高考数学总复习三角函数.docx

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高考数学总复习三角函数

高考数学总复习第七讲：

三角函数

一、三角函数的图象和性质

一、教学目的：

1．使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些

解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，

确定其单调区间及周期的方法。

2．会求函数 y=Asin（ωx+φ）的周期，或者经过简单恒等变形便

可转化为上述函数的三角函数的周期；

3．了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画

法，会用“五点法”画四函数及 y=Asin（ωx+φ）的简图，并能解决

与正弦曲线有关的实际问题。

考试内容：

用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、

余切函数的图象和性质；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象。

二、基本三角函数的图象

y=sinxy=cosx

y=tanx

y=cotx

定义域 R

R

{x | x ≠ kπ +

π

π，

值域[-1，1][-1，1]

R

x∈R}

R

周期性 最小正周期 2π最小正周期 最小正周期π

2π

最小正周

期π

单 调 区 增区间

增区间

增区间

减区间

间

k∈z

π      π

2

2      2                      2      2

减区间

3π  减区间

[2kπ + π 2

]

2  [2k π， 2k π

+π]

（k π， k

π+π）

最值点 最

大

值

点 最大值点

无              无

k∈z

π

（2kπ + ,1）

2

最小值点

（2kπ - π

（2kπ，1）

最小值点

（2kπ+π，

-1）

对 称 中 （kπ，0）

心

（kπ +

π

2 ,0）

（ kπ ,0）

2

k∈z

对称轴

k∈z2

x=kπ      无              无

三、

（一）性质——单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式

及对角的讨论）

例 1．用定义证明：

f（x）=tgx 在 （- π , π ） 递增。

2 2

例 2．比较下列各组三角函数的值的大小

（1）sin194°和 cos160°；

（2） ctg （- 43 π ） 和 ctg （- 74 π ）

1519

（3） sin（sin 3π ） 和 sin（cos 3π ） ；

88

（4）tg1，tg2 和 tg3；

（1）>

（2）<（3）>（4）tg2

化为同名、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函

数值大小。

例 3．求下列各函数的单调区间

（1） y = -2 cos（ x + π ） ；

23

（2） y = 1 - sin 2 x + 3 cos 2 x （减区间）

（3） y = - sin 2 x + sin x ；

（4） y = log cos（ x + π ） （增区间）

1

π

（1 ）4k π-2 π/3≤x ≤4k π+4 π/3 （增）； 4k π+4 π/3 ≤x≤4k π

+10π/3（减），k∈z

（2） [kπ - π ，kπ + 5π ]，k ∈ z

1212

（ 3 ） [2k π - π /2 ， 2k π + π /6] 与 [2k π + π /2 ， 2k π +5 π /6]

