完整版一元一次方程及其解法.docx
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完整版一元一次方程及其解法
3.1
元一次方程及其解法
1.一元一次方程
（1）一元一次方程的概念只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程.如：
7—5x=3,3（x+2）=4—x等都是一兀一次方程.
解技巧正确判断一元一次方程
判断一元一次方程的四个条件是：
①只含有一个未知数（元）;②未知数的次数都是一次;
③未知数的系数不能为0；④分母中不含未知数，这四个条件缺一不可.
元'
（2）方程的解
①概念：
使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.
②方法：
要检验某个数值是不是方程的解，只需看两点:
元方程的解，也叫做方程的根.
一看，它是不是方程中未知数
的值；二看，将它分别代入方程的左边和右边，若方程左、右两边的值相等，则它是方程的解.
如x=3是方程2x—4=2的解，而y=3就不是方程2x—4=2的解.（3）解方程
求方程的解的过程叫做解方程.
方程的解和解方程是不同的概念，方程的解是求得的结果，它是一个数值（或几个数值）,而解方程是指求出方程的解的过程.
【例1—11下列各式哪些是一元一次方程（
11,
A.S=7ab；B.x—y=0；C.x=0；D._~=1；
2x+3
=0；H.x+2.
解析：
E中不含未知数，所以不是一元一次方程；
E.3—1=2;F.4y—5=1;G.2x2+2x+1
G中未知数的次数是2,所以不是
H虽然形式上字母
元一次方程；A与B中含有的未知数不是一个，也不是一元一次方程；
的个数是一个，但它不是等式，所以也不是一元一次方程；D中分母中含有未知数，不是
元一次方程；只有C,F符合一元一次方程的概念，所以它们是一元一次方程.
答案：
CF
）的解.
B.4x+2=1
【例1—21x=—3是下列方程（
A.—5（x—1）=—4（x—2）
D3x—1=0
C.尹+5=5
解析：
对于选项A，把x=—3代入所给方程的左右两边，左边=—5X（—3—1）=20,
右边=—4X（—3—2）=20,因为左边=右边，所以x=—3是方程一5（x—1）=—4（x—2）的解；对于选项B,把x=—3代入所给方程的左右两边，左边=4X（—3）+2=—10,右边=1,因
为左边工右边，所以x=—3不是方程4X+2=1的解，选项C,D按以上方法加以判断，都不能使方程左右两边相等，只有A的左右两边相等，故应选A.
答案：
A
2.等式的基本性质
（1）等式的基本性质
1性质1:
等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
用式子形式表示为：
如果a=b,那么a+c=b+c,a—c=b—c.
2性质2:
等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.
用式子形式表示为：
如果a=b,那么ac=bc,|=C（c工0）.
3性质3:
如果a=b，那么b=a.（对称性）如由一8=y,得y=—8.
4性质4:
如果a=b,b=c,那么a=c.（传递性）女口：
若/1=60°/2=/1,则/2=60°
（2）
简称等量代换.
（或减去）同一个数或同一个
和“同一个”，否则就会破
等量代换在解题过程中，根据等式的传递性，一个量用与它相等的量代替，谈重点应用不等式的性质的注意事项
（1）应用等式的基本性质1时，一定要注意等式两边同时加上
整式，才能保证所得结果仍是等式.这里特别要注意：
“同时”
坏相等关系.
（2）等式的基本性质2中乘以（或除以）的仅仅是同一个数而不包括整式，要注意与性质1
的区别.
⑶等式两边不能都除以0,因为0不能作除数或分母.【例2—11下列运用等式的性质对等式进行的变形中，正确的是（）.
A.若4y+2=3y—1，贝Uy=1
5
B.若7a=5,贝Ua=y
C.若x=0，贝Ux=2D.若x—1=1,贝Ux—6=1
确定变形的依据，再对等式的
26解析：
首先观察等式的左边是如何由上一步变形得到的，右边进行相应的变形，得出结论.
A根据等式的基本性质1,等式U的两边都减去3y+2,左边是y，右边是一3,不是1;C根据等式的基本性质2，两边都乘以2,右边应为0,不是2;D根据等式的基本性质2,左边乘以6,而右边漏乘6，故不正确；只有B根据等式的基本性质2，两边都除以7得到a=7.
