第三章直线与方程课后提升练习及答案.docx

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第三章直线与方程课后提升练习及答案

第三章　直线与方程

3．1　直线的倾斜角与斜率

3．1.1　倾斜角与斜率

1．已知点A（1，－3），B（－1,3），则直线AB的斜率是（　　）

A.B．－C．3D．－3

2．经过A（－2,0），B（－5,3）两点的直线的倾斜角是（　　）

A．45°　B．135°　C．90°　D．60°

3．过点P（－2，m）和Q（m,4）的直线的斜率等于1，则m的值为（　　）

A．1　　B．4

C．1或3D．1或4

4．已知直线l的倾斜角为α－15°，则下列结论正确的是（　　）

A．0°≤α＜180°B．15°＜α＜180°

C．15°≤α＜195°D．15°≤α＜180°

5．下列说法错误的是（　　）

A．在平面坐标系中每一条直线都有倾斜角

B．没有斜率的直线是存在的

C．每一条不垂直于x轴的直线的斜率都存在

D．斜率为tanθ的直线的倾斜角一定是θ

6．若直线y＝x的倾斜角为α，则α＝（　　）

A．0°B．45°

C．90°D．不存在

7．在图K311中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）

图K311

A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2

C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2

8．已知直线的斜率k＝2，点A（3,5），B（x,7），C（－1，y）是这条直线上的三个点，x＝______，y＝______.

9．已知直线l经过点A（－m,6），B（1,3m），当实数m为何值时，

（1）直线l的斜率为2；

（2）直线l的倾斜角为135°.

10．已知点M（2,2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．

3．1.2　两条直线平行与垂直的判定

1．直线l1过点A（2,1）和点B（－1,2），直线l2过点C（3,2）和点D（2，－1），则直线l1与l2的位置关系是（　　）

A．重合B．平行

C．垂直D．无法确定

2．若经过点P（－3，m－2）和Q（m－1,2）的直线l与x轴平行，则m＝（　　）

A．4B．0

C．1或3D．0或4

3．直线l1的倾斜角为30°，l2经过点M（1，），N（2，0），则l1与l2的位置关系为（　　）

A．平行B．垂直

C．相交D．不确定

4．若经过点P（1，m－2）和Q（m－1,1）的直线l与x轴垂直，则m＝（　　）

A．1B．2C．－1D．0

5．已知直线l1经过两点（－1,2），（－1,4），直线l2经过两点（0,1），（x－2,6），且l1∥l2，则x＝（　　）

A．2B．－2C．4D．1

6．已知四点A（－4,2），B（6，－4），C（12,6），D（2，12），则下面四个结论中：

①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD.

正确结论的个数是（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

7．已知直线l1过（m,2），（3,1）两点，直线l2过（1，m2），（2,9）两点，且l1⊥l2，则m＝________.

8．已知直线l1过点A（1,0），B（3，a－1），直线l2过点M（1,2），N（a＋2,4）．

（1）若l1∥l2，求a的值；

（2）若l1⊥l2，求a的值．

9．已知点A（1,1），B（2,2），C（3，－3），求点D的坐标使得直线CD⊥AB，且BC∥AD.