（增）；

（4）6kπ-3π/4≤x<6kπ+3π/4

[2kπ-π/6，2kπ+π/2]与[2kπ+5π/6，2kπ+3π/2]（减）； k ∈

z

例 4．有以下三个命题；

（1）因为 sin（0+π）=sinπ=0，sin（π+π）=sinπ=0，

sin（2π+π）=sinπ=0，所以π是 y=sinx 的周期；

（2）因为 sin3x=sin（3x+2π），所以 y=sin3x 的最小正周期是

2π；

（3）设ω≠0，因为 sin ωx = sin（ωx + 2π ） = sin ω （ x + 2π ） ，

ω

所以 y=sinωx 的周期为 2π 。

ω

其中正确的命题的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

例 5 求下列函数最小正周期

（1） y = cos 2 （π x + 2） ；

（1）T=1；

（2） y = tg x - ctg x ；

（2） T = | a | x ；

aa2

（3） y = sin（ x + π ） sin（π - x） ；（3）T=π；

36

（4） y = cos 4 x - sin 4 x ；（4）T=π；

（5） y = cos x ；（5）T=2π；

1 + sin x

（6） y =2tg 2 x ；（6） T = π ；

1 + tg 22 x2

（7）y=|sin2x|；（7） T = π ；

2

例 6 求函数 y = 4sin x（1 - tan 2 x） 的周期。

sec x（1 + tan 2 x）

解：

y=4sinx·cosx·cosx=2sin2x·cos2x=sin4x

注意到函数的定义域为{x|x∈R，且 x ≠ kπ + π ，k∈z}

2

在直角坐标系中，画出其图象

观察图象并根据周期函数的定义，可直所求函数的周期是π。

例 7．已知函数 f （ x） = sin nπ （n ∈ N ） ，

3

求：

f

（1）+f

（2）+f（3）+……+f（100）的值。

解：

由函数 f （n） = sin nπ （n ∈ N ） 的周期为 6

3

可知 f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=0

又 100=6×16+4

∴f

（1）+f

（2）+……+f（100）

=f

（1）+f

（2）+f（3）+f（4）

333

++ 0 -=

2222

例 8．求下列函数的最小正周

（1） y =| sin（2 x - π ） |

3

（1） T = π

2

（2） y =| sin（2 x - π ） + 1 |

32

（2）T=π

求周期的一般思路大致有两种：

一是化目标函数为单函数的形

式，如 y=Asin（ωx+φ）+B；二是可结合图象进行判断。

例 10．试判断下列各函数的奇偶性：

（1）f（x）=|sinx|-xctgx；

（2）f（x）=sinx-cosxtgx；

（3） f （ x） = 1 + sin x - cos x ；非奇非偶函数 既奇又偶函数

1 + sin x + cos x

说明：

定义域在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要

不充分条件，所以在判断函数的奇偶性时，一定首先判断函数的定

义域的对称性；

在等价变换的前提下，一般先化简解析式，再判断奇偶性，如

（2）：

函数图象的初等变换：

平移变换与伸缩变换；对称变换

平移变换与伸缩变换一注意先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移

量不同，即综合多步变换时，要考虑变换顺序。

四、

（二）y=Asin（ωx+φ） ω>0 的图象及变换

相位变换周期变换振幅变换

（1） −−−−−→

（2） −−−−−→（3） −−−−−→

（左、右平移）（左、右伸缩）（上、下伸缩）

周期变换相位变换振幅变换

（1） −−−−−→

（2） −−−−−→（3） −−−−−→

（左、右伸缩）（左、右平移）（上、下伸缩）

三、y=Asin（ωx+φ）的图象与变换

相位变换-φ>0 左移；φ<0 右移；

周期变换 - ω>1，横坐标缩短 1 倍；0< ω<1，横坐标伸长 1

ωω

倍；

振幅变换-A>1，纵坐标伸长 A 倍；0

练习：

已知：

如图是函数 y=2sin（ωx+φ）

（| ϕ |<

π ）

2

的图象，那

么

A． ω = 10 ， ϕ = π ；

116

B． ω = 10 ， ϕ = - π ；

116

C．ω=2， ϕ = π ；

6

D．ω=2， ϕ = - π ；

6

例 1．用五点法作函数 y = 3sin（2 x + π ） 的简图，并说明它是通过

3

y=sinx 的图象作怎样的变换得到的。

2 x + π0

3

π

2

π

3π

2

2π

x

-

π

6

π

12

π

3

7π

12

5π

6

y030-30

先将 y=sinx（向左平移） π 个单位，再把所得的各点（横坐标

3

缩短）到原来的（ 1/2 ），（纵坐标伸长）到原来的（ 3 ）而得到

的。

先将 y=sinx 图象的各点的（横坐标缩短到原来的 1/2）倍，再

把各点向（左）平移（π /6）个单位，然后把所得的各点的（纵坐

标伸长）到原来的（3）而得到的。

例 2．函数 y = sin（2 x + 5π ） 的图像的一条对称轴

2

方程是（）。

 ⇒ y = cos 2 x - x = kπ （k ∈ Z ）

2

A． x = - π

2

B． x = - π

4

C． x = π

8

D． x = 5 π

4

例 3．函数 y = tg （ 1 x - π ） 在一个周期内的图象是（）

23

例 4．如图，已知正弦函数 y=Asin（ωx+φ）（A>0）的一个周期

的图象，试求函数 y 的解析表达式 y = 2sin（ 2 x + 5 π ）

33

例 5．已知函数 y = 1 cos 2 x +3 sin x cos x + 1，x ∈ R ，

22

（1）当 y 取得最大值时，求自变量 x 的集合；

（2）该函数的图象可由 y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移

和伸缩变换得到（2000 年高考，难度 0.70）

（1） ⇒ y = 1 sin（2 x + π ） + 5 ⇒ {x | x = kπ + π ，k ∈ Z}

2646

（2）

纵不变，横缩 倍

π

6

横不变，纵缩 倍

π

6

向上平移 个单位

y =sin（2 x +） −−−−−−−−−→ y =sin（2 x +） +

26264

例 6．求下列各方程在区间[0，2π]内实数解的个数

（1） cos 2 x = log x ；

2

（2）sinx=sin4x；

（1）一个实解

（2）九个实解

例 7 已知函数 y = 2 sin x cos x + 2 3 cos 2 x - 3

（1）作出它的简图：

（2）填空回答问题：

〈1〉振幅 2 ；

〈2〉周期 π ；

〈3〉频率1

；

π

〈4〉相位 2 x + π ；

3

〈5〉初相

π

；

3

〈6〉定义域 R ；

〈7〉值域 [-2，2] ；

〈8〉当 x= kπ + π 时y

12

max = 2 ；

当 x = kπ + 7π （k ∈ Z ） 时， y

12

min = -2 ；

〈9〉单调递增区间[kπ - 5π , kπ + π

12

单调递减区间 [kπ + π , kπ + 7π ] k∈Z。

1212

〈10〉当