趣味数学.docx

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趣味数学

趣味数学

　只有喜欢数学，热爱数学，才能真正学好数学，运用好数学。

那么，怎样才能喜欢数学、热爱数学呢？

　　1．培养学习数学的兴趣。

　　人们常说兴趣是最好的老师，学习数学也是这样。

那么，怎样才能培养自己学习数学的兴趣呢？

其实方法很多，其中之一就是寻找生活中的数学问题，真正体验到生活中处处有数学。

　　例如，妈妈让你到商店去买5个面包，在陈列面包的柜台里，放着如下图所示这样一些不同种类的袋装面包，你可以怎样买呢？

　　可以有5种不同的买法，分别是：

（1）买一袋，5只装的一袋。

（2）买两袋，可以有两种买法。

　　a．一袋1只，一袋4只。

　　b．一袋2只，一袋3只。

　　（3）买三袋，可以有两种买法。

　　a．2只装的买两袋，三只装的买一袋。

　　b．3只装的买一袋，l只装的买两袋。

　　（4）买四袋，2只装的买一袋，1只装的买三袋。

　　（5）买五袋，1只装的五袋。

　　同学们，这就是我们日常生活中经常遇到的问题，是不是很有趣啊。

在日常生活中，这样的问题有许许多多，只要你仔细观察、认真思考，就能用我们学到的数学知识解决这类问题。

体会到数学的有用性，你就会对数学充满深深的热爱，如果你总是怀着一种愉悦的心情学习数学，你就会乐此不疲、乐在其中。

　　2．掌握“分段”学习方法。

　　分段实现大目标，这是日本马拉松选手山田本一给人的启示。

在1984年的东京国际马拉松邀请赛和1986年意大利国际马拉松邀请赛中，日本选手山田本一均夺得世界冠军。

当记者请他谈谈经验时，性情木讷、不善言谈的山田本一的回答像谜：

用智慧战胜对手。

10年后，这个谜才被揭开。

山田本一在他的一本自传中说：

每次比赛之前，我都要乘车把比赛的路线仔细看上一遍，并把沿途比较醒目的标志画下来。

比如第一个标志是银行，第二个标志是棵大树，第三个标志是一座红房子……这样一直画到赛程的终点。

比赛开始后，我就奋力向第一个目标冲去。

等到达第一个目标后，我又奋力冲向第二个目标……四十多公里的赛程，就被我分解成这么几个小目标轻松地跑完了。

起初，我并不懂这个道理，我把我的目标定在四十多公里外终点线上的那面旗帜上，结果我跑了十几公里就疲惫不堪了。

我被前面那段遥远的路程给吓倒了。

　　在学习数学的过程中也应该采取“分段”学习的方法。

其实你们每天需要学习的数学内容并不多，例如第十一册教材第一课，只要掌握分数乘以整数的意义、计算法则，并能运用这些知识解答实际问题就可以了，这是多么简单的事情啊。

日日积累、月月积累、年年积累就积累了许多数学基础知识与基本技能，在运用这些知识与技能解决实际问题的时候，你们的实践能力也会得到提高。

　　同学们，请你尝试一下运用以上的方法学习数学，你一定能更加喜欢数学、热爱数学。

猴子抬西瓜

　　小猴子从300米远的地方往回抬一个大西瓜，需要2个小猴子一起抬，现在由3个小猴子轮流参加抬，请你算一下，每个小猴子抬西瓜平均走了多少米？

　　青蛙捉虫子

　　大小两只青蛙比赛捉虫子，大青蛙比小青蛙捉得多。

如果小青蛙把捉的虫子给大青蛙3只，则大青蛙捉的就是小青蛙的3倍。

如果大青蛙把捉的虫子给小青蛙15只，则大小青蛙捉的虫子一样多。

你知道大小青蛙各捉了多少只虫子吗？

　　答案是：

　　1.每个小猴子抬西瓜平均走了200米。

　　2个小猴子抬着走300米，共要走300×2＝600（米）。

3个小猴子轮流抬，平均每个小猴子抬西瓜走了300×20÷3＝200（米）。

　　2.大青蛙捉了51只虫子，小青蛙捉了21只虫子。

大青蛙比小青蛙多捉虫子15＋15＝30（只），如果小青蛙把捉的虫子给大青蛙3只，则大青蛙比小青蛙多虫子30＋3×2＝36（只），这时大青蛙捉的虫子是小青蛙的3倍，所以1倍就是（30＋3×2）÷（3-1）＝18（只），小青蛙捉虫子18＋3＝21（），大青蛙捉虫子21＋15×2＝51（只）。

怎样分析应用题

有的同学一看到应用题就害怕，不知从哪儿下手分析，下面谈谈分析应用题的一些基本方法。

　　首先要学好简单应用题，这是解答应用题的基本功。

因为复合应用题都是由几个简单应用题组成的。

　　怎样分析复合应用题呢？

由于思维过程不同，分为综合法和分析法两种。

