二面角大小的几种求法归类总结分析.docx
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二面角大小的几种求法归类总结分析
二面角大小的几种求法
二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I.寻找有棱二面角的平面角的方法（定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法）
一、定义法：
利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个主要特征”来找出平面角。
例空间三条射线CACPCB/PCAMPCB=60,ZACB=90,求二面角B-PC-A的大小。
解：
过PC上的点D分别作DELAC于E,DF丄BC于F,连EF.
•••/EDF为二面角B-PC-A的平面角，设CD=av/PCAMPCB=60
•••CE=CF=2aDE=DF=3a，又v/ACB=90,「.EF=2.2a,
./EDF=3a23a28a21
23a23
1.在三棱锥P-ABC中,
APB=BPC=CPA=60求二面角A-PB-C的余弦值。
2.如图，已知二面角aaB等于120°PA^a,A€a,PBLB,B€®求/APB的大小。
3.
在四棱锥P-ABCD中,ABCD是正方形，P』平面ABCDPA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。
二、三垂线法：
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例在四棱锥P-ABCD中,ABCD^平行四边形，PAL平面ABCDPA=AB=a/ABC=30,求二面角P-BC-A的大小。
解：
如图，PAL平面BD,过A作AHLBC于H,连结PH,贝卩PHLBC
又AHIBC故/PHA是二面角P-BC-A的平面角。
在Rt△ABH中，AH二ABsinZABC二aSin30，;
2
在Rt△PHA中，3/PHA=PA/AH|2，则/PHA=a「如2
2
5.在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形，PA!
平面ABCDPA=AB=a
P-BC-A的大小。
6.如图，在三棱锥P-ABC中，PM平面ABCPA=ABAC=BC=1/ACB=90M是PB的中点。
⑴
求证：
BCLPC
（2）平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。
7.
AABC中,/A=90°°AB=4AC=3平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M二面角P—AC—B的大小为45°求
（1）二面角P—BC—A的大小；
（2）二面角C—PB-A的大小。
8.
如图，已知△ABC中,AB丄BCS为平面ABC外卜的一点，SAL平面ABCAMLSB于MANLSC于N,
（1）求证平面SABL平面SBC⑵求证/ANM是二面角A-SC-B的平面角.
9.第8题的变式：
如上图，已知△ABC中,AB丄BCS为平面ABC外卜的一点，SAL平面ABC/ACB=600,SA=AC=a,
（1）求证平面SABL平面SBC⑵求二面角A-SC-BC的正弦值.
10.如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2,E是棱BC的中点,求面GDE与面CDE所成二面角的正切值。
Di
11.如图4,平面丄平面，A=l,A€,B€,点A在直线I上的射影为A,点B在l的射影为B,已知AB=2AA=1,BBf/2，求：
二面角A—AB-B的大小。
三、垂面法：
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
例在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，P』平面ABCDPA=AB=a求B-PC-D的大小
P
解：
（垂面法）如图，PA!
平面BDBDLAC
=BDLBC=过BD作平面BDHLPC于七PC!
DHBH
=■/BHD为二面角B-PC-D的平面角。
因PB=2a,BC=a,PC=3a,
弦定理，得：
1PBBC=S\PBC=LPCBH贝SBH金二DH又BD=^2a在△BHD中由余
223
/BHD乙，二面角B-PC-D的大小是—
12.空间的点P到二面角的大小.
33
1的面、及棱1的距离分别为43、竽9'求二面角1
13.如图，在三棱锥S-ABC中,SA!
底面ABCAB丄BCDE垂直平分SC且分别交ACSC于DE,又SA=AB,SB=BC求二面角E-BD-C的度数。
II.寻找无棱二面角的平面角的方法（射影面积法、平移或延长（展）线（面）法）
四、射影面积法：
利用面积射影公式S射=S原cos,其中为平面角的大小，此方法不必在图形
中画出平面角。
例在四棱锥P-ABCD中，ABC［为正方形，P』平面ABCDPA=AB=a,求平面PBA与平面PDC
所成二面角的大小。
ADPA
解：
（面积法）如图，ADABADPBA于A,
PAIABA
同时，BCL平面BPA于B，故△PBAM^PCD在平面PBA上的射影
设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为0,
则cos0=土2=0=45°
Spcd2
14.如图，设M为正方体ABCD-AiCD的棱CC的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角
的大小。
15.如图，AC,BD,a与B所成的角为600,ACl于C,BDl于B,心3,BD=4,CD=2,求AB两点间的距离。
五、平移或延长（展）线（面）法：
对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P从平面ABCDPA=AB=a,求平面PBA与平面PDC
所成二面角的大小。
（补形化为定义法）
解：
（补形化为定义法）如图，将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN
则PQLPAPD,于是/APD是两面所成二面角的平面角
在Rt△PAD中,PA=ADJ则/APD=45。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°
六、向量法
解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。
例（2009天津卷理）如图，在五面体ABCDEI中，FA平面ABCD,AD//BC//FE,ABAD,
M为EC的中点，AF=AB=BC=F^=AD
2
（1）求异面直线BF与DE所成的角的大小;
（II）证明平面AMD平面CDE
（III）
求二面角A-CD-E的余弦值。
解：
如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。
设AB1依题意得B1,0,0,C1,1,0，D0,2,0，
又由题设，平面ACD的一个法向量为v（0,0,1）.
