a）·f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

四、例题精析

考点一零点的判定

【例题1】

【题干】判断下列函数在给定区间是否存在零点。

（1）f（x）=x2-3x-18,x∈[1,8];

（2）f（x）=log2（x+2）-x,x∈[1,3]

【答案】见解析

【解析】

（1）方法一：

∵f

（1）=12-3×1-18=-20<0,

f（8）=82-3×8-18=22>0,

∴f

（1）·f（8）<0,

故f（x）=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点

方法二：

令f（x）=0得x2-3x-18=0，x∈[1,8]。

∴（x-6）（x+3）=0,

∴x=6∈[1,8],x=-3

[1,8],

∴f（x）=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点

（2）方法一：

∵f

（1）=log23-1>log22-1=0,f（3）=log25-3

∴f

（1）·f（3）<0,故f（x）=log2（x+2）-x,x∈[1,3]存在零点。

方法二：

设y=log2（x+2）,y=x,，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当

时，两图象有一个交点，因此f（x）=log2（x+2）-x,x∈[1,3]存在零点。

考点二函数零点个数的判定

【例题2】

【题干】判断函数

在区间

上零点的个数，并说明理由。

【答案】见解析

【解析】

考点三与二次函数有关的零点分布问题

【例题3】

【题干】

（1）m为何值时，f（x）=x2+2mx+3m+4①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比-1大；

（2）若函数f（x）=|4x-x2|+a有4个零点，求a取值范围。

【答案】见解析

【解析】

（1）①若函数f（x）=x2+2mx+3m+4有且仅有一个零点，则等价于Δ=4m2-4（3m+4）=0,即4m2-12m-16=0,即m2-3m-4=0,解得m=4或m=-1

②方法一：

方程思想

若f（x）有两个零点且均比-1大，设两零点分别为x1,x2,则x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4,

故只需

，

故m的取值范围是

方法二：

函数思想

若f（x）有两个零点且均比-1大，结合二次函数图象可知只需满足

，故

∴m的取值范围是

。

（2）若f（x）=|4x-x2|+a有4个零点，即4x-x2|+a=0有四个根，即|4x-x2|=-a有四个根，令g（x）=|4x-x2|,h（x）=-a.则作出g（x）的图象,

由图象可知要使|4x-x2|=-a有四个根，则g（x）与h（x）的图象应有4个交点。

故需满足0<-a<4,即-4

课后评价