综合法是从已知条件出发，逐步推出要解决的问题；分析法是从问题出发，逐步追溯到已知条件。

例如：

红叶服装厂计划做66O套衣服，已经做了5天，平均每天做75套。

剩下的要3天做完，平均每天做多少套？

　　用分析法分析：

要求平均每天做多少套，就必须知道剩下多少套（未知）和剩下的要几天做完（已知）；要求剩下多少套就必须知道计划做多少套（已知）和已经做了多少套（未知）；要求已经做了多少套就必须知道平均每天做多少套（已知）和做了几天（已知）。

这样一步一步找出新的问题中的数量关系，直到新的问题所要求的数量关系都成为已知条件为止。

　　用综合法分析：

题中告诉我们，已经做了5天，平均每天做75套，我们能求出5天做的套数；已知计划做660套和5天做的套数，我们能求出剩下的套数；已知剩下的套数和剩下做的天数，我们能求出剩下平均每天做的套数。

根据题中给的已知条件，一步步找到需要解答的问题。

　　分析应用题时两种方法经常是互相配合，灵活运用。

用综合法分析要随时照顾要求的问题，注意已知条件和问题的关系；用分析法分析要随时照顾已知条件，注意问题和已知条件的关系。

不论用什么方法分析应用题，都要认真审题，理解题意，通过分析已知条件和问题间的数量关系，找出中间问题（也叫关键问题），最后求得应用题的正确解答。

找“等量关系”的几种方法

列方程解应用题的关键是确定等量关系。

那么，解题时应如何寻找等量关系呢？

下面告诉同学们几种常用的方法。

　　1．从题中反映的基本数量关系确定等量关系。

　　任何一道应用题，都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式，这个基本数量关系式就是题中的等量关系。

　　如“商店原来有一些饺子粉，又运来12袋，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。

这个商店原来有多少千克饺子粉？

”根据题目叙述顺序我们很容易写出：

原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量。

　　2．紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。

　　同学们在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形的表面积和体积的计算公式。

这些公式，是等量关系的具体化。

　　如“一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？

”我们可以根据三角形面积计算公式直接列出方程。

　　3．根据常见的数量关系确定等量关系。

　　在三年级的时候，同学们已经学习了乘、除法应用题中常见的数量关系。

如，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。

这些常见的基本数量关系，就是等量关系。

　　4．抓住关键句子确定等量关系。

　　好多应用题都有体现数量关系的句子。

解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。

　　如，根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知：

舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数。

根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知：

桃树的棵数＋杏树的棵树＝180棵。

　　5．借助线段图确定等量关系。

　　线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。

对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

　　如“有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。

如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。

原来两袋大米各有多少千克？

”

