简支梁截面抗弯模量计算分析.docx
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简支梁截面抗弯模量计算分析
剪力图与弯矩图
弯矩图：
（1）梁受集中力或集中力偶作用时，弯矩图为直线，并
且在集中力作用处，弯矩发生转折;
a
h
EL
C
在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。
（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开
口方向与均布载荷的方向一致。
（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0;若有
集中力偶作用时，贝y弯矩为集中力偶的大小。
例7-5图示简支梁，受集中力Fp和集中力偶M=R作用，试作
此梁的弯矩图。
1/2
解U）求约束反力
VMM）"-砒十F右心（h轨
£上
丫弓=0,厂Fp=Q*兔=-仟
（2）作弯矩图根据上面总结的作图规律町知,AC
段和fiC段的弯矩图均为斜直线，因为集中力和集中力偶
同时作用在C点，故C处的弯矩既有转折又有究变，所以在C处左右两侧的弯矩值是不同的’』点处的弯矩：
C点左侧处的弯矩:
C点右侧处的弯矩:
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⑴求约東反力
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总结上面例题，可以得到作弯矩图的几点规律:
力作用处，弯矩发生转折；在集中力偶作用处，弯矩发生突变，突变量为集中力偶的大小。
（2）梁受到均布载荷作用时，弯矩图为抛物线，且抛物线的开口
方向与均布载荷的方向一致。
（3）梁的两端点若无集中力偶作用，则端点处的弯矩为0；若有
集中力偶作用时，贝y弯矩为集中力偶的大小。
四梁纯弯曲时的强度条件
1梁纯弯曲的概念
纯弯曲一一梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。
Q=0,M=常数。
M
2.梁纯弯曲时横截面上的正应力
.梁纯弯曲时的变形特点
平面假设:
1）变形前为平面变形后仍为平面
2）始终垂直与轴线
中性层：
既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。
中性轴：
中性层与横截面的交线
怖F汕杯
变形时横截面是绕中性轴旋转的。
.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维
从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。
以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力，使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远
点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。
.梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力
A/v
（T-
式中，M为作用在该截面上的弯矩（Nmm；y为计算点到中性轴
的距离（mm；为横截面对中性轴z的惯性矩（mm。
产生在离中性轴最远的边缘处,
-h'y®__横截面对中性轴z的抗弯截面模量（mm）
计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应力还是
受拉侧的弯
压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。
曲正应力为正，受压侧的为负。
弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h>5,
仍可运用这些
公式计算弯曲正应力。
3.惯性矩和抗弯截面模量
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式
7.0曲（1-/）
式中"=普
抗
ra
模
星
4.梁纯弯曲时的强度条件
A/「
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的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险
梁的弯曲强度条件是：
梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应
力。
运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。
例7-6在例7-3中的简支梁，若选用D=100mmnd=60mr的空心
圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m,a=1mb=2m集中载荷F=25kN
许用正应力[]=200MP。
不计梁的自重，试校核该梁的强度。
W⑴礁定最大穹矩齬例卩-3,架C点匪最大弯矩対
/“尹二晋評皿eg心切次叭“
C2>确定抗董截面模量
五纯弯曲时梁的正应力
在平面弯曲时，工程上近似地认为梁横截面上的弯矩是由截面
上的正应力形成的，而剪力则由截面上的切应力所形成。
本章将在梁弯曲时的内力分析的基础上，导出梁弯曲时的应力与变形的计算，建立梁的强度和刚度条件。
为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等直
梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横线。
在梁的两
端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发生弯曲。
梁任意横截面上的内力只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为纯弯曲，这种梁称为纯弯曲梁。
通常从变形的几何关系、物理关系和静力平衡条件三个方面来
推导出纯弯曲梁横截面上的正应力公式。
1实验观察
梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象:
1横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个角
2、纵向线（包括轴线）都变成了弧线。
3、梁横截面的宽度发生了微小变形,
根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设:
1平面假设：
梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某
轴转过了一个微小的角度。
2单向受力假设：
设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处
于单向受拉或单向受压状态。
可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维受压
缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称为中性层。
中
性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z轴。
梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。
2、变形的几何关系
图中梁的两个横截面之间距离为dx,变形后中性层纤维长度
仍为dx且dx=Pd0。
距中性层为y的某一纵向纤维的线应变£为:
即梁内任一纵向纤维的线应变£与它到中性层的距离y成正
比。
3、变形的物理关系
由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将虎克定律
代入上式，得:
可见矩形截面梁在纯弯曲时的正应力的分布有如下特点:
①中性轴上的线应变为零，所以其正应力亦为零。
②至忡性轴距离相等的各点，其线应变相等。
根据虎克定律，它们的正应力也相等。
3在图示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值，中性轴
F部各点正应力为正值。
4正应力沿y轴线性分布。
最大正应力（绝对值）在离中性轴最
4、梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
5、纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维从
缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。
以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力,
使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。
6、梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力
cr二^
式中，M为作用在该截面上的弯矩（Nmm；y为计算
点到中性轴的距离（mm；I为横截面对中性轴z的惯性矩（mm。
正应力产生在离中性轴最远的边缘处,
-max
横截面对中性轴z的抗弯截面模量
计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应
受拉
力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。
侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对
于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h>5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。
惯性矩和抗弯截面模量
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式
*6+
武吩一
衬0I抒（1一金4）
疋中圧二一ZJ
梁纯弯曲时的强度条件
对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险
梁的弯曲强度条件是：
梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应
力。
运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。
例7-6在例7-3中的简支梁，若选用D=100mjmd=60mr的空心
圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m,a=1mb=2m集中载荷F=25kN
许用正应力［］=200MP。
不计梁的自重，试校核该梁的强度。
昶⑴确定毘大鹭矩捱例『-乳梁二点的最大弯矩为
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nm二&7x10mm
M二砂F二1幻*2：
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六.梁纯弯曲时的强度条件
梁纯弯曲的概念
纯弯曲一一梁的横截面上只有弯矩而没有剪力。
Q=0,M=常数。
M
梁纯弯曲时横截面上的正应力
1梁纯弯曲时的变形特点
a
a
o
o
h
b
M
M
n
平面假设:
1）变形前为平面变形后仍为平面
2）始终垂直与轴线
中性层：
既不缩短也不伸长（不受压不受拉）。
中性层是梁上拉伸区与压缩区的分界面。
中性轴：
中性层与横截面的交线。
变形时横截面是绕中性轴旋转的。
2.梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律
纯弯曲时梁横截面上只有正应力而无切应力。
由于梁横截面保持平面，所以沿横截面高度方向纵向纤维
从缩短到伸长是线性变化的，因此横截面上的正应力沿横截面高度方向也是线性分布的。
以中性轴为界，凹边是压应力，使梁缩短，凸边是拉应力,
使梁伸长，横截面上同一高度各点的正应力相等，距中性轴最远点有最大拉应力和最大压应力，中性轴上各点正应力为零。
3.梁纯弯曲时正应力计算公式
在弹性范围内，经推导可得梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力
式中，M为作用在该截面上的弯矩（Nmm；y为计算点到中性轴
正应力产生在离中性轴最远的边缘处,
横截面对中性轴z的抗弯截面模量
计算时，M和y均以绝对值代入，至于弯曲正应力是拉应
力还是压应力，则由欲求应力的点处于受拉侧还是受压侧来判断。
受拉侧的弯曲正应力为正，受压侧的为负。
弯曲正应力计算式虽然是在纯弯曲的情况下导出的，但对
于剪切弯曲的梁，只要其跨度L与横截面高度h之比L/h>5,仍可运用这些公式计算弯曲正应力。
惯性矩和抗弯截面模量
茫0.05"
式中“==
D
简单截面的惯性矩和抗弯截面模量计算公式
梁纯弯曲时的强度条件
对于等截面梁，弯矩最大的截面就是危险截面，其上、下边缘各点的弯曲正应力即为最大工作应力，具有最大工作应力的点一般称为危险
梁的弯曲强度条件是：
梁内危险点的工作应力不超过材料的许用应
力。
运用梁的弯曲强度条件，可对梁进行强度校核、设计截面和确定许可载荷。
例7-6在例7-3中的简支梁，若选用D=100mmnd=60mr的空心
圆形截面钢制造，已知梁的跨度l=3m,a=1mb=2m集中载荷F=25kN
许用正应力[]=200MP。
不计梁的自重，试校核该梁的强度。
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C2）關定忧巷或直樱3
C3）校核逼度
七提高梁强度的主要措施
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提高梁强度的主要措施是:
1）降低弯矩M的数值2）增大抗弯截面模量W
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