10．△ABC的顶点A（5，－1），B（1,1），C（2，m），若△ABC为直角三角形，求m的值．

3.2　直线的方程

3．2.1　直线的点斜式方程

1．已知直线l的方程为y＝－x＋1，则该直线l的倾斜角为（　　）

A．30°B．45°　　

C．60°D．135°

2．过点（4，－2），倾斜角为120°的直线方程是（　　）

A.x＋y＋2－4＝0

B.x＋3y＋6＋4＝0

C．x＋y－2－4＝0

D．x＋y＋2－4＝0

3．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　）．

A．直线经过点（2，－1），斜率为－1

B．直线经过点（－2，－1），斜率为1

C．直线经过点（－1，－2），斜率为－1

D．直线经过点（1，－2），斜率为－1

4．直线l过点（1，－2）且与直线2x－3y－1＝0垂直，则l的方程是（　　）

A．3x＋2y＋1＝0B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0

5．直线kx－y＋1－3k＝0，当k变化时，所有直线恒过定点（　　）．

A．（0,0）B．（3,1）

C．（1,3）D．（－1，－3）

6．如果直线l沿x轴负方向平移3个单位长度，再沿y轴正方向平移1个单位长度后，又回到原来的位置，则直线l的斜率是________．

7．已知直线经过点A（3，－2），斜率为－，求该直线方程．

8．已知直线l：

mx＋ny＋1＝0平行于直线m：

4x＋3y＋5＝0，且l在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（　　）

A．4,3B．－4,3

C．－4，－3D．4，－3

9．已知△ABC的顶点坐标分别为A（1,3），B（5,7），C（10,12），求BC边上的高所在的直线的方程．

10．已知直线l在y轴上的截距为－3且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l的方程．

3.2.2　直线的两点式方程

1．在x轴上的截距是－2，在y轴的截距是2的直线的方程是（　　）

A．x－y＝2B．x－y＝－2

C．x＋y＝2D．x＋y＝－2

2．直线3x－2y＝4的截距式方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.＋＝1

3．过两点，的直线方程为（　　）

A．x＝B．x＝2

C．x＋y＝2D．y＝0

4．过点A（3,2）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（　　）

A．x＋y＝5

B．x－y＝1

C．x＋y＝5或2x－3y＝0

D．x－y＝1或2x＋3y＝0

5．点P（1，－2）关于点M（3,0）的对称点Q的坐标是（　　）

A．（3，－1）B．（1,2）

C．（5,2）D．（2，－1）

6．若三点A，B（a,0），C（0，b）（ab≠0）共线，则＋的值为________．

7．过点P（－1，－1）的直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，若P恰为线段AB的中点，求直线l的斜率和倾斜角．

8．如果直线l过（－1，－1），（2,5）两点，点（1006，b）在l上，那么b的值为（　　）

A．2011B．2019

C．2019D．2019

9．已知直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点P（6，－2），求直线l的方程．

10．已知直线l：

＋＝1.

（1）若直线l的斜率是2，求m的值；

（2）当直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形的面积最大时，求此直线的方程．

3．2.3　直线的一般式方程

1．若mx＋ny＋15＝0在x轴和y轴上的截距分别是－3和5，则m，n的值分别是（　　）

A．5,3B．－5,3

C．5，－3D．－5，－3

2．直线3x＋y＋1＝0的倾斜角大小是（　　）

A．30°B．60°C．120°D．135°

3．（2019年陕西宝鸡一模）已知过点A（－2，m）和点B（0，－4）的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为（　　）

A．－8B．0C．2D．10

4．若直线ax＋by＋c＝0在第一、二、三象限，则（　　）

A．ab＞0，bc＞0B．ab＞0，bc＜0

C．ab＜0，bc＞0D．ab＜0，bc＜0

5．斜率为－2，在x轴上截距为2的直线的一般式方程是（　　）

A．2x＋y＋4＝0B．2x－y＋2＝0

C．2x＋y－4＝0D．2x－y－2＝0

6．方程y－ax－＝0表示的直线可能是图中的（　　）

　A　　　　　B　　　　C　　　　D

7．直线的截距式＋＝1化为斜截式为y＝－2x＋b，化为一般式为bx＋ay－8＝0，求a，b的值．

8．过点（1,3）作直线l，若l经过点（a,0），（0，b），且a，b∈N*，则可作出这样的直线l的条数为（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．多于3条

9．设直线l的方程为（m2－2m－3）x＋（2m2＋m－1）y－2m＋6＝0，根据下列条件求m的值．

（1）直线l的斜率为1；

（2）直线l经过定点P（－1，－1）．

10．已知直线（a＋2）x＋（a2－2a－3）y－2a＝0在x轴上的截距为3，求直线在y轴上的截距．

3．3　直线的交点坐标与距离公式

3．3.1　两条直线的交点坐标

1．直线2x－3y＋10＝0与2x＋3y－2＝0的交点是（　　）

A．（－2,1）B．（－2,2）

C．（2，－1）D．（2，－2）

2．已知集合M＝{（x，y）|4x＋y＝6}，P＝{（x，y）|3x＋2y＝7}，则M∩P＝（　　）

A．（1,2）　　　　B．{1}∪{2}

C．{1,2}　　　　　D．{（1,2）}

3．直线l1：

x＋ay＋4＝0和直线l2：

（a－2）x＋3y＋a＝0互相平行，则a的值为（　　）

A．－1或3B．－3或1

C．－1　　D．－3

4．若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则m的取值范围是（　　）

A．m＜2

B．m＞

C．m＜－

D．－＜m＜2

5．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝7,2x－y＝1相交于一点，则a的值是（　　）

A．－2B．－10

C．10D．2

6．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（　　）

A．x－3y＋7＝0

B．x－3y＋13＝0

C．2x－y＋7＝0

D．3x－y－5＝0

7．直线ax＋by＋16＝0与x－2y＝0平行，且过直线4x＋3y－10＝0和2x－y－10＝0的交点，则a＝________，b＝________.

