62角.docx

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62角

1、角的定义：

角的定义：

有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．

（2）角的表示方法：

角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示．

（3）平角、周角：

角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始边与终边旋转重合时，形成周角．

（4）角的度量：

度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

【练习】

12005•柳州）如图，图中包含小于平角的角的个数有（　　）

A．4个B．5个C．6个D．7个

解：

图中角除∠BDC为平角外，∠B、∠C、∠BAD、∠BAC、∠DAC、∠BDA、∠CDA均为小于180°的角．

共个．

故选

2（2005•河北）将一个平角n等分，每份是15°，那么n等于．

点评本题考查周角，平角定义．1周角=360°，1平角=180．

3（2008•襄阳）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．

2、钟面角

（1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走112格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12=30°．

（2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．

（3）钟面上的路程问题

分针：

60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：

360°÷60=6°

时针：

12小时转一圈，每分钟转动的角度为：

360°÷12÷60=0.5°．

【练习】

1（2010•曲靖）从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（　　）

A．30B．60°C．90°D．120°

考点：

钟面角．

专题：

计算题．

分析：

时针1小时走1大格，1大格为30°．

解答：

解：

从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6-3）×30°=90°，故选

点评：

解决本题的关键是得到时针1小时旋转的度数．

2、（2007•汕头）由2点15分到2点30分，时钟的分针转过的角度是（　　）

A．30°B．45°C．60°D．90°

考点：

钟面角．

专题：

压轴题．

分析：

画出图形，利用钟表表盘的特征解答．

解答：

解：

解法1：

2点15分，分针指在数字3上，分针水平，

当2点30分时，分针指在数字6上，分针垂直于水平时的分针，故分针转的角度是90°；

解法2：

因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是30°，

从2点15分到2点30分分针转过了三份，转过的角度为3×30°=90°．故选D．

点评：

本题考查钟表分针所转过的角度计算．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：

分针每转动1°时针转动1/2，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．

3（2005•荆门）钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角为（　　）

A．90°B．82.5°C．67.5°D．60°

考点：

钟面角．

专题：

计算题．

分析：

钟表里，每一大格所对的圆心角是30°，每一小格所对的圆心角是6°，根据这个关系，画图计算．

解答：

解：

∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，

∴钟表上12时15分钟时，时针与分针的夹角可以看成时针转过12时0.5°×15=7.5°，分针在数字3上．

∵钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，

∴12时15分钟时分针与时针的夹角90°-7.5°=82.5°．

故选B．

点评：

本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：

分针每转动1°时针转动（1/2），并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．

4（2012•通辽）4点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为（　　）

A．55°B．65C．70°D．以上结论都不对

52006•河北）下午2点30分时（如图），时钟的分针与时针所成角的度数为（　　）

A．90°B．105°C．120°D．135°

考点：

钟面角．

分析：

钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30度．

解答：

解：

∵1个小时在时钟上的角度为180°÷6=30°，

∴3.5个小时的角度为30°×3.5=105°．

故选B．

点评：

本题主要考查角度的基本概念．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：

分针每转动1°时针转动（

1

12

）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．

3、方向角

（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）

（3）画方位角

以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．

【练习】

1（2012南昌）如图，如果在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，那么太阳相对于你的方向是（　　）

A．南偏西60°B．南偏西30°C．北偏东60°D．北偏东30°

考点：

方向角．

专题：

压轴题．

分析：

根据方向角的定义进行解答即可．

解答：

解：

由于人相对与太阳与太阳相对于人的方位正好相反，

∵在阳光下你的身影的方向北偏东60°方向，

∴太阳相对于你的方向是南偏西60°．

故选A．

点评：

本题考查的是方向角的概念，熟知方向角的概念是解答此题的关键．

2（2012•丽水）如图，小明在操场上从A点出发，先沿南偏东30°方向走到B点，再沿南偏东60°方向走到C点．这时，∠ABC的度数是（　　）

A．120°B．135°C．150°D．160°

考点：

方向角．

分析：

首先根据题意可得：

∠1=30°，∠2=60°，再根据平行线的性质可得∠4的度数，再根据∠2和∠3互余可算出∠3的度数，进而求出∠ABC的度数．

解答：

解：

由题意得：

∠1=30°，∠2=60°，

∵AE∥BF，

∴∠1=∠4=30°，

∵∠2=60°，

∴∠3=90°-60°=30°，

∴∠ABC=∠4+∠FBD+∠3=30°+90°+30°=150°，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了方位角，关键是掌握方位角的概念：

