第十三节平行四边形的性质.docx

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第十三节平行四边形的性质

平行四边形的性质

[知识要点]

1.你知道平行四边形的定义和表示符号吗？

2.依次从边、角、对角线三个方面，列出平行四边形的性质吧！

（1）边：

（2）角：

（3）对角线：

3.两条平行线间的距离是指什么呢？

平行四边形的面积公式是什么呢？

你知道二者有什么关系吗？

对于平行四边形的面积，你能找出其中一条规律来吗？

4．平行四边形的知识运用包括三个方面：

（1）直接运用平行四边形的性质去解决问题,求角、线段，证明角相等，互补，证明线段相等或平分；

（2）判定一个四边形是平行四边形，从而判定两直线平行；

（3）先判定一个四边形是平行四边形，然后用平行四边形的性质去解决某些问题。

[典型例题]

#利用平行四边形的性质求解边和角

例1—1在平行四边形ABCD中

（1）若∠A=40°，则∠B=，∠C=，∠D=。

（2）若∠A－∠B=80°，则∠A=，∠B=。

（3）若∠A+∠C=220°，则∠A=，∠B=。

（4）若周长为44cm，AB－BC=2cm，则CD=，AD=。

例1—2如图，□ABCD中，AD⊥BD，垂足为D，OA=10，OB=6，求BC、AB的长。

#灵活运用平行四边形性质进行边长、周长计算

例2—1如图，四边形ABCD为平行四形，∠A+∠C=80°，□ABCD的周长为40cm，且AB－BC=2cm，求□ABCD各边长和各内角的度数。

例2—2已知□ABCD的周长为80cm，AC⊥AB，△ABC的周长为60cm，求AB与BC的长。

例2—3如图，四边形ABCD是平行四边形，∠DAB:

∠ABC=1:

3，AB=4，BD与AC相交于O，且BD⊥AB，求AD，BC和AC的长。

例2—4如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥DC，垂足分别为E，F，∠ADC=60°，BE=2，CF=1，连结DF，求△DEC的面积。

#利用平行四边形中对角线与边长的关系求取值范围

例3—1如图，□ABCD中，对角线AC和BD相交于O点，若AC=8，BD=6，则边AB长的取值范围为（）

A．1﹤AB﹤7B．2﹤AB﹤14

C．6﹤AB﹤8D．3﹤AB14

例3—2平行四边形的一边长为10，那么它的对角线长度可以是（）

A．8和12B．20和30C．6和8D．4和6

#灵活运用平行四边形的面积公式计算

例4—1小强家承包了一块苗圃用来养花。

如图所示，苗圃的形状为平行四边形，经测量，其周长是36m，从钝角顶点D处向AB、BC引两条高DE、DF的长分别为5m、7m，求这个平行四边形苗圃的面积。

例4—2已知□ABCD中周长是36cm，且AB=10cm，AD与BC间的距离为6cm，求：

AB与CD之间的距离。

例4—3如图，在□ABCD中，对角线AC=21厘米，BE⊥AC，垂足为E，且BE=5厘米，AD=7厘米，试求AD与BC之间的距离。

#利用平行线之间的垂线段处处相等求解

例5—1如图所示，点A（乡镇）、B（村）、C（村）同处一片平坦的地区，计划经过点A修建一条水泥路L，使点B、C到L的距离相等，在图中画出直线L。

*例6如图所示，□ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC，垂足为F，AF交BD于E。

若DE=2AB，求∠AED的度数。

*例7如图所示，□ABCD中，BC=2AB，DE⊥AB，M是BC的中点，∠BEM=50°，则∠B的大小是多少？

*例8如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且EF∥BD，求证：

S△ABE=S△ADF。

*例9如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF,求证：

∠AOB=∠COB

[大展身手]

#一、判断题

1．一组对边平行的四边形叫做平行四边形。

（）

2．一组对边平行而另一组对边相等的四边形为平行四边形。

（）

3．两条平行线间的距离是指从一边上的任意一点到另一边的距离。

（）

4．相邻两边相等的平行四边形的四条边都相等。

（）

5．相邻的两个角都互补的四边形为平行四边形。

（）

6．平行四边形的对角线相等。

（）

7．平行四边形的一组邻角的平分线互相垂直。

（）

8．两组对边平行的四边形是平行四边形。

（）

9．对角线相等的四边形是平行四边形。

（）

10．对角线互相平分但不相等的四边形是平行四边形。

（）

11．有两组邻角互补的四边形是平行四边形。

（）

12．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形。

（）

13．有三个角为直角的四边形是平行四边形。

（）

二、选择题

1.在□ABCD中，∠A=65°，则∠D的度数是（）

A、105°B、115°C、125°D、65°

2.在□ABCD中，∠B-∠A=20°，则∠D的度数是（）

A、80°B、90°C、100°D、110°

3.已知□ABCD的周长为40cm，边AB-BC=4cm，则边AD、CD的长为（）

A、10cm、14cmB、8cm、12cmC、14cm、10cmD、12cm、8cm

4.如图4-1-1，在□ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF与GH相交于O，则图中共有平行四边形的个数是（）

A、4个B、5个C、7个D、9个

5.如图4-1-2，在□ABCD中，E、F分别是边AB、DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是（）

A、3个B、4个C、5个D、6个

6.在以下平行四边形性质中，错误的说法是（）

A、对边平行B、对角相等C、对边相等D、对角线相等

7.□ABCD的对角线相交于O，△OBC的周长为58cm，AD=28cm，两条对角线之差为14cm，则两条对角线的长分别为（）

A、23cm和9cmB、23cm和37cmC、8cm和22cmD、24cm和38cm

8.□ABCD的周长为32，5AB=3BC，则对角线AC的取值范围是（）

A、6＜AC＜10B、6＜AC＜16C、10＜AC＜16D、4＜AC＜16

9.以长为5cm、4cm、7cm的三条线段中的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是（）

A、1个B、2个C、3个D、4个

10.如图4-1-3，在□ABCD中，EF对角线交点O，如果AB=6cm，AD=5cm，OF=2cm，那么四边形BCEF的周长为（）

A、13cmB、15cmC、11cmD、9.5cm

11.如图4-1-3，在图中有全等三角形（）

A、3对B、4对C、5对D、6对

12.在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若BD与AC的和为18cm，CD：

DA=2：

3，△AOB的周长为13cm，那么BC的长为（）

A、3cmB、6cmC、9cmD、12cm

13.如图4-1-4，

∥

，AB∥CD，CE⊥

，FG⊥

，E、G为垂足，则下列说法不正确的是（）

A、AB=CDB、EC=FG

C、A、B两点的距离就是线段AB的长D、

与

的距离就是线段CD的长

14.在□ABCD中，∠A：

∠B：

∠C：

∠D的值可以是（）

A、1：

2：

4：

2B、1：

2：

1：

2C、1：

1：

2：

2D、1：

2：

2：

1

15.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（）

A、锐角B、直角C、钝角D、不能确定

二、填空题

1．两组对边分别的四边形叫做平行四边形，平行四边形的的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。

2．平行四边形的对边，对角。

3．用20cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，使长边与短边的比为3:

2，则长边长为，短边长为。

4．在平行四边形ABCD中，若∠A=2∠B，则∠A=，∠B=，∠C=，∠D=。

5．在□ABCD中，∠A：

∠B=3：

2，则∠C=，∠D=。

6．若A、B、C三点不共线，则以其为顶点的平行四边形一共可以做个。

7．平行四边形一组邻角的平分线一定是。

8．平行四边形ABCD中，∠C=∠B+∠D，则∠B=。

9．平行四边形ABCD的周长为56cm，两邻边之比为3:

5，则这两邻边长分别为。

10．平行四边形一个内角比它的邻补角大24度，则这个内角为。

11.如图4-1-5，在□ABCD中，BC=2AB，CA⊥AB，则∠B=，∠CAD=。

12.已知O是□ABCD的对角线的交点，AB=10cm，BC=8cm，AC=16cm，BD=13cm，则△ODC的周长是，△OAD的周长是。

13.在□ABCD中，如果AC=2cm，BD=6cm，CA⊥AB，那么□ABCD的周长是cm，面积是cm2。

14.在□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AB交AB于点E，OE=3cm，则AB与CD间的距离为cm。

15.□ABCD的周长为80cm，对角线AC、BD交于点O，若△AOB的周长比△BOC的周长多8cm，那么AB=cm，BC=cm。

16.在□ABCD中，∠A=30

，AB=7cm，AD=6cm，则S□ABCD=。

17.如图4-1-6，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若∠EAF=60°，AE=

，AF=

，则

（1）∠BAD=，∠C=，∠D=；

（2）AB=，BC=。

18．过□ABCD的钝角顶点A作两条高AE，AF，若∠B=60°，则∠EAF=。

19．□ABCD的周长为60cm，对角线AC，BD相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB=，BC=。

20．□ABCD的周长为40，两邻边的比为3：

5，其四边的长分别为。

21．在□ABCD中，∠A的平分线分BC成4cm和3cm的两线段，则四边形的周长为。

22．□ABCD的周长为25cm，对边距离都为2cm，则它的面积为。

23．如果在□ABCD中，AB=8，对角线AC=6，则另一条对角线BD的范围是。

24．□ABCD的周长为22cm，AC，BD交于O点，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=，AB=。

25．过□ABCD的钝角顶点A，分别作两条高AE和AF，若∠EAF=60°，BE=2，DF=3，则

□ABCD的面积为。

26．已知四边形ABCD中，AD∥BC，分别补上下列条件中的哪一个条件，四边形就为平行四边形：

①AD=BC；②AB∥CD；③AB=AD；④∠A=∠C。

（填上序号）

27．平行四边形的两邻边长分别为3和5，其夹角为120°，则该平行四边形的面积为。

三、解答题

#1．在平行四边形ABCD中，∠B+∠D=140°，求各内角的度数。

#2．平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，AD=5cm，AB=8cm，求EC的长。

3．如图，平行四边形ABCD中，AD=2AB，点M为AD的中点，求∠BMC的度数。

4.如图4-1-9，在□ABCD，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=2cm，AF=3cm，□ABCD的周长为20cm，求S□ABCD。

5.如图4-1-10，在□ABCD中，D在AB的中垂线DE上，若□ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比□ABCD的周长少10cm，求□ABCD的一组邻边的长。

6．在□ABCD中，E、F分别是AC、CA延长线上的点，且CE=AF，求证：

BF∥DE。

7．如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AC，DF∥AB，AB=AC=13cm，试说明：

四边形AEDF是平行四边形，并求它的周长。

8．如图，在□ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF长多少？

9．如果平行四边形的一组邻边的长相等，且等于其较短的对角线的长，而此对角线的长为4cm，求此平行四边形相邻两内角的度数及各边的长。

10．如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，延长AB到点F，延长BA到点E，使得AB=AE=BF，连结CE和DF交于点O，求证：

EC⊥DF。

（要求完整过程）