任意角和弧度制--课件.ppt

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任意角和弧度制,1、角的概念,初中是如何定义角的？

从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形.这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是0,360），这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.,生活中很多实例会不在该范围。

体操运动员转体720，跳水运动员向内、向外转体1080；经过1小时，时针、分针、秒针各转了多少度？

这些例子不仅不在范围0,360），而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？

关键是用运动的观点来看待角的变化。

2角的概念的推广,“旋转”形成角一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点,“正角”与“负角”、“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角=210，=150，=660，,特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0）角的记法：

角或可以简记成.,角的概念扩展的意义：

用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了,角有正负之分;如：

=210,=150,=660.角可以任意大;实例：

体操动作：

旋转2周（3602=720）3周（3603=1080）还有零角,一条射线，没有旋转.,角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属于习惯，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样,用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋转方向和旋转量）,

（2）旋转方向：

旋转变换的方向分为逆时针和顺时针两种，这是一对意义相反的量，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；,

（1）旋转中心：

作为角的顶点.,（3）旋转量：

当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于360.于是就会出现720，540等角度.,3“象限角”,为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。

角的顶点重合于坐标原点，角的始边重合于x轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）例如：

30、390、330是第象限角，300、60是第象限角，585、1300是第象限角，135、2000是第象限角等,4终边相同的角,观察：

390，330角，它们的终边都与30角的终边相同.,探究：

终边相同的角都可以表示成一个0到360的角与k（kZ）个周角的和：

390=30+360（k=1）,330=30360（k=1）30=30+0360（k=0）,1470=30+4360（k=4）1770=305360（k=5）,结论：

所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：

|=+k360（kZ）即：

任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和,注意以下四点：

kZ；是任意角；k360与之间是“+”号，如k36030,应看成k360+（30）；终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍.,例1.在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.

（1）120；

（2）640；（3）95012.,解：

120=360+240，240的角与120的角终边相同，它是第三象限角640=360+280，280的角与640的角终边相同，它是第四象限角,95012=3360+12948，12948的角与95012的角终边相同，它是第二象限角,例2.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在360720间的角写出来：

（1）60；

（2）21；（3）36314.,解：

（1）S=|=k360+60（kZ）,S中在360720间的角是1360+60=280；0360+60=60；1360+60=420,

（2）S=|=k36021（kZ）S中在360720间的角是036021=21；136021=339；236021=699,（3）|=k360+36314（kZ）S中在360720间的角是2360+36314=35646；1360+36314=314；0360+36314=36314,例3已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？

（1）420，

（2）75，（3）855，（4）510,答：

（1）第一象限角；

（2）第四象限角，（3）第二象限角，（4）第三象限角.,二、弧度制在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角是怎样定义的呢？

周角的为1度的角。

这种用1角作单位来度量角的制度叫做角度制，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度弧度制。

1.圆心角、弧长和半径之间的关系：

角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，不同的点所形成的圆弧的长度是不同的，但都对应同一个圆心角。

=定值，,设=n，弧长为l，半径OA为r，则，可以看出，等式右端不含半径，表示弧长与半径的比值跟半径无关，只与的大小有关。

结论：

可以用圆的半径作单位去度量角。

2.定义：

长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad。

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

注：

今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或rad可以略去不写。

3.弧度制与角度制相比：

（1）弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度1；,

（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而1度是圆周的所对的圆心角的大小；,（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；,（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。

4.公式：

，表示的是在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角是rad。

5.弧度制与角度制的换算,用角度制和弧度制度量角，零角既是0角，又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.,平角、周角的弧度数：

平角=rad、周角=2rad.,正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.,角的弧度数的绝对值:

（l为弧长，r为半径）,360=2rad，180=rad,1=,1rad,6.用弧度制表示弧长及扇形面积公式：

弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.,弧长公式：

由公式：

比公式简单.,证明1：

设扇形所对的圆心角为n（rad），则,又R=l，所以,证明2：

因为圆心角为1rad的扇形面积是,而弧长为l的扇形的圆心角的大小是rad.,所以它的面积是,例4.

（1）把11230化成弧度（精确到0.001）；

（2）把11230化成弧度（用表示）。

解：

（1）11230=112.5，,所以11230112.50.01751.969rad.,

（2）11230=112.5=.,例5.把化成度。

解：

1rad=,例6.填写下表：

0,2,例7.扇形AOB中，所对的圆心角是60，半径是50米，求的长l（精确到0.1米）。

解：

因为60=,所以,l=r=5052.5.,答：

的长约为52.5米.,例8.在半径为R的圆中，240的中心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。

解：

（1）240=，根据l=R，得,

（2）根据S=lR=R2，且S=2R2.,所以=4.,例9.与角1825的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。

解：

1825=536025，,所以与角1825的终边相同，且绝对值最小的角是25.,合,例10.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？

合多少度？

扇形的面积是多少？

解：

周长=2R=2R+l，所以l=2

（1）R.,所以扇形的中心角是2

（1）rad.,合（）,扇形面积是,