空间向量讲义非常好用.docx
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空间向量讲义非常好用
向量的数量积和坐标运算
a,b是两个非零向量,它们的夹角为,则数|a||b|cos叫做a与b的数量积(或内积),记作ab,即ab|a||b|cos.其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是:
—r—fc-
若a(xi,yi,zj,b(x2.y2.z2),贝U
①ab
x1x2
yy
ziz2;
②|a|
2
yi乙
2
|b|
222X2y2z2;
③ab
X1X2
yiy2
Z1Z2
(C④cos
—r—r
ab
X1X2
y“2Z1Z2
dju
/2
2
2222
Xi
y1
乙iX2yZ2
异面直线m,n所成的角
分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角等于向量a,b所成的角或其补角
异面直线m、n的距离
分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的
向量,分别在m、n上各取一个定点A、B,则异面直线m、n的距离d等于AB在~n上的射影长,即dLABB.
|n|
.直线L与平面所成的角
在L上取定AB,求平面的法向量n(如图2所示),再求cos1ABn|,则—
|AB||n|2
为所求的角.
•二面角
方法一:
构造二面角I的两个半平面、的法向量
厲、门2(都取向上的方向,如图3所示),贝U
1若二面角丨是“钝角型”的如图3甲所示,那么其
大小等于两法向量厲、门2的夹角的补角,即cos“n2(例如2004年高考数
|ni||n2|
学广东卷第18题第
(1)问)
2
若二面角丨是“锐角型”的如图3乙所示,那么其大小等于两法向量口、n2的夹角,即cos"“2.
Ini||n2|
3方法二:
在二面角的棱I上确定两个点A、B,过A、B分别在平面、内求出与I垂直的
向量口、压(如图4所示),则二面角i的大小等于向量
■»nn
n1、n2的夹角,即cos——1——2
Ini||n2|
.平面外一点p到平面的距离
先求出平面的法向量n,在平面内任取一定点A,则点p到平面
的距离d等于AP在n上的射影长,即d卑丄1
|n|
练习
1.在长方体ABCDA1B1C1D1中,B1C和GD与底面所成的角分别为60°和45°,则异面直线BQ和CQ所成角的余弦值为.
2.如图,正四棱柱ABCDAiBiGDi中,AA
所成角的余弦值为()
2AB,则异面直线AiB与ADi
4-5
D
3一5
G
2-5
1一5
3.,在四面体S-ABC中,
E、F、G、H、M、
N分别是棱SABCAB、SCAC、SB的中点,
且EF=GH=MN求证:
SABC,SBAC,SC
AB.
4.如图2,正三棱柱ABCAiBiCi的底面边长为a,侧棱长为2a,求ACi与侧面ABBiAi所成的
角.
国2
5.如图3,直三棱柱ABCABiG中,底面是等腰直角三角形,ACB90°,侧棱AA2,D,E
分别是CCi与AB的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G,求点A到平面AED的距离.
6.已知正方体ABCDABiGDi的棱长为2,P,Q分别是BC,CD上的动点,且|PQ2,确定
P,Q的位置,使QBiPDi.
7.如图4,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC90°,SA面ABCD,
SAABBC1,AD
1,求面SCD与面SBA所成二面角的正切值.
M4
7•如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD丄底面ABCD,E,F分别为AB,SC的中点.
(1)证明EF//平面SAD;
(2)设SD2DC,求二面角AEFD的大小的余弦值.
8(本小题满分14分)
如图,三棱柱AiBiCiABC中,平面AAB平面ABC,平面AAC平面ABC,
BAC90,ABAC2,AAi3.
(I)求证:
AA平面ABC;
(n)求异面直线ABi与BCi所成角的余弦值;
(m)求点R到平面ABCi的距离
为AD中点.
的距离为
10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA=1,AB=2。
E是CC的中点,
(1)求锐二面角D-B1E-B的余弦值
(2)试判断AC与面DBiE的位置关系,并说明理由。
(3)设M是棱AB上一点,若M到面DB1E的距离为,试确定点M的位置。
9、如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD丄底面ABCD侧棱PA=PD=V2,底面ABCD为直
角梯形,其中BC//AD,AB丄AD,AD=2AB=2BC=2,O
(1)求证:
P0丄平面ABCD
(2)
求异面直线PB与CD所成角的余弦值大小;
(3)
线段AD上是否存在点Q,使得它到平面PCD
11如图,已知四棱锥P-ABCD底面ABCD为菱形,PA丄平面ABCDABC60,E,
F分别是BC,PC的中点.
(I)证明:
AE丄PD;
(U)若H为PD上的动点,EH与平面PAD所成最大角正切值为一6,求二面角E—AF—C的余弦值.
2
12.长方体ABCD-ABiCiDi中,AB=2,AD=1,AAi^2,E、F分另U是
AB、CD的中点
⑴求证:
DiE丄平面ABiF;
⑵求直线AB与平面ABiF所成的角
⑶求二面角A-BiF-B的大小。
(I)求证:
AB平面PCB;
(II)求异面直线AP与BC所成角的大小;
(III)求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
课外练习
1.如右下图,在长方体ABCDAiBiCiDi中,已知点,且EB=FB=1.
(1)求二面角C-DE-Ci的正切值;
(2)求直线EG与FDi所成的余弦值.
2已知,如图四棱锥中,底面是平行四边形,平面,垂足为在上,且,是的中点,四面体的体积为
(I)求异面直线与所成角余弦值;
(n)若点是棱上一点,且,求的值.