18.（2008湖北）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC侧面A1ABB1.⑴求证：
ABBC；
（II）若直线AC与平面ABC所成的角为，二面角ABCA的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.
分析：
由已知条件可知：
平面ABB人丄平面BCCB1丄平面ABC于是很容易想到以B点为空间坐标原
点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。
（答案：
arcsin,a，且—.ac由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下:
-
面
角
解法
A不见棱型
转化
定义法三垂録法垂面法面积法片
分析：
所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。
略解：
在二面角的棱PB上任取一点Q在半平面PBA和半平面PBC上作QMPB,QNPB则由定义可得MQN!
卩为二面角的平面角。
设PM=a则在RtPQM和RtPQN中可求得QM=QN=3a;又由
2
PQNPQM导PN二a,故在正三角形PMh中MN=a在三角形MQ中由余弦定理得cosMQN=，即二
3
面角的余弦值为1。
3
PA
AB
PB
PD
因为AB=AD=aPA
AD
PBPD,BC
DC
PBD
PDC。
AB
ADa
PC
PC
过B作BHLPC于H,连结D^DHLPC故/BHD为二面角B-PC-D的平面角
因PB^2a,BC=a,PC=/3a,^PBBC=S\PBC=1PCBH,贝SBH金二DH又BD^2a。
在△BHD中由余弦
223
定理，得：
B-PC-D的大小是—
3
［基础练习］
1.二面角是指（）
A两个平面相交所组成的图形
B一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形
C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形
D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
2.平面a与平面仅丫都相交，则这三个平面可能有（
条或3条交线
A1条或2条交线
C仅2条交线
条或2条或3条交线
D.A-BD-C
A.D-AC-BB.A-CD-BC.A-BC-D
6.AABC在平面a的射影是厶ABG，如果△ABC所在平面和平面a成B角，有（）
△A1B1C=S△ABCCOS0
A.S△aibici=S\abcsin0B.S
C.S△ABC=S△aibicisin0
D.S
△ABC=S△A1B1C1COS0
7.如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB丄l,B为垂足，A为I上一点，且/PABa,PA
与平面M所成角为B,二面角M-I-N的大小为y则有（）
Asina=sin仿in丫Bsin3=sinosin丫
Csinysinosin［3D以上都不对
8在600的二面角的棱上有两点A、B,ACBD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线
段，已知：
AB=6AC=3BD=4贝SCD=
9.已知△ABC和平面a,/A=3C0,/B=6d,AB=2ABa,且平面ABC与a所成角为30°,则点C到平面a的距离为。
10.正方体ABC—ABCD中，平面AAGC和平面ABCD所成的二面角（锐角）为。
11.已知菱形的一个内角是600,边长为a,沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱
形中含600角的两个顶点间的距离为。
12.
如图，△ABC在平面a内的射影为△ABC,若/ABC=0,BG=a,且平面ABC与平面a所成的角为®,求点G到平面a的距离
13.在二面角a-AB-3的一个平面a内，有一直线AG它与棱AB成45°角，AG与平面3成30°角，求二面角a-AB-3的度数。
［深化练习］
14.若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a和••2a,到棱的距离为2a,则此二面角的
度数是。
15.把等腰直角三角形ABG沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若/BAC=60则此二面角的度数是。
16.如图，已知正方形ABCD^正方形ABEF所在平面成60。
的二面角，求直线BD与平面ABEF所成角的正弦值。
G
精品资料■■
17.如图，在棱长为a的正方体ABC—A1B1GD中，求：
（1）面AABB与面ABCD所成角的大小;
（2）二面角C—BD—C的正切值
练习参考答案：
1—7DDBAABB8.7cm9.乜10.-11.旦a12.asintg
432
或165015.90016.正弦值为」17.
（1）900
（2）正切值为2
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