8．已知直线方程为（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋4－3λ＝0.

求证：

不论λ取何实数值，此直线必过定点．

9．已知三条直线l1：

4x＋7y－4＝0，l2：

mx＋y＝0，l3：

2x＋3my－4＝0，当m为何值时，三条直线不能围成三角形．

3.3.2　两点间的距离

1．两点A（1,4），B（4,6）之间的距离为（　　）

A．2B.C.D．3

2．以点A（－3,0），B（3，－2），C（－1,2）为顶点的三角形是（　　）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．直角三角形D．以上都不是

3．点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点R的坐标是（3,4），则|PQ|的长为（　　）

A．5B．10C．17D．25

4．已知A，B的坐标分别为（1,1），（4,3），点P在x轴上，则|PA|＋|PB|的最小值为（　　）

A．20B．12C．5D．4

5．已知A（1,5），B（5，－2），在x轴上存在一点M，使|MA|＝|MB|，则点M的坐标为（　　）

A.B.

C.D.

6．点P在直角坐标系第一、三象限的角平分线上，它到原点的距离等于它到点Q（4，0）的距离，则点P的坐标是__________．

7．已知点A（3,6），在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标．

8．在坐标轴上，与两点A（1,5），B（2,4）等距离的点的坐标是________________．

9．在直线2x－y＝0上求一点P，使它到点M（5,8）的距离为5.

10．已知点M（1,0），N（－1,0），点P为直线2x－y－1＝0上的动点．求PM2＋PN2的最小值及取最小值时点P的坐标．

3．3.3　点到直线的距离、两条平行直线间的距离

1．原点到直线3x＋4y－10＝0的距离为（　　）

A．1B.

C．2D.

2．点P（－3,2）到y轴的距离是（　　）

A．3B.

C．2D．1

3．点P在直线3x＋y－5＝0上，且到直线x－y－1＝0的距离等于，则点P的坐标为（　　）

A．（1,2）B．（2,1）

C．（1,2）或（2，－1）D．（2,1）或（－1,2）

4．在以A（2,1），B（4,2），C（8,5）为顶点的三角形中，BC边上的高等于（　　）

A.B.C.D．2

5．倾斜角是45°，并且与原点的距离是5的直线的方程为（　　）

A．x－y－10＝0

B．x－y－10＝0或x－y＋10＝0

C．x－y＋5＝0

D．x－y＋5＝0或x－y－5＝0

6．动点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为（　　）

A.B．2

C.D．2

7．两平行线3x＋4y＋5＝0与6x＋ay＋30＝0间的距离为d，则a＋d＝________.

8．已知x＋y＋1＝0，那么的最小值为__________．

9．（2019年四川成都模拟）已知圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，求k的值．

10．在△ABC中，已知顶点A（1,1），B（3,6）且△ABC的面积等于3，求顶点C的轨迹方程．

第三章　直线与方程

3．1　直线的倾斜角与斜率

3．1.1　倾斜角与斜率

1．D　2.B　3.A　4.C　5.D　6.B　7.D

8．4　－3

9．解：

（1）直线l的斜率为2，

即k＝＝2，解得m＝8.

（2）直线l的倾斜角为135°，

即k＝tan135°＝＝－1，解得m＝.

10．解：

设点P（x,0），因为∠MPN为直角，

所以MP⊥NP，kMP＝，kNP＝，

因为MP⊥NP，所以kMP·kNP＝－1，解得x＝1或x＝6.

所以点P的坐标为（1,0）或（6,0）．

3．1.2　两条直线平行与垂直的判定

1．C　2.A

3．B　解析：

＝，

＝＝－，

·

＝－1.

4．B　5.A

6．C　解析：

只有①④是正确的．

7．3或－2　解析：

若直线l1和直线l2斜率都存在，此时m≠3，故k1·k2＝－1，∴·＝－1，∴m＝－2；若直线l1和直线l2有一条斜率不存在，则另一条直线斜率为0，此时m＝3.

8．解：

（1）∵k1＝＝，

∴k2存在，且k2＝，

由于l1∥l2，∴k1＝k2，即＝，解得a＝±，

又当a＝±时，kAM≠kBM，即点A，B，M不共线．

∴a＝±符合题意．

（2）当直线l2斜率不存在时，即a＝－1时显然不符合题意，

∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，

即·＝－1，解得a＝0.