　　根据题意，可以画出下面的线段图。

　　从图中很容易得出：

甲袋重量－乙袋重量＝5千克。

　　6．抓住“不变量”确定等量关系。

　　适合用正、反比例解答的应用题，我们可以根据题中的“比值一定”和“积一定”找等量关系。

　　当然，确定等量关系的方法不只以上几种，同学们在学习时要注意总结，力争找到更多更好的方法。

列式要重视思路

　解应用题时，既要重视在理解题意基础上去列式，更应注意列式的思维过程。

　　请看列式的思路。

　　一、思路不同、列式不同

　　有些应用题，因为解题的思路不同，所以出现不同的列式，而得出相同的结果。

　　如，一块钢坯重150千克，先截下30千克做4O个同样的零件，照这样计算，余下的钢坯可以做这样的零件多少个？

　　1．先求出余下的重量，再除以每个零件的重量。

　　列式为：

（150－30）÷（3O÷40）＝160（个）

　　2．先求出余下的重量是截下的几倍，然后再求可做多少个零件。

　　列式为：

40×〔（150－30）÷30〕＝160（个）

　　3．先求出总重量是截下的几倍，再求出可做多少个零件。

　　列式为：

40×（150÷30）－40＝160（个）

　　4．先求出每千克钢坯可做多少个零件，再求余下可做多少个零件。

　　40÷30×l50－40＝160（个）

　　5．先求每千克钢坯可做零件的个数，然后再求出余下的钢坯可做多少个零件。

　　（40÷30）×（150－30）＝160（个）

　　二、思路相同、列式不同

　　有些应用题，虽然思路相同，但列式不同。

　　如，光明机械厂去年计划生产机床1800台，实际头2个月就生产了计划的

，照这样计算，可提前几个月完成任务？

　　解题思路都是用计划用的时间－实际用的时间＝提前时间。

　　列式为：

（1）12－180÷（1800×

÷2）＝2（个月）

（2）12－l÷（

÷2）＝2（个月）

　　（3）12－2÷

＝2（个月）

　　（l）种是一般应用题解法。

1800×

÷2是实际每月生产机床的台数，1800除以实际每月生产的台数就是实际用的时间，计划用的时间减去实际用的时间，就是提前的时间。

（2）种是用“工程问题”的解法。

把计划生产的总台数看作单位“1”，（

÷2）是实际工效，1÷（

÷2）＝10是实际用的时间，12－10＝2（个月），即是提前的时间。

　　（3）种是分数应用题的解法。

把实际完成计划任务所用的时间看作单位“1”。

2个月完成了全部工作量的，则实际完成全部工作的时间为2÷

＝10（个月），再用计划用的时间减去实际用的时间就是提前的时间。

即12－10＝2（个月）

　　以上几种列式总体的解题思路都是用计划用的时间一实际用的时间＝提前时间。

但在具体解答中，从不同角度去分析，得出不同的解法，也就出现了不同的列式。

　　三、列式相同、思路不同

　　在解应用题时，有时虽然是同一种列式方法，但是解题思路却是不同的。

　　如，从果品公司买来7200千克水果，用2辆载重为1200千克的汽车来运，几次可以运完？

（1）因为每辆汽车每次运1200千克，假设7200千克水果用一辆汽车来运，要运几次？

实际用2辆汽车运，几次可以运完？

所以可以先求用一辆汽车运要运几次，再求用2辆汽车运要运几次。

　　列式为：

7200÷1200÷2＝3（次）

（2）因为每辆汽车每次运1200千克，假设7200千克水果要一次运完，需要几辆汽车？

实际只用2辆汽车运，要运几次呢？

所以可先求出一次运完要用几辆汽车，再求2辆车几次可以运完。

　　列式也是：

