二面角大小的几种求法归类总结分析.docx

1、二面角大小的几种求法归类总结分析二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强， 方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化 为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小， 在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体 几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是， 根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选 择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I.寻找有棱二面角的平面角的方法 （定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 ）一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点） ，过该点在两个半 平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角

2、就是二面角的平面角， 这是一种最基本的方法。要注意用 二面角的平面角定义的三个 主要特征”来找出平面角。例空间三条射线 CA CP CB / PCAM PCB=60,Z ACB=90,求二面角B-PC-A的大小。解：过PC上的点D分别作DEL AC于 E, DF丄BC于 F,连EF./ EDF为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a v/ PCAM PCB=60 CE=CF=2a DE=DF=3a，又 v/ ACB=90,. EF=2.2a ,./ EDF=3a2 3a2 8a2 12 3a2 31.在三棱锥P-ABC中,APB= BPC= CPA=60 求二面角 A-PB-C 的余弦值

3、。2.如图，已知二面角 a a B等于120 PA a, A a, PBL B, B 求/ APB的大小。3.在四棱锥P-ABCD中, ABCD是正方形，P平面ABCD PA=AB=a求二面角B-PC-D的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线， 用三垂线定理或逆定理作出二面 角的平面角。例在四棱锥P-ABCD中, ABCD平行四边形，PAL平面ABCD PA=AB=a / ABC=30,求二面角 P-BC-A的大小。解：如图，PAL平面BD,过A作AHLBC于H,连结PH,贝卩PHLBC又AHI BC故/ PHA是二面角P-BC-A的平面角。在 Rt ABH中，AH二A

4、BsinZ ABC二aSin30，;2在 Rt PHA中，3 / PHA=PA/AH| 2，则/ PHA=a如225.在四棱锥P-ABCD中, ABCD是平行四边形，PA!平面ABCD PA=AB=aP-BC-A的大小。6.如图，在三棱锥 P-ABC中，PM平面ABC PA=AB AC=BC=1 / ACB=90 M是PB的中点。求证：BCLPC (2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。7.AABC中 , / A=90 AB=4 AC=3平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是 AB中点M 二面 角P AC B的大小为45求(1)二面角PBC A的大小；(2)二面角C PB-A的大小。

5、8.如图，已知 ABC中 , AB丄BC S为平面ABC外卜的一点，SAL平面ABC AML SB于M ANL SC 于N,(1)求证平面SABL平面SBC求证/ ANM是二面角A- SC- B的平面角.9.第8题的变式：如上图，已知 ABC中, AB丄BC S为平面ABC外卜的一点，SAL平面ABC / ACB =600, SA= AC= a, (1)求证平面SABL平面SBC求二面角A- SC- BC的正弦值.10.如图,ABCD-ABGD是长方体，侧棱AA长为1,底面为正方体且边长为2, E是棱BC的中点, 求面GDE与面CDE所成二面角的正切值。Di11.如图4,平面 丄平面，A =l

6、 , A , B ,点A在直线I上的射影为A,点B在l 的射影为B,已知AB=2 AA=1, BBf/2，求：二面角 A AB-B的大小。三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时， 过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的 角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，P平面ABCD PA=AB=a求B-PC-D的 大小P解：（垂面法）如图，PA!平面BD BDLAC=BDL BC =过 BD作平面 BDHL PC于 七PC! DH BH=/ BHD为二面角B-PC-D的平面角。因 PB= 2a,BC=a,PC= 3 a,弦定理，得：

7、1PBBC=S PBC=L PCBH贝S BH金二DH 又 BD=2a 在 BHD中 由余2 2 3/ BHD乙，二面角B-PC-D的大小是 12.空间的点P到二面角 的大小.3 31的面、及棱1的距离分别为4 3、竽9 求二面角113.如图，在三棱锥 S-ABC中, SA!底面ABC AB丄BC DE垂直平分SC且分别交AC SC于 D E,又SA= AB, SB= BC 求二面角E- BD- C的度数。II.寻找无棱二面角的平面角的方法 （射影面积法、平移或延长（展）线（面）法）四、射影面积法：利用面积射影公式 S射=S原cos ,其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例 在

8、四棱锥P-ABCD中，ABC为正方形，P平面ABCD PA= AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。AD PA解：（面积法）如图， AD AB AD PBA于A ,PAI AB A同时，BCL平面BPA于 B，故 PBAM PCD在平面PBA上的射影设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为0,则 cos 0=土 2 = 0=45Spcd 214.如图，设M为正方体ABCD-AiCD的棱CC的中点，求平面BMD与底面ABCD所成的二面角的大小。15.如图，AC , BD , a与 B所成的角为 600, AC l 于 C, BD l 于 B,心 3, BD= 4, CD =2,求