9．解：

设D（x，y），则kCD·kAB＝－1，kBC＝kAD.

∴解得

∴D.

10．解：

若∠A为直角，则AC⊥AB，

于是有kAC·kAB＝－1，即·＝－1，解得m＝－7；

若∠B为直角，则AB⊥BC，于是有kAB·kBC＝－1，

即·＝－1，解得m＝3；

若∠C为直角，则AC⊥BC，于是有kAC·kBC＝－1，

即·＝－1，解得m＝±2.

∴m＝－7或m＝3或m＝±2.

3．2　直线的方程

3．2.1　直线的点斜式方程

1．D

2．A　解析：

k＝tan120°，故直线的点斜式方程为y＋2＝－（x－4），化简得x＋y＋2－4＝0.

3．C　4.A　5.B

6．－　解析：

设直线l的方程为y＝kx＋b，由题意，得y＝k（x＋3）＋b＋1与y＝kx＋b相同，∴3k＋1＝0，k＝－.

7．解：

经过点A（3，－2），并且斜率为－的直线方程的点斜式是y＋2＝－（x－3），即4x＋3y－6＝0.

8．C　解析：

直线mx＋ny＋1＝0可化为y＝－x－，4x＋3y＋5＝0可化为y＝－x－，由于l∥m，l在y轴上的截距为，所以即

9．解：

kBC＝＝1，因此BC边上的高所在的直线的斜率为－1，直线方程为y－3＝－（x－1），即x＋y－4＝0.

10．解：

由已知得直线l的斜率存在，且不等于零．

设直线l的方程：

y＝kx－3.

当y＝0时，x＝.

所以··3＝6，解得k＝±.

故所求直线方程为y＝±x－3.

3．2.2　直线的两点式方程

1．B　2.D　3.A　4.C　5.C　6.2

7．解：

设A，B两点的坐标分别为（a,0）和（0，b）．

∵AB的中点坐标为（－1，－1），

∴

解得∴kAB＝＝－1为直线l的斜率，直线l的倾斜角为135°.

8．C　解析：

由题意，可得直线l的方程为＝，整理，得y＝2x＋1，把x＝1006代入，得b＝2019.

9．解：

方法一：

设直线方程为y＋2＝k（x－6），

即y＝kx－6k－2，故直线在y轴上的截距为－6k－2，

令y＝0，直线在x轴上的截距为x＝.

则有－＝1，

解得k＝－或k＝－.

故直线l的方程为y＋2＝－（x－6）或y＋2＝－（x－6）．

方法二：

设直线方程为y＝kx＋b，即直线在y轴上的截距为b，因为直线过定点P（6，－2），故有－2＝b＋6k，

令y＝0，直线在x轴上的截距为x＝－，

则有－－b＝1，解得或

故直线l的方程为y＝－x＋2或y＝－x＋1；

方法三：

设直线方程为＋＝1，

因为直线过定点P（6，－2），故有＋＝1，

解得b＝1或b＝2，

即直线l方程为＋＝1或＋y＝1.

10．解：

（1）直线l过点（m,0），（0,4－m），

则＝2，即m＝－4.

（2）由m＞0,4－m>0，得0＜m＜4，

则S＝＝.

当m＝2时，S有最大值，

故直线l的方程为x＋y－2＝0.

3．2.3　直线的一般式方程

1．C　2.C　3.B　4.D　5.C

6．B　解析：

斜率为a，y轴截距为中都含同一个字母a，且a≠0.将方程变形为y＝ax＋，则a为直线的斜率，为直线在y轴上的截距．因为a≠0，所以a＞0或a＜0.当a＞0时，四个图形都不可能是方程的直线；当a＜0时，图形B是方程的直线．

7．解：

由＋＝1，化得y＝－x＋b＝－2x＋b，

又可化得bx＋ay－ab＝bx＋ay－8＝0，则＝2且ab＝8，解得a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4.

8．B　解析：

根据题意设直线方程为＋＝1.∴＋＝1.∴b＝＝＋（a≥2，且a∈N*）＝3＋，∴a－1必为3的正约数．当a－1＝1时，b＝6；若a－1＝3时，b＝4.所以这样的直线有2条．

9．解：

（1）直线l的斜率为－＝1，整理得

＝0，即＝0，解得m＝.

（2）由题意，得（m2－2m－3）·（－1）＋（2m2＋m－1）·（－1）－2m＋6＝0，即3m2＋m－10＝0，

解得m＝－2或m＝.