7200÷1200÷2＝3（次）

　　通过以上的几个例子可以看出，列式时可能出现几种情况：

思路不同，列式不同；思路相同，列式不同；列式相同，思路不同。

所以解题时，要把解题和训练思维有机给合起来。

要在解题时，常想想：

我根据题意是怎样列式的，列式的思考过程是什么？

是怎样分析题中数量关系的，分析的角度一样吗？

久而久之，通过解答应用题，起到训练思考力的作用，从而不断提高我们的思维水平。

做计算题也要认真审题

解答应用题的时候，我们都非常重视审题这个环节，因为不认真审题，就不能正确地理解题意、分析数量关系，解题也就无从入手了。

而在做计算题的时候，往往认为数目和运算符号都是明摆着的，不审题也照样可以计算。

其实，做计算题的时候同样也是需要认真审题的。

通过审题，可以看清数目的特点，运算之间的关系，既能确定运算顺序，又能进一步思考：

是否可以应用运算定律或运算性质，使计算方法更加合理、灵活，计算更加简便呢？

审题，可以培养我们的观察能力，发展我们的思维能力，提高我们的计算能力。

　　现在，让我们通过计算下面的题，进一步认识审题是多么的重要啊！

　　（

＋

）÷5×

有的同学说这道题的计算结果是

，你同意吗？

先让我们一起来审题：

这是一道含小括号的三步计算式题，按运算顺序的规定，应该先算小括号里的，再算小括号外的。

小括号里

＋

，和是

，小括号外的乘法与除法属同一级运算，计算时应该从左往右依次进行。

正确的计算过程是：

（

＋

）÷5×

＝

÷5×

＝

×

×

＝

。

计算的最后结果应该是

，而不是

。

从表面上看，造成错误的原因是计算时违反了运算顺序，实际上呢，是有的同学被5×

正好可以约分这一组合形式吸引所致。

如果我们在计算之前能够认真审题的话，那么，这样的错误是完全可以避免的，你说对吗？

　　又如15×78＋45×74，这是一道“求两积之和”的三步式题，粗看，数目和和运算之间没有明显的特点，按运算顺序应该先分别计算出15×78、45×74的积，然后将两个积相加，它们的和便是计算的最后结果。

如果我们在审题时，充分利用自己头脑中的数字知识，就能看到数目间的倍数关系，并能想到将原来的算式转化成为符合应用乘法分配律进行简算的可能性。

依据“两个数相乘，一个因数扩大几倍，另一个因数缩小同样的倍数，积不变”的性质，将15扩大3倍为45，78缩小3倍为26，使15×78转化成为45×26。

计算过程是：

15×78＋45×74＝（15×3）×（78÷3）＋45×74＝45×26＋45×74＝45×（26＋74）＝45×100＝4500。

由此可见，认真审题，有时可以将题目进行合理地“改造”，使计算简便。

认真审题，既是一个良好的学习习惯，也是一项重要的学习能力。

习惯和能力都需要有意识地去培养，让我们在做计算题的过程中，自觉地增强审题意识，锻炼审题能力吧！

计算方法与运算定律的联系

同学们掌握了整数四则的计算方法，又学习了加法和乘法的几个运算定律后，你想过没有，已掌握的计算方法和这些运算定律之间有什么联系？

　　加法和乘法的运算定律是很重要的基础知识，它们不仅是加法、乘法的简便运算的重要依据，也是加法、乘法的口算和笔算的重要依据。

理解运算定律和计算方法之间的联系，能帮助我们牢固地掌握这些基础知识。

　　我们知道，多位数乘法的计算方法是：

先用乘数每一位上的数去乘被乘数，用乘数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐，然后把几次乘得的数加起来。