答案：
B
【例2—21利用等式的基本性质解方程：
（1）5x—8=12;
（2）4x—2=2x;（3）x+1=6;（4）3—x=7.
分析：
利用等式的基本性质求解.先利用等式的基本性质1将方程变形为左边只含有未
知数的项，右边含有常数项，再利用等式的基本性质2将未知数的系数化为1.
解：
（1）方程的两边同时加上8,得5x=20.
方程的两边同时除以5，得x=4.
得2x=2.
⑵方程的两边同时减去2x,得2x—2=0.
得x=1.
方程的两边同时加上2,
方程的两边同时除以2,
（3）
1,
方程两边都同时「减去得x+1—1=6—1,
•-x=6—1.”
（4）方程两边都加上x,
得3—x+x=7+x,3=7+x,
方程两边都减去7,
得3—7=7+x—7,
••—4=x,即卩x=—4.
3.解一元一次方程
（1）移项
1移项的概念及依据：
把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种
变形叫做移项.
因为方程是特殊的等式，所以移项的依据是等式的基本性质1.
2移项的目的：
把所有含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到方程的另一边.
3移项的过程：
移项的过程是项的位置改变和符号变化的过程.即对移动的项进行变号
的过程，^口，一2—3x=7,把一2从方程的左边移到右边，一2在原方程中前面带有性质符
号“-”，移到右边后需变成“+”，在移动的过程中同时变号，没有移动的项则不变号.所以由移项，得一3x=7+2.
4
移项要
3
5x—15x+
要注意移项和加法交换律的区别：
移项是把某一项从等式的一边移到另一边，
3从方程的左边移到右边要变号，得5x=1—3，是属于移项；而把
5x+11x—15x=11,是利用加法交换律，不是移项而是位置的移动，所以不变
变号；而加法交换律中交换加数位置只是改变排列的顺序，符号随着移动而不改变.如，+5x=1,把11x=11变成号.
移项时应注意的问题
辨误区
在移项时注意“两变”：
一变性质符号，即“+”号变为“—”号，而“—”号变为“+”号；二变位置，把某项由等号的一边移到另一边.
（2）解一元一次方程的步骤
1具体
解一元一次方程的一般步骤有：
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为
见下表:
变形名称
具体做法
变形依据
注意事项
去分母
方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数
等式的基本性质2
不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号
去括号
可由小到大，或由大到小去括号
分配律；去括号的法则
不要漏乘括号内的项；括号前是“—”号的，去括号时括号内的所有项都要变号
移项
移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边
等式的基本性质1
移项要变号
合并同类项
将方程化为ax=b的最简形式
合并同类项的法则
只将系数相加，字母及其指数不变
化系数为1
方程的左右两边冋时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数
等式的基本性质2
分子、分母不能颠倒
儿一次方程
（1）这些步骤「在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可将解出的结果代入原方程进行检
解技巧巧解值得注意的是：
可根据方程的形式，灵活安排步骤；
（2）为了避免错误,
验.
【例3—11下列各选项中的变形属于移项的是（
A.由
B.由
C.由
D.由
解析：
）•
2x=4,得x=2
7x+3=x+5,得7x+3=5+rX
8—x=x—5，得一x—x=—5—8
x+9=3x—1,得3x—1=x+9
选项A是把x的系数化成1的变形；选项
B中x+5变成5+x是应用加法交换
律，只是把位置变换了一下；选项C是作的移项变形；选项D是应用等式的对称性“a=b,
则b=a”所作的变形.所以变形属于移项的是选项C.
答案：
C
【例3-21解方程宁-5=亍.
分析：
方程有分母，将方程两边每一项都要乘以各分母的最小公倍数
12,去掉分母得
4（2—x）—60=3（x—1），再按照步骤求解，特别注意—5不能漏乘分母的最小公倍数12.
解：
「去分母，方程两边都乘以12,
得4（2—X）—60=3（x—1）.去括号，得8—4x—60=3x—3.
移项，得—4x—3x=—3—8+60.合并同类项，得—7x=49.
两边同除以一7,得x=—7.
