三角函数倍角公式.docx
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三角函数倍角公式
三角函数倍角公式
复习重点：
二倍角公式
二倍角的正弦公式：
sin2A=2sinAcosA
二倍角的余弦公式：
cos2A=cos2A—sin2A=2cos2A—1=1—2sin2A
二倍角的正切公式：
tan2A=2tanA/（1-tan2A）ctg2A=（ctg2A-1）/2ctga
对公式的再认识：
（1）适用范围：
二倍角的正切公式有限制条件：
心kn^-且AM匕+（k€Z）;
（2）公式特征：
二倍角公式是两角和的正弦、余弦和正切公式之特例;二倍角关系是相对的。
（3）公式的灵活运用：
正用、逆用、变形用。
复习难点:
倍角公式的应用
复习内容：
小结：
倍角公式：
sin2A=2sinAcosA
cos2A=cosFA—sin2A=2cosFA—1=1—2sin2A
化“1”公式（升幕公式）
1+sin2A=（sinA+cosAf,
1—sin2A=（sinA—cosAf
1+cos2A=2cos2A
1—cos2A=2sin2A
sin2A=
1—cos2A
2
降幕公式
2tana
1-tan2ct
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即
2222
sin2a=2sinacosa,cos2k-cosa-sina=2coscs-1=1-2sir*a,tan2a-
由此可继续导出三倍角公式•观察角之间的联系应该是解决三
角变换的一个关键•二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形
式应根据题目具体而定
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.
.2q1-coso2of1+cosa
sm一=cos一=
推导过程中可得到一组降次公式，即，
进一步得到半角公式：
空11—C0SftCL十COSSCLfl—COStZ
sin—=±J’C63—=土」Jan——-+J
2V22Q22Vl+costz
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，降次”可以作为三角变
换中的一个原则•半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而
（X
是正是负取决于二所在的象限•而半角的正切可用a的正弦、余弦表
ut1-cosatsincetan一=——;
示，即卩：
_丄亠
-"1■一.这个公式可由二倍角公式得出，这个
0C
公式不存在符号问题,
因此经常采用•反之用tan］也可表示sinacosa
tana,即:
Stan-
tanQi=—
1-tan2-
2这组公式叫做
2tan-
2
;in«='—
2
CQSQi=-
vce
1亠tan一
2
万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出
例1.推导三倍角的正弦、余弦公式
解:
sin3a=sin（2a+a
=sin亡za+C6SSiESift&=2sinaa+（1-2sina）sina
j^.3..?
-2sinc&（l-sina）+sinas-2sina~3sma.-4sina
cos3o=cos（2a+a
■2.J
=C6£2&亡-filfL2&5in-（2t65。
一1）-25ifi*"£KCi>£
-2cos^-cosc-2（1-co/cz）coscu-4cos^a-3cose
例2.利用三倍角公式推导sin18的值.
解:
vsin36=cos54°「.2sin18Cos18=4co^18-3cos18
tcos18°M0「•2sin18=4co§18°-3
2sin18=4-4sirh8-3
•••4si〃18°+2sin18-1=0
10fl-2+V20厉-1
sin18■
•••.本题还可根据二倍角公式推出
cos36°
^os36°-1-2£m218°・1-買』1二■仝匕
即〜二.
例3.化简求值:
（1）csc10-°°sec10⑵tan20+&ot20-2sec50
解:
（1）csclO-广seclO
1_厲.cxlM-历sin10°.2（妣型g"凹弋*30°命10。
）.2皿出-12）.4
sin10°cos10csin10°coslODsinW°tc>slO°丄血2爪
2
（2）tan20+Cot20-2sec50
sm20°cos20°
一_丰一=
2
=:
2r>fiOi2nnO
sinAU+gos2U
==
2
=':
2
=-
__2“
cos2CI°sin20°
cos50*^
cos20°sin20°
sin4u°
sin40°
例4•求:
sin220°+coS?