9、A B两点间的距离。五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之 相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。例在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P从平面ABCD PA= AB= a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小。（补形化为定义法）解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥 P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN则PQL PA PD,于是/ APD是两面所成二面角的平面角在 Rt PAD中, PA=ADJ则/ APD=45。即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，

10、可以说所有的立体几何题都可以用向量法 求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图 中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例(2009天津卷理)如图，在五面体 ABCDEI中，FA 平面ABCD, AD/BC/FE, AB AD,M为 EC的中点，AF=AB=BC=F=AD2,(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;(II)证明平面AMD平面CDE(III)求二面角A-CD-E的余弦值。解：如图所示，建立空间直角坐标系，以点A为坐标原点。设AB 1依题意得B 1,0,0 , C 1,1,0， D 0,2,0，又由题设，平面ACD的一个法向量

11、为v (0 ,0 ,1).18. ( 2008湖北)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，平面ABC 侧面A1ABB1. 求证：AB BC ；(II) 若直线AC与平面ABC所成的角为，二面角A BC A的大小为， 试判断 与 的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面 ABB人丄平面BCCB1丄平面ABC于是很容易想到以B点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再 利用两向量夹角公式求解。（答案： arcsin , a ，且.ac a ,）a2 c2 b c2 C2由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下:-面角解法A不

12、见棱型转 化定义法 三垂録法 垂面法 面积法片分析：所求二面角与底面 ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱PB上任取一点Q在半平面PBA和半平面PBC上作QM PB, QN PB则由定 义可得 MQN!卩为二面角的平面角。设 PM=a则在Rt PQM和Rt PQN中可求得QM=QN=3 a;又由2PQN PQM导PN二a,故在正三角形PMh中MN=a在三角形 MQ中由余弦定理得 cos MQN=，即二3面角的余弦值为1。3PAABPBPD因为 AB=AD=a PAADPB PD , BCDCPBDPDC。ABAD aPCPC过B作BHL PC于 H,连结DDHL PC

13、故/ BHD为二面角B-PC-D的平面角因 PB2a,BC=a,PC=/3a, PBBC=SPBC=1 PCBH,贝S BH金二DH又 BD2a。在 BHD中由余弦2 2 3定理，得：B-PC-D的大小是3基础练习1. 二面角是指（ ）A两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2.平面a与平面仅丫都相交，则这三个平面可能有（条或3条交线A 1 条或2条交线C仅2条交线条或2条或3条交线D. A-BD-CA. D-AC-B B. A-CD-B C. A-BC-D6

14、.A ABC在平面a的射影是厶ABG，如果 ABC所在平面和平面 a成B角，有（） A1B1C= S ABC COS 0A. S aibici=Sabc sin 0 B. SC. S ABC =S aibici sin 0D. S ABC =S A1B1C1 COS 07.如图，若P为二面角M-l-N的面N内一点，PB丄l , B为垂足，A为I上一点，且/ PABa, PA与平面M所成角为B,二面角M-I-N的大小为y则有（ ）A sin a=sin 仿in 丫 B sin 3=sin osin 丫C sin ysin osin 3 D 以上都不对8在600的二面角的棱上有两点 A、B, AC

15、 BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB的线段，已知：AB=6 AC=3 BD=4 贝S CD= 9.已知 ABC和平面a, / A=3C0 , / B=6d , AB=2 AB a,且平面 ABC与 a所成角为30,则点 C到平面a的距离为 。10.正方体ABCABCD中，平面AAGC和平面ABCD所成的二面角（锐角）为 。11.已知菱形的一个内角是600 ,边长为a,沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。12.如图， ABC在平面a内的射影为 ABC,若/ ABC=0, BG=a ,且平面ABC与平面a所成的 角为 ,求点G到平面a的距

16、离13.在二面角a-AB- 3的一个平面a内，有一直线AG它与棱AB成45角，AG与平面3成30 角，求二面角a-AB- 3的度数。深化练习14.若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为 a和 2a,到棱的距离为2a ,则此二面角的度数是 。15.把等腰直角三角形ABG沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，若/ BAC=60则此二面角的 度数是 。16.如图，已知正方形 ABCD正方形ABEF所在平面成60。的二面角，求直线BD与平面ABEF所 成角的正弦值。 G精品资料 17 .如图，在棱长为a的正方体ABCA1B1GD中，求：(1)面AABB与面ABCD所成角的大小; (2)二面角CBD C的正切值练习参考答案：1 7 DDBA ABB 8. 7cm 9. 乜 10. - 11.旦 a 12. asin tg4 3 2或1650 15. 90 0 16.正弦值为17.(1)90 0 (2)正切值为 24