方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．

3（2012•济宁）如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（　　）

A．40°B．75°C．85°D．140°

考点：

方向角．

专题：

计算题．

分析：

根据方向角的定义，即可求得∠DBA，∠DBC，∠EAC的度数，然后根据三角形内角和定理即可求解．

解答：

解：

如图，

∵AE，DB是正南正北方向，

∴BD∥AE，

∵∠DBA=45°，

∴∠BAE=∠DBA=45°，

∵∠EAC=15°，

∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+15°=60°，

又∵∠DBC=80°，

∴∠ABC=80°-45°=35°，

∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-60°-35°=85°．

故选C．

点评：

本题主要考查了方向角的定义，以及三角形的内角和定理，正确理解定义是解题的关键．

4（2006•济宁）王强从A处沿北偏东60°的方向到达B处，又从B处沿南偏西25°的方向到达C处，则王强两次行进路线的夹角为（　　）

A．145°B．95°C．85°D．35°

考点：

方向角．

专题：

计算题．

分析：

根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．

解答：

解：

由图可知，∠ABD=60°（两只线平行，内错角相等）

由因为∠2=25°

所以∠1=60°-25°=35°

故选D．

点评：

解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，根据平行线的性质解答．

4、角分秒换算

1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．

2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．

【练习】

1（2013•义乌市）把角度化为度、分的形式，则20.5°=．

考点：

度分秒的换算．

分析：

1°=60′，可得0.5°=30′，由此计算即可．

解答：

解：

20.5°=20°30′．

故答案为：

30．

点评：

本题考查了度分秒之间的换算，相对比较简单，注意以60为进制即可．

2（2013•湖州）把15°30′化成度的形式，则15°30′=度．

考点：

度分秒的换算．

分析：

根据度、分、秒之间的换算关系，先把30′化成度，即可求出答案．

解答：

解：

∵30′=0.5度，

∴15°30′=15.5度；

故答案为：

15.5．

点评：

此题考查了度分秒的换算，掌握1°=60′，1′=60″是解题的关键，是一道基础题．

32009•芜湖）计算：

33°52′+21°54′=度分．

考点：

度分秒的换算．

专题：

计算题．

分析：

两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度．

解答：

解：

33°52′+21°54′=54°106′=55°46′．故答案为55、46．

点评：

此类题是进行度、分、秒的加法计算，相对比较简单，注意以60为进制即可．分与分相加得106′，结果满60，转化为1°46′．

4（1999•河北）把一个平角16等份，则每份为（用度，分，秒表示）

考点：

度分秒的换算．

专题：

计算题．

分析：

首先180度除以16，商是11，余数是4度，然后把4度化成240分，再除以16即可得到结果．

解答：

解：

依题意，有180°÷16=11°15′．

点评：

本题实际上考查了度，分，秒的计算．注意1度=60分，1分=60秒．

5角平分线的定义

（1）角平分线的定义

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．

（2）性质：

若OC是∠AOB的平分线

则∠AOC=∠BOC=∠AOB/2或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．

（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．

【练习】

1（2013•大连）如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB．若∠COB=35°，则∠AOD等于（　　）

A．35°B．70°C．110°D．145°

考点：

角平分线的定义．

分析：

首先根据角平分线定义可得∠BOD=2∠BOC=70°，再根据邻补角的性质可得∠AOD的度数．

解答：

解：

∵射线OC平分∠DOB．

∴∠BOD=2∠BOC，

∵∠COB=35°，

∴∠DOB=70°，

∴∠AOD=180°-70°=110°，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了角平分线定义，关键是掌握角平分线把角分成相等的两部分．

2（2008•淮安）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC=80°，则∠AOE的度数是（　　）

A．40°B．50°C．80°D．100°

3（2003•娄底）如图，已知∠AOC=90°，∠COB=α，OD平分∠AOB，则∠COD等于（　　）

4（2007•柳州）如图所示，点O是直线AB上的点，OC平分∠AOD，∠BOD=30°，则∠AOC=度

5（2002•南宁）如图，O是直线AB上的一点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线，则∠DOE=度．

考点：

角平分线的定义．

专题：

计算题．

分析：

利用角平分线的性质和平角的定义计算．

解答：

解：

∵OD是∠AOC的平分线∴∠AOD=∠DOC

∵OE是∠COB的平分线∴∠COE=∠EOB

∴∠AOD+∠EOB=∠DOC+∠COE

∵∠AOD+∠DOC+∠COE+∠EOB=180°

∴2（∠DOC+∠COE）=180°

即∠DOE=90°．

故填90．

点评：

熟记平角的特点与角平分线的性质是解决此题的关键．

6角的计算

（1）角的和差倍分

①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：

∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：

∠AOC=∠AOB-∠BOC．

②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB．

（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．

（3）度、分、秒的乘除运算．①乘法：

度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位．②除法：

度、分、秒分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除．

【练习】

1

2（2010•荆州）一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M、N．那么∠CME+∠BNF是（　　）

考点：

角的计算．

专题：

计算题．

分析：

根据∠CME与∠BNF是△AMN另外两个角，利用三角形的内角和定理即可求解．

解答：

解：

根据图象，∠CME+∠BNF=∠AMN+∠ANM，

∵∠A=30°，

∴∠CME+∠BNF=180°-∠A=150°．

故选A．

点评：

本题的关键在于所求两角的对顶角和∠A是三角形的三个内角，从而可以运用三角形的内角和定理求解．

3（2008•贵港）已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB=80°，∠BOC=40°，则∠AOC等于（　　）

