信号与系统滤波器课程设计.docx
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信号与系统滤波器课程设计
《信号与系统》课程设计———模拟巴特沃斯低通滤波器的设计
【设计题目】巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器的设计
【摘要】主要设计的是低通数字巴特沃兹滤波器，并通过参数设计对比了不同阶数的巴特沃兹滤波器特性能；设计同一要求下的巴特沃兹滤波器、切比雪夫滤波器、椭圆滤波器低通滤波器，并对他们进行了比较。
【引言】对于频率性选择滤波器，巴特沃兹滤波器是广泛应用的一类连续时间LTI系统，特别是数字滤波具有精度高、灵活性好的等优势，并可以针对信号处理的要求，通过修改参数来改变滤波器特性。
一个Ｎ阶巴特沃兹滤波器的频率响应的幅值应满足
通过matlab中给出的用来模拟巴特沃兹滤波器设计的各种强大函数，预先给定参数——通带边缘频率、阻带边缘频率、通带振幅波动dB数、阻带衰减dB数，可以做出相应的的低通滤波器。
变化参数，讨论滤波器滤波特性的变化，及滤波效果。
【关键字】巴特沃兹滤波器
【正文】
1.设计一个低通巴特沃兹滤波器满足下列技术指标：
Wp=30；Ws=50；Rp=7dB；Rs=16dB
其中:
Wp=以弧度/秒为单位的通带边缘频率;Wp>0
Ws=以弧度/秒为单位的阻带边缘频率;Wp>Ws>0
Rp=通带中的振幅波动的+dB数;（Rp>0）
Rs=阻带衰减的+dB数;（Rs>0）
利用matlab提供的一个函数Buttord，
Buttord的作用是：
计算巴特沃兹滤波器的阶N，以满足通带频率、阻带频率、振幅波动、阻带衰减等这些参数要求，（calculatestheminimumorderofadigitaloranalogButterworthfilterrequiredtomeetasetoffilterdesignspecifications.）在工程中，因为低阶的滤波器容易实现且较便宜，所以求最低的阶。
Matlab程序代码：
wp=30;
ws=50;
rp=7;
rs=16;
对于原始信号x。
若采样频率Fs=1000Hz，设计一个8阶、通带为100-200Hz的带通滤波器：
[b,a]=butter（8,[]）=butter（8,[100/（1000/2）200/（1000/2）]）这里Fa=Fs/2，Fa是分析频率得到滤波器系数后，就可以直接用了。
[n,Wn]=buttord（wp*2*pi,ws*2*pi,rp,rs,'s'）;fprintf（'\n***BUTTERWORTHFILTERORDER=%2.0f\n',n）
[b,a]=butter（n,Wn,'s'）;
[H,Wn]=freqs（b,a）;
plot（Wn*rs/（2*pi）,abs（H））;
grid;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'幅值'）;
***BUTTERWORTHFILTERORDER=3
一个简单的巴特沃兹滤波器的设计实际上归结于设计滤波器系数[b,a]，即其频率响应的分子分母的系数向量。
这里还采用了两个matlab里的函数：
用于设计滤波器的butter和用于计算并画出幅度响应的freqs；
[b,a]=butter（N,Wn,'low'）designsalowpass低通滤波器
（[b,a]=butter（N,Wn）--带通滤波器；[b,a]=butter（N,Wn,'high'）---用来设计高通滤波器）
Wn的确定跟采样频率Fs有关。
画出幅频特性曲线如下：
求得滤波器系数[b,a]向量：
b=
+006*
000
a=
+006*
2.改变滤波器设计参数，分析滤波器性质的变化：
Matlab程序实现如下：
wp=30;
ws=50;
rp=1;
rs=30;
[n,Wn]=buttord（wp*2*pi,ws*2*pi,rp,rs,'s'）;fprintf（'\n***BUTTERWORTHFILTERORDER=%2.0f\n',n）;
[b,a]=butter（n,Wn,'s'）;
[H,Wn]=freqs（b,a）;
plot（Wn*rs/（2*pi）,abs（H））;
grid;
xlabel（'频率/Hz'）;
ylabel（'幅值'）;
***BUTTERWORTHFILTERORDER=9
减小通带幅度波动，同时增大阻带衰减dB数，发现滤波器的阶数变大了，从滤波器原理分析，是滤波器性能提高了。
结论：
随着指标要求越高，即通带波动越小，阻带衰减越大，巴特沃斯滤波器的阶数会增加，过渡带会变窄。
对滤波器实现的难度也增加了。
3.、切比雪夫I滤波器设计
巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带和阻带都是频率的单调函数。
因此．当通带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余量。
因此，更有效的设计方法应该是将精确度均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整个阻带内，或者同时分布在两者之内。