50°+sin30sin70
1-CQe40^1GQslOO^1十+—SltL
2
解:
sin^O°+co$50°+sin30sin70
2£2如卅…"圖制®吧+驰7°
=l+l[cos（70°+汕）-cos（70°-30°）]+|sin70°=1+|（-2sin70°sin3O°）+|sm7O0=1
例5.已知:
cos（—一&）cos（—十0）
44
1
z•求:
cog&+sin4B的值.
GO5（—_0）C05（—"*■&）=]解:
T「-，
（cos-cos
4
即1，：
，_?
COE2^=—
即“，二cos4&+sif0
例6.求cos36°os72的值.
解:
cos36°cos72°
2sin36°C6S36°eos72°2m72°eds720sin144°1
2sin36°4sm36°4sin36°4
k23
cos—■cos—?
r■cos—k
例7.求：
「=:
的值.
cos—'COS—兀・COS—TC解：
一？
一
24
=COS—COS—K'C-CQS—=一
7177
jt24
2sin—cos—cos—cos—
7777
—^cos
4
COS—JI
2sin
44
—cos—九
77
sm
3
-JT
8sh-
4siti
上述两题求解方法一致，都是连续应用二倍角的正弦公式•而能
采用这种方法求值的题目要求也是严格的，要满足
（1）余弦相乘，
（2）后一个角是前一个角的两倍，（3）最大角的两倍与最小值的和（或差）是n满足这三个条件即可采用这种方法.
例8.已知：
2cos8=1+sinB,求42.
2（cos
方法一:
t2cos0=1+sin0,二
兀&1
GOt（—-—
4'汗
1十tan-
2
1-tan—
2:
.
叫一”或网右fl.
cos—十sin—=Ucos—=Jsin—或］
方法二:
t2cos8=1+sin0,
2sin（冷_=1-hcosfy_ff）
4stn（—-—）cos（—-—）=2cos（—-—
Q匸:
Sin—=Hl亠SULDC
例9.已知：
二
求:
tana的值.
sin—=J1十since-Ji一sinat2
at.a>a
sin—=sin—十cos—
2122
a
sm—一cos
2
1'
sin
sm
.Of
sm—+
2
a..a:
cos—-sm—一
212
cos
⑴当
则有
r°
。
仔
StQ
-时,
sm
cos
asm—■+cos
tan—=0
2
a
十£in—-
2
a>cos—
2
.QJsin—
2
2sm—
2
2ten-
tan«==Q
l+tena-
2
W.Of—、
x一》sin
O!
〉cos
a
⑵当
42
2
】，则有
Ct
.1
a
Q.0：
a
sin—
=sin-
—十cos
—-sin—
+
cos—
2
2
22
2
Stan—
9
4
-1：
-■-
IkllJ
.2Q
1-tail一
-_
3
2Qsin一斗cos'
注意：
1与Sina在一起时，1往往被看作】二，而1与COSa在一起时，往往应用二倍角余弦公式把1去掉•
例10.已知:
sinQsina,cos0为等差数列；sinQsin®cos0为等比数列.求证:
2cos2a=cos2®
4sin3a二1+2血Bcos0
2sin'Q=2sincos$
「•4sirfa=1+2sirf®/•2-4sin2a=2-1-2sin2®
2cos2沪cos2®
课后练习：
5>={oj|ct!
=l-2pin:
1—=$\/3=2cos3%-1,W2E2V）
1.若：
''
则（）•
2.若A为/ABC的内角,
£m+cosj4=-
3，贝卩cos2A=（）
B、
C、：
l
+2/nD、"-：
l
A、P，QB、PQC、P=QD、PAQ=：
3.若，贝卩sin28=（）.
A、•：
B、1-QC、一7
tan—=<0）
A、
B、
2a
C、-1
2a
D、-1，
4.若二•，则sin8=（）
oct=1-cosa+sinatail—=:
5.若-，贝yi—一■丄…上=（
A、2B、「C、1D、-1
sin&:
sin一=8:
5
6.若2，贝yCOSOF.
a2A09
cosp=-—-/2tan—+cot—
7.若8为第二象限角，且［，贝q1】=.已知
3十为
sinA+cosA=2sinB.求证:
cos2B=coS「
参考答案
7.6
l+tana-
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