4.解复杂的一元一次方程
解方程是代数中的主要内容之一，一元一次方程化成标准方程后，就成为未知数系数不
是0的最简方程.一元一次方程不仅有很多直接应用，而且解一元一次方程是学习解其他方
程和方程组的基础.解方程的过程，实际上就是把方程式不断化简的过程，一直把方程化为
x=a（a是一个已知数）.
（1）复杂的一元一次方程的解法与简单方程的解法其思路是一样的.方程中若含有相同
的代数式，可以把此代数式看作一个整体来运算；方程中若含有小数或百分数，就要根据分
数的基本性质，把小数或百分数化为整数再去分母运算.
（2）要注意把分母整数化和去分母的区别：
分母整数化是在某一项的分子、分母上同乘以一个不等于零的数，而去分母是在方程两边同乘以分母的最小公倍数.
0.03
▼I.■"F亠E0.4x—9X—50.03+0.02x【例4】解万程CU—=
0.5
0.4x—90.03+0.02X
分析：
由于05和—0~03—的分子、分母中含有小数，可利用分数的基本性质把小数化为整数，在式子瓷^9的分子、分母中都乘以10,变为^^—聖，在式子驾三严的
3+2x
分子、分母中都乘以100,变为然后去分母，再按解一元一次方程的步骤求解.
解：
分母整数化，得
4x—90X—53+2x
5—2=3
去分母，得
6（4x—90）—15（x—5）=10（3+2x）.
去括号，得
24X—540—15X+75=30+20x.
移项，得
24X—15X—20x=540—75+30.
合并同类项，得
—11x=495.
两边同除以一11,得
x=—45.
5.与一元一次方程的解相关的问题
方程的解不仅是方程的重要概念，也是考查方程知识时的主要命题点.解题的关键是理
解方程的解的概念.
（1）已知方程的解求字母系数：
若已知方程的解，将方程的解代入方程，一定使其成立，则得到一个关于另一个未知数的方程，解这个方程，即可求出这个字母系数的值.
（2）同解方程：
因为两方程的解相同，可直接解第一个方程，求出未知数的值，再把未知数的值代入第二个方程，求出相关字母的值.
【例5—1］关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，贝Uk=（）.
B4
B.3
5
解析：
解方程3x+5=0,得x=—3.
5将x=—3代入方程3x+3k=1,
得一5+3k=1,解得k=2,故应选C.
答案：
C
【例5—2］若关于x的方程（m—6）x=m—4的解为x=2，贝Um=
解析：
把x=2代入方程（m—6）x=m—4,
得（m—6）X2=m—4,解得m=8.
答案：
8
6.一元一次方程的常用解题策略
我们已经知道，解一元一次方程一般有五个步骤，去分母，去括号，移项，合并同类项，
化未知数的系数为1,可有些一元一次方程，若能根据其结构特征，灵活运用运算性质与解题技巧，则不但可以提高解题速度与准确性，而且还可以使解题过程简捷明快，下面介绍解
一元一次方程常用的几种技巧.
（1）有括号的一元一次方程一般是先去括号，去括号的顺序一般是由小到大去，但有些
题目是从外向里去括号，计算反而简单，这就要求仔细观察方程的特点，灵活运用使计算简
便的方法.
（2）对于一些含有分母的一元一次方程，若硬套解题的一般步骤，先去分母则复杂繁琐，若根据方程的结构特点，先移项、合并同类项，则使运算显得简捷明快.
有些特殊的方程却要打破常规，灵活运用一些解题技巧，使运算快捷、简便.巧解可激
活思维，使我们克服思维定式，培养创新能力，从而增强学习数学的兴趣.
【例6—1］解方程33^x—1—4=|x+1.
3433411
分析：
注意到4X4=1,把3乘r以中括号的每一项，则可先去中括号，-X4*—4
3113
=|x+1,再去小括号为^x—4—3=|x+1,再按步骤解方程就非常简捷了.
113
解：
去括号，得|x—1—3=討1.
移项，合并同类项，得一x=17.
17
两边同除以一1,得x=——.