这个计算方法是根据乘法分配律得出的。

　　例如，342×23

　　＝342×（20＋3）

　　＝342×20＋342×3

　　＝684O＋1026

　　＝7866

　　写成竖式，就是：

　　两种算法的算理相同。

　　我们还知道，因数末尾有0和乘法的简便算法是：

先把0前面的数相乘，最后看因数末尾一共有几个0，就在乘得数的末尾添写几个0。

这个简便算法是根据乘法交换律和乘法结合律得出的。

　　例如，5800×60，应用乘法交换律和乘法结合律计算是：

　　5800×60

　　＝（58×100）×（6×10）

　　＝（58×6）×（100×10）

　　＝348×1000

　　＝348000

　　写成竖式，就是：

　　得数348000＝348×1000，其中348＝58×6，1000＝100×10。

　　两种算法的算理相同。

　　想一想：

多位数加法的计算方法与加法交换律、结合律有什么联系？

你能举例说明吗？

乘、除法的简单估算

估算是数学的一个重要内容。

虽然目前它还只作为选学的内容，但它在日常生活中的应用已越来越广泛。

学一点简单的估算知识，不仅可以提高我们的计算能力，还可以培养我们思维的灵活性。

目前在我们数学课本中安排的简单估算，主要是乘、除法的简单估算。

内容包括：

乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算；乘数是两位数的乘法估算与除数是两位数的除法估算。

乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算，既有相同的地方，也有不同的地方。

相同的地方是：

都要用四舍五入法求出被乘数或被除数的近似数，再用这个近似数去乘以或除以一位数。

不同的地方是：

求近似数时，乘数是一位数的乘法估算，只要把被乘数的最高位后面的尾数省略。

除数是一位数的除法估算，则要分两种情况来处理：

如果被除数的最高位上的数够除，就把最高位后面的尾数省略；如果被除数的最高位上的数比除数小，就把前两位后面的尾数省略。

这就是说，当被除数最高位上的数够除时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近似数的方法相同；当被除数最高位上的数比除数小时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近似数的方法不同。

我们可以把它们的共同点和不同点整理成下表。

求被乘数或被除数的近似数的方法

举例

用一位数乘

把最高位后面的尾数省略

3186×3≈9000

　↓

 3000

用一位数除

被除数最高位上的数够除

3186÷3≈1000

　↓

 3000

被除数最高位上的数比除数小

把前两位后面的尾数省略

3186÷4≈800

　↓

 3200

乘数是两位数的乘法估算的方法与乘数是一位数的估算基本相同，所不同的是被乘数和乘数都要先取近似数，然后再用两个近似数相乘。

例如，

3186×38≈120000

     ↓   ↓

   3000 40

除数是两位数的除法估算的方法也与除数是一位数的估算基本相同，所不同的是被除数和除数都要先取近似数，然后再求两个近似数的商。

除数都省略十位后面的尾数。

被除数最高位上的数如果比除数十位上的数大，就把最高位后面的尾数省略；如果比除数十位上的数小，就把前两位后面的尾数省略。

例如，3186÷28≈100                   3186÷42≈80

          ↓   ↓                           ↓   ↓

        3000  40                         3200 40

先从简单情况考虑

　著名数学家华罗庚爷爷指出，善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失去重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。

