1811第2课时平行四边形对角线的性质.docx

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1811第2课时平行四边形对角线的性质

第2课时　平行四边形对角线的性质

知识要点分类练　　　　　　　夯实基础

知识点1　平行四边形的对n加油角线互相平分

1．[2019·十堰改编]如图18－1－17，已知▱ABCD的n加油对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，n加油AB＝5，则OA＝OC＝________，OB＝On加油D＝________，△OCD的周长为______n加油__．

图18－1－17　　　图18－1－18

2．如图n加油18－1－18，在平行四边形ABCD中，若AB＝3cn加油m，BC＝5cm，对角线AC，BD相交于点O，则On加油A长的取值范围是（　　）

A．1cm＜OAn加油＜4cmB．2cm＜OA＜8cmn加油

C．2cm＜OA＜5cmD．3cm＜n加油OA＜8cm

3．如图18－1－19，▱ABCD的对角线ACn加油与BD相交于点O，AB⊥AC.若AB＝4，AC＝6，则BD的长是（　　n加油）

图18－1－19

A．8B．9C．10D．11

4．n加油若▱ABCD的周长为100cm，两条对角线相交于点O，△n加油AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB＝________cm，n加油BC＝________cm.

5．如图18－1－20，已知▱ABCD和▱EBFn加油D，求证：

AE＝CF.

图18－1－20

知识点2　n加油平行四边形性质的综合应用

6．如图18－1－2n加油1，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是n加油对角线BD上的点，且∠CEO＝∠AFO，根据以上条件能判定n加油相等的线段共有（　　）

图18－1－21

A．5对B．6对n加油C．7对D．8对

7．如图18－1－22，在n加油▱ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则图中阴影n加油部分的面积为（　　）

图18－1－22n加油

A．3B．6C．12D．24

8．如图18－1－2n加油3，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若n加油DO＝1.5cm，AB＝5cm，BC＝4cm.求▱ABCn加油D的面积．

图18－1－23

规律方法综合练n加油　　　　　　　提升能力

9．如图18－1－24，平行四n加油边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，n加油与△OBC面积相等的三角形的个数是（　　）

A．n加油1B．2C．3D．4

图18－1－n加油24　　　图18－1－25

10．如图18－1－25，在▱An加油BCD中，EF过对角线的交点O，若AB＝4，AD＝3，On加油F＝1.3，则四边形BCEF的周长为（　　）

A．8.3B．9.6C．1n加油2.6D．13.6

11．如图18－1－26，点O是n加油平行四边形ABCD的对角线BD的中点，过点O作OE⊥BD，交AD于点n加油E，∠DBC＝20°，则∠EBD＝________°.

图18n加油－1－26　　　图18－1－27

1n加油2．[2019·衡阳]如图18－1－27，▱ABCD的对角线相交于点O，且n加油AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那n加油么▱ABCD的周长是________．

13．[2n加油019·淮安]如图18－1－28，在▱ABCD中，对角线ACn加油，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F.求n加油证：

AE＝CF.

图18－1－28

14．如图18－1－29所示，已n加油知▱ABCD的周长是36cm，由钝角顶点D向AB，BC引两条高n加油DE，DF，且DE＝4

cm，DF＝5

cm，求这个平行四边形的面积．

图18－1－29

15．n加油[2019·黄冈]如图18－1－30，在▱ABCD中，分别以边BC，CDn加油为腰作△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接An加油F，AE.

（1）求证：

△ABF≌△EDA；

（2）延长AB与CFn加油相交于点G，若AF⊥AE，求证：

BF⊥BC.

图18－1－30

　n加油拓广探究创新练　　　　　　　冲刺满分

n加油16．如图18－1－31①，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点n加油O，EF过点O且与AD，BC分别相交于点E，F，则OE＝OF.

若将EF向两n加油方延长，与▱ABCD的两对边的延长线分别相交（图②和图③），OE与OF还相等吗n加油？

若相等，请说明理由．

图18－1－31

教师详n加油解详析

1．4　5　14

2．A　[解析]∵AB＝3cm，BC＝5n加油cm，∴2cm＜AC＜8cm.

∵四边形ABCD是平行四n加油边形，∴AO＝

AC，∴1cm＜OA＜4n加油cm.

3．C　[解析]根据平行四边n加油形的性质，得OA＝

AC＝

×6＝3，AB＝4.根据勾股定理，得OB＝5，n加油∴BD＝2OB＝2×5＝10.

4．30　20　[解析]∵▱ABn加油CD的周长为100cm，∴AB＋BC＝n加油50cm.∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，∴AB－BC＝1n加油0cm，∴AB＝30cm，BC＝20n加油cm.