A．40°B．60°或120°C．120°D．120°或40°

考点：

角的计算．

专题：

计算题；压轴题；分类讨论．

分析：

利用角的和差关系计算，注意此题要分两种情况．

解答：

解：

如果射线OC在∠AOB内部，∠AOC=∠AOB-∠BOC=40°，

如果射线OC在∠AOB外部，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120度．

故选D．

点评：

要根据射线OC的位置不同，分类讨论，分别求出∠AOC的度数．

4（2006•襄阳）如图，给你用一副三角板画角，不可能画出的角的度数是（　　）

A．105°B．75°C．155°D．165°

考点：

角的计算．

分析：

本题需先根据两个三角板各个内角的度数分别组合出要求的角，即可得出正确答案．

解答：

解：

A、105°=60°+45°，故本选项正确；

B、75°=45°+30°，故本选项正确；

C、155°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故本选项错误；

D、165°=90°+45°+30°，故本选项正确．

故选C．

点评：

本题主要考查了角的计算，在解题时要根据三角形各角的度数得出要求的角是本题的关键．

5（2005•漳州）将一张纸按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（　　）

A．80°B．90°C．100°D．110°

6（2005•三明）一副三角板不能拼出的角的度数是（拼接要求：

既不重叠又不留空隙）（　　）A．75°B．105°C．120°D．125°

考点：

角的计算．

分析：

利用三角板三角的度数组拼即可．

解答：

解：

一副三角板的度数分别为：

30°、60°、45°、45°、90°，

因此可以拼出75°、105°和120°，不能拼出125°的角．

故选D．

点评：

要明确三角板各角的度数分别是多少．

7（2005•哈尔滨）过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，若这两条垂线的夹角为40°，则此钝角为（　　）

A．140°B．160°C．120°D．110°

考点：

角的计算．

专题：

计算题．

分析：

本题是对有公共部分角的性质的考查，解决此类问题的关键是正确画出图形．

解答：

解：

因为过一个钝角的顶点作这个角两边的垂线，所以两个直角的和是180°，

而两条垂线的夹角为40°，所以此钝角为140度．

故选A．

点评：

解决此类问题的关键是正确的画出图形．

8（2004•日照）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC的值（　　）

A．小于180°或等于180°B．等于180°

C．大于180°D．大于180°或等于180°

考点：

角的计算．

分析：

因为两直角直角的顶点重合于点O，则∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOC+∠DOB，再根据角的度数进行计算．

解答：

解：

∠AOB+∠DOC=∠AOD+∠DOB+∠DOC

=∠AOD+∠DOC+∠DOB

=90°+90°=180°．

故选B．

点评：

每副三角板中，都有一个等腰三角板和一个直角三角板，根据角的度数可以进行计算，也可以画出一些特殊度数的角．

9（2000•杭州）如图，∠AOD-∠AOC=（　　）

A．∠ADCB．∠BOCC．∠BODD．∠COD

考点：

角的计算．

分析：

利用图中角的和差关系计算．

解答：

解：

结合图形，显然∠AOD-∠AOC=∠COD．

故选D．

点评：

能够根据图形正确计算两个角的和与差．

10（2013•南宁）一副三角板如图所示放置，则∠AOB=°

则∠ABC=°

．

11（2009•枣庄）如图，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，则∠AOC+∠DOB=度．

考点：

角的计算．

专题：

计算题．

分析：

本题考查了角度的计算问题，因为本题中∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．

解答：

解：

设∠AOD=a，∠AOC=90°+a，∠BOD=90°-a，

所以∠AOC+∠BOD=90°+a+90°-a=180°．

点评：

在本题中要注意∠AOC始终在变化，因此可以采用“设而不求”的解题技巧进行求解．

12（2006•双流县）如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，如果∠AOD=130°，那么∠BOC=度．

考点：

角的计算．

专题：

计算题．

分析：

根据图示确定∠BOC与两个直角的关系，它等于两直角的和减去∠AOD的度数．

解答：

解：

∠BOC=∠COD+∠AOB-∠AOD=90°+90°-130°=50°．

故填50．

点评：

首先确定这几个角之间的关系，来求出∠BOD的度数．

13（2006•双柏县）将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若∠AOD=110°，则∠COB=度．

考点：

角的计算．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

∠COB是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是180°，所以∠AOB+∠COD=∠AOD+∠COB．

解答：

解：

由题意可得∠AOB+∠COD=180°，

又∠AOB+∠COD=∠AOC+2∠COB+∠BOD=∠AOD+∠COB，

∵∠AOD=110°，

∴∠COB=70°．

故答案为：

70．

点评：

求解时正确地识图是求解的关键

14（2005•衢州）用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，使用一副三角板还能拼出哪些小于平角的角这些角的度数是：

15°，105°，135°，150°，165°

考点：

角的计算．

分析：

一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，进行加减运算可得．

解答：

解：

一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，进行加减运算可得15°，105°，135°，150°，165度．

点评：

本题考查角的计算：

先找角与角之间的关系，再运算．