10．解：

∵直线在x轴上的截距为3，

∴直线过点（3,0）．把x＝3，y＝0代入直线的方程，得

3（a＋2）－2a＝0，解得a＝－6.

∴直线的方程为－4x＋45y＋12＝0.

令x＝0，得y＝－，∴直线在y轴上的截距为－.

3．3　直线的交点坐标与距离公式

3．3.1　两条直线的交点坐标

1．B　2.D　3.A

4．D　解析：

解方程组得由题意，得＞0且＜0，∴－＜m＜2.

5．B　6.B

7．－2　4　解析：

ax＋by＋16＝0与x－2y＝0平行，则b＝－2a　①.又直线过4x＋3y－10＝0与2x－y－10＝0的交点（4，－2），代入ax＋by＋16＝0得4a－2b＋16＝0　②.联立①②，得a＝－2，b＝4.

8．证明：

把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ（x－2y－3）＝0.

解方程组得

即点（－1，－2）适合方程2x＋y＋4＋λ（x－2y－3）＝0，也就是适合方程（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋4－3λ＝0.

所以不论λ取何实数值，直线（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋4－3λ＝0必过定点（－1，－2）．

9．解：

当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能构成三角形．三条直线共点时，

由得，

即l2与l3的交点为，

代入l1的方程，得到4×＋7×－4＝0，

解得m＝或m＝2.

至少有两条直线平行时，

①当l1∥l2时，4＝7m，∴m＝.

②当l1∥l3时，4×3m＝7×2，∴m＝.

③当l2∥l3时，3m2＝2，即m＝±.

∴m取集合中的元素时，

三条直线不能构成三角形．

3．3.2　两点间的距离

1．B　2.C　3.B

4．C　解析：

点A关于x轴的对称点为A′（1，－1）．

∵|PA|＋|PB|的最小值为BA′的长，

∴＝5，

即|PA|＋|PB|的最小值为5.

5．B　解析：

设M（x,0），根据题意，得（x－1）2＋52＝（x－5）2＋[0－（－2）]2，解得x＝.故点M的坐标为.

6．（2，2）　解析：

设P（x，x），

∵|PO|＝|PQ|，

∴＝.

故x＝2，即点P的坐标是（2，2）．

7．解：

设点P的坐标为（x,0），由|PA|＝10，得

＝10，

解得x＝11或x＝－5.

所以点P的坐标为（－5,0）或（11,0）．

8．（－3,0），（0,3）

9．解：

∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P（a,2a），根据两点的距离公式，得|PM|2＝（a－5）2＋（2a－8）2＝52，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a＝.

∴点P的坐标为（2,4）或.

10．解：

点P为直线2x－y－1＝0上的点，

∴设P的坐标为（m,2m－1），由两点的距离公式，得

PM2＋PN2＝（m－1）2＋（2m－1）2＋（m＋1）2＋（2m－1）2＝10m2－8m＋4，m∈R.

又∵10m2－8m＋4＝102＋≥，

∴当m＝时，PM2＋PN2有最小值为.

∴点P的坐标为.

3．3.3　点到直线的距离、两条平行直线间的距离

1．C　2.A

3．C　解析：

设点P（a,5－3a），d＝＝.故|4a－6|＝2⇒4a－6＝±2⇒a＝2或a＝1.

4．A　5.B　6.D

7．10　解析：

由两直线平行知a＝8，由两平行线距离公式得d＝2，∴a＋d＝10.

8．2　解析：

式子的最小值的几何意义为直线x＋y＋1＝0上的点到点（－2，－3）的最短距离，由点到直线的距离公式为＝2.

9．解：

因为圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y＋1＝0，

配方可得（x＋1）2＋（y－1）2＝1，

所以圆的圆心为C（－1,1），半径r＝1，

直线kx＋y＋4＝0可化为y＝－kx－4，恒过定点B（0，－4），

当直线与BC垂直时，圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大，

由斜率公式，可得BC的斜率为＝－5，

由垂直关系可得：

－k×（－5）＝－1，解得k＝－.

10．解：

设顶点C的坐标为（x，y），作CH⊥AB于点H，

∵kAB＝＝，

∴直线AB的方程是y－1＝（x－1），即5x－2y－3＝0.

∴|CH|＝＝.

∵|AB|＝＝，

∴××＝3.

化简，得|5x－2y－3|＝6，即5x－2y－9＝0或5x－2y＋3＝0，即为所求顶点C的轨迹方程．