这段话给我们以深刻的启示：

当我们遇到一道难题束手无策时，不妨采用“退”的方法先退到一种简单的情况进行考虑，然后通过判断、推理，进而使问题得到解决。

举一个简单的例子：

　　例1．修一段公路，第一天修全路的

多2千米，第二天修余下的

少1千米，还剩下2O千米没有修完。

求公路的全长。

　　我们可以退一步，先从简单的情况考虑：

要是第二天修了剩下的

，那么该剩下19千米，因此，除了第一天修的公路，还剩下19÷

＝38（千米）。

再继续想，要是第一天只修了公路全长的

，那么剩下的是38＋2＝4O（千米），所以公路全长是4O÷

＝80（千米）。

　　具体地说来，先从简单情况考虑可以分为从一般退到特殊，从抽象退到具体，从整体退到部分等。

　　例2．一只轮船往返于甲、乙两个码头之间一次。

问：

静水中航行所花时间长，还是流水中航行所花时间长，还是所花时间一样长？

　　这样的问题，一时很难作出回答。

我们可以先从简单情况考虑，退到一种非常特殊的情况：

即假定船速等于水速，那么问题就迎刃而解了。

由于船速等于水速，因此轮船在逆水航行时将停止不前。

这就是说，轮船无论花费多少时间，也无法在这样的流水中完成两个码头之间的往返航行。

而在静水中航行的话，往返一次所花的时间总是“往”（或“返”）时的2倍。

因此，在流水中航行所花的时间长。

　　接着看一下从抽象退到具体。

　　例3．某实验小学四年级的男生人数比女生多

，问女生人数比男生少几分之几？

　　这道题比较抽象，而且由于“标准量”、“比较量”的前后变化，增加了题目的难度。

但是如果我们先从简单情况考虑，把它从抽象形退到具体，问题还是不难解决的。

　　我们不妨假设四年级女生人数为4人，（其实只要所设的女生人数是4的倍数即可）根据题意，四年级男生人数为4×（l＋

）＝5（人），所以（5－4）÷5＝

，即女生人数比男生少五分之一。

　　最后讲一下从整体退到部分。

　　例4．计算：

…

　　这道题用常规方法（通分后再相加）是行不通的。

我们可以先从简单情况考虑，考查前几项的结果（即所求算式的一部分的结果）；

；

……

　　据此，可得原题结果为

。

先从简单情况考虑，是我们解数学题的一个好方法，希望同学们能好好掌握。

怎样解答行程问题

有这样一道应用题：

“一辆汽车从A地开往B地，每小时行48千米，行了5小时到达B地。

A、B两地相距多少千米？

”我相信，同学们都能很快地列式解答，即48×5＝24O（千米），从而求得A、B两地相距24O千米。

但遇到较复杂的行程问题，往往会觉得无从下手。

其实，只要是行程问题，不管怎么复杂，都可以根据“路程＝速度×时间”这一基本数量关系来解答。

下面我们一起来解答几道题目。

　　例：

两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇。

求A、B两地间的距离。

　　分析：

求两地间的路程，就是两车原来相隔路程，也就是求两车在5小时里所走路程的和。

根据“路程＝速度×时间”，可以先算出每小时两车一共行多少千米，再与相遇时间相乘，就可求得两地相距多少千米。

　　（48＋5O）×5＝490（千米）

　　答：

A、B两地间相距是490千米。

　　现在我们就以这道题为基础来进行改编练习。

　　1．把原题的“5小时相遇”这一条件改为“5小时后还相距15千米”，问题不变。

　　我们可以按原题进行分析，所不同的是：

这里两车没有相遇，还相距15千米。

这样，两地间的路程就不仅仅是两车5小时里所走的路程和了，还必须加上没有走的15千米。

可这样列式解答。

　　（48＋5O）×5＋15

　　＝49O＋15

　　＝5O5（千米）

　　答：

A、B两地间相距5O5千米。

　　2．把原题的“两辆汽车同时从A、B两地相向开出”改为“甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时”，其它条件和问题不变。

　　分析：

这一题与原题的解题思路还是一样的，不同的是原题两车是同时从两地出发，而这题是不“同时”了。

要求A、B两地间的路程，就是求甲、乙两车所行的路程和。

这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。

等式是，

　　48×（1＋5）＝288（千米）

　　5O×5＝25O（千米）

　　288＋25O＝538（千米）

　　也可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程。

算式是，

　　（48＋5O）×5＝49O（千米）

　　49O＋48＝538（千米）

　　答：

A、B两地间相距538千米。

　　到这里，我们已经对原题作了两次改编，原题是同时从两地出发，最后相遇的。

经过第一次改编使它成为一道同时从两地出发，最后不相遇的应用题，经过第二次改编它又成了一道不同时从两地出发，最后相遇的应用题。

但不管怎样变，我们都没有离开最基本的数量关系“路程＝速度×时间”来思考和解答，真可谓“万变不离其宗”

3．把原题进行第三次改编，使它成为一道既不“同时”又不相遇的相向运动应用题。

　　两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后动车从B地出发，5小时后两车还相距15千米。

甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米。

求A、B两地间相距多少千米？

　　根据前几题的分析，可列式解答如下：

　　（48＋5O）×5＝49O（千米）

　　49O＋48＋15＝553（千米）

　　答：

A、B两地间相距553千米。

　　此题已经解答完毕，我相信聪明的你