【例6-2］解方程7-5=6
分析：
此题可按照解方程的一般步骤求解,
4-
但本题若直接去分母，则两边乘以最小公倍
数420，运算量大容易出错，我们可两边分别通分,
5x+3—7x+22x+1—3x+4
35
12
x+3x+2=x+1x+4
把分子整理后再按照解一元一次方程的步骤求解.
解：
方程两边分别通分，得
5x+3—7x+22x+1—3x+4
.化简,
35
12
—2x+1
得—3^=
—x—10
.
去分母，得「12（—2x+1）=35（—x—10）.去括号，得—24x+12=—35x—350.
移项、合并同类项，得11x=—362.
362
两边同除以11,得x=—36j2.
7.列一元一次方程解题
（1）利用方程的解求未知系数的值当已知方程的解求方程中字母系数或有关的代数式时，
代入原方程，得到关于字母系数的等式
（2）利用概念列方程「求字母的值
利用某些概念的定义，可以列方程求出相关的字母的取值，如根据同类项的定义或一元
一次方程的定义求字母的值.
列方程求值的关键是根据所学的知识找出相等关系.的取值.
谈重点列一元一次方程注意挖掘隐含条件
许多数学概念、性质的运用范围、限制条件或使用前提有的是以隐含条件的形式出现在
即将方程的解（或者可以看作关于字母系数的方程），再求解即可.
常常采用代入法,
再列出方程，解方程从而求出字母
发掘隐含条件时需要全面、深刻地
题目中，由此可发掘隐含的条件，列一元一次方程解题，理解掌握数学基础知识.
【例7—11
（1）当a=时，式子2a+1与2—a互为相反数.
⑵若6的倒数等于X+2,则x的值为.
解析：
（1）根据互为相反数的两数和为0，可得一元一次方程2a+c1+（2—a）=0,解得a=—3;
（2）由倒数的概念：
乘积为1的两个数互为倒数，可得一元一次方程6（x+2）=1,解/曰11
得x=—6.
11
答案：
⑴―3
（2）-—
x=爭的解，求k的值.
k为未知数的新方程，解含有未知数
【例7-2】已知x=-2是方程号+誉-分析：
把x=-2代入原方程，原方程就变成了以
k的方程，可以求出k的值.
解：
把x=-2代入原方程，得
-2-k3k+2-2+k
+-（-2）=
去分母，得
2（-2-k）+3k+2-（-2）X6=3（-2+k）.
去括号，得
—4-2k+3k+2+12=-6+3k.
移项、合并同类项，得
-2k=-16.
方程两边同除以一2,得k=8.
黑体小四
课后作业
【题01】
下列变形中，不正确的是（
【题02】
【题03】
【题04】
A若x25x，则x5.
C若盘1x，则r
下列各式不是方程的是（
Ay2
c.p2
解为x
A2x
C3（x
B.
D.
B.
若7x7,则x1.
2n
axay.
C2
2pqq
2的方程是（
2）（x
3）
5x
D.
B.
D.
若关于x的方程
2xn
23（n
4）0是一儿
5x
次方程，求
n的值.
2
儿一次方程，则m
【题06】
若关于
x的方程
（2
|m|）x2
（m
2）x（5
2m）0是
儿一次方程，求m的解.
【题07】
若关于
x的方程
（k
2）xk1
5k
0是一儿'
次方程，则
【题08】
若关于
x的方程
（k
2）xk1
5k
儿一次方程，则
.若关于x的
方程
（k
2
2）x4kx
5k
0是,
儿一次方程,
则方程的解x=
【题09】
（3a
2
8b）x5bx7a0是关于x的
儿一次方程，且该方程有惟一解，则
21
40
B.空
40
56
15
15
【题11】
解方程:
|（4
y）
1（y
【题12】
解方程:
【题13】
解方程:
2x
5x
6
5
才）36
3）
【题15】
解方程:
【题16】
解方程:
【题17】
解方程:
【题18】
解方程:
1——X0.7
0.5
0.2X
丄（0.170.2X）1
0.03
3（x4）
5x19
0.125
0.45
0.0150.01X0.5X2.5
0.25
0.1X
0.9
0.2X
0.03
0.7
0.015
2[4x
3
21
才2）]
【题19】解方程：
-[丄（丄X1）6]20
343
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