这样，就可用阶数较低的系统满足要求。
这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
切比雪夫Ι型滤波器幅度平方函数：
其中
N:
滤波器的阶数
截止频率
表示通带波纹大小，
越大，波纹越大
A、切比雪夫I滤波器设计（指标wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000;rp=3;as=25;
）
wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000;rp=3;as=25;
[n1,wp1]=cheb1ord（wp,ws,rp,as,'s'）;
[B1,A1]=cheby1（n1,rp,wp1,'s'）;
k=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk1=freqs（B1,A1,wk）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk1）））;
xlabel（'频率（kHz）','FontSize',16,'FontWeight','bold'）;
ylabel（'幅度（dB）','FontSize',16,'FontWeight','bold'）;
程序结果
n1=
3
wp1=
+004
求得滤波器系数[b,a]向量
B1=
+013*
000
A1=
+013*
画出幅频特性曲线如下：
通过观察我们可以证实，切比雪夫I滤波器在通带幅度有等波纹波动。
这里设计的滤波器指标比较低，随着指标的升高，要设计的滤波器阶数N增大，过度带变窄。
B、切比雪夫II滤波器设计（指标wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000;rp=3;as=25;
）
wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000;rp=3;as=25;
[n2,wp2]=cheb2ord（wp,ws,rp,as,'s'）;
[B2,A2]=cheby2（n2,as,wp2,'s'）;
k=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk2=freqs（B2,A2,wk）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk2）））;
xlabel（'频率（kHz）','FontSize',16,'FontWeight','bold'）;
ylabel（'幅度（dB）','FontSize',16,'FontWeight','bold'）;
程序结果
n2=
3
wp2=
+004
求得滤波器系数[b,a]向量
B2=
+013*
0
A2=
+013*
画出幅频特性曲线如下：
通过观察我们可以证实，切比雪夫II滤波器在阻带幅度有等波纹波动。
这里设计的滤波器指标比较低，阶数比较低（N=3）随着指标的升高，要设计的滤波器阶数N增大，过度带变窄。
4椭圆滤波器
是在和等波纹的一种，椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。
表示纹波系数
椭圆滤波器的程序如下：
wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000;rp=3;as=25;
[n3,wp3]=ellipord（wp,ws,rp,as,'s'）;
[B3,A3]=ellip（n3,rp,as,wp3,'s'）;
k=0:
511;fk=0:
14000/512:
14000;wk=2*pi*fk;
Hk3=freqs（B3,A3,wk）;
plot（fk/1000,20*log10（abs（Hk3）））;
xlabel（'频率（kHz）','FontSize',16,'FontWeight','bold'）;
ylabel（'幅度（dB）','FontSize',16,'FontWeight','bold'）;
运算结果：
n3=
3
wp3=
+004
求得滤波器系数[b,a]向量
B3=
+013*
0
A3=
+013*
画出幅频特性曲线如下：
5在相同的要求下（wp=2*pi*6000;ws=2*pi*12000;rp=3;as=25;
）对这这种滤波器比较：
1.、巴特沃斯滤波器通频带的频率响应曲线最平滑。
2.、I型切比雪夫滤波器”在上频率响应幅度有等波纹波动。
3、II型切比雪夫滤波器”在上频率响应幅度有等波纹波动。
4、椭圆滤波器是在和等波纹的一种。
5椭圆滤波器相比其他类型的滤波器，在阶数相同的条件下有着最小的通带和阻带波动。
实验结论
1、滤波器的指标要求越高（通带波动越小，阻带衰减越大，过度带越窄）则阶数n增大，实现难度加大。
2、三种滤波器各有优点缺点，要根据实际情况与要求进行适当的选择。
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