5．[解析]要证明AE＝CF，显然用我们熟知的全n加油等三角形可以证明，但由于题设中有两个平行四边形，而且AE，CF都在▱An加油BCD的对角线AC上，利用平行四边形的性质连接BD即可．

证明：

连接BD，交n加油AC于点O.

∵四边形ABCD和四边形EBFn加油D均是平行四边形，

∴OA＝OC，OE＝OF，

∴OA－OE＝OC－OF，即AEn加油＝CF.

6．D　[解析]∵四边形ABCD为平行四边形，n加油

∴AB＝CD，AD＝BC，OC＝OA，OD＝OB.

在△CEOn加油与△AFO中，

∴△CEO≌△AFO（AAS），

∴CE＝AF，OE＝OF.n加油

∵OD＝OB，∴DE＝BF，DF＝BE，

∴相等的线段共有8对．

7．Cn加油　[解析]通过观察结合平行四边形的性质，得S阴影＝

n加油×6×4＝12.故选C.

8．解：

∵平行四边n加油形的对角线互相平分，DO＝1.5cm，∴DB＝3cm.又∵CD＝n加油AB＝5cm，BC＝4cm，∴DB2＋BCn加油2＝CD2，∴△DBC是直角三角形，即DB⊥BC，n加油∴▱ABCD的面积＝BC·DB＝4×3＝12（cm2）n加油．

9．C　[解析]在平行四边形ABCD中，OA＝OC，On加油B＝OD，∴S△OAB＝S△OBC＝S△OCD＝S△ODA，

∴与△OBCn加油面积相等的三角形有3个．

10．B　[解析]∵四边形ABCD是平行四n加油边形（已知），∴OA＝OC（平行四边形的对角线互相n加油平分），AB∥CD（平行四边形的对边互相平行n加油），∴∠DCO＝∠BAC（两直线平行，内错角相等）．

在△AFO和△CEO中，

n加油

则△AFO≌△CEO（ASA），∴OF＝OE，CE＝An加油F（全等三角形的对应边相等）．又∵AB＝CD（平行四边形的对边相等）n加油，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，∴四边形BCEF的周长为BC＋EC＋n加油OE＋OF＋BF＝AD＋AF＋2OF＋BF＝AD＋AB＋2OF＝n加油9.6.故选B.

11．20　[解析]∵O是平行四边形ABCD对角线BD的中点n加油，∴OB＝OD.

又∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDBn加油.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥Bn加油C，

∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠EBD＝20°.

12．16n加油　[解析]在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD.

∵On加油为AC的中点，OM⊥AC，

∴MO为AC的垂直平分n加油线，∴MC＝MA，

∴△CDM的周长＝MC＋MD＋CD＝MA＋MD＋n加油CD＝AD＋CD＝8，

∴▱ABCD的周长＝2（n加油AD＋CD）＝16.

13．证明：

∵AC，BD为▱ABCD的对角线，

∴AOn加油＝CO，AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO.

又∵∠AOEn加油＝∠COF，∴△AOE≌△COF，

∴AE＝CF.

14．解：

设AB＝xn加油cm，BC＝ycm.

∵四边形ABCD为平n加油行四边形，

∴AB＝CD，AD＝BC.

又▱ABCn加油D的周长为36cm，

∴2x＋2y＝36.①

∵DE⊥AB，Dn加油F⊥BC，

∴S▱ABCD＝AB·DE，Sn加油▱ABCD＝BC·DF，

∴4

x＝5

y.②

解由①②组成的方程组，得x＝10，n加油y＝8.

∴S▱ABCD＝AB·DE＝10×4n加油

＝40

（cm2）．

15．证明：

（n加油1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AD＝Bn加油C，∠ABC＝∠ADC.

∵BC＝BF，CD＝DE，∴BF＝AD，AB＝Dn加油E.

∵∠ADE＋∠ADC＋∠CDE＝360°，∠ABFn加油＋∠ABC＋∠CBF＝360°，∠CDE＝∠n加油CBF，∴∠ADE＝∠ABF，∴△ABF≌△En加油DA.

（2）延长FB交AD于点H.

∵AE⊥AF，∴∠EAF＝90°.

n加油∵△ABF≌△EDA，∴∠EAD＝∠AFB.

∵∠EAD＋∠FAH＝90°，

∴∠FAH＋∠AFB＝90°，∴∠AHF＝90°，即BF⊥AD.

∵AD∥BC，∴BF⊥BC.

16．解：

图②中OE与OF仍然相等．

理由：

∵在▱ABCD中，AB∥CD，OA＝OC，

∴∠E＝∠F.

又∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（AAS），

∴OE＝OF.

图③中OE与OF仍然相等．

理由：

∵在▱ABCD中，AD∥BC，OA＝OC，

∴∠E＝∠F.

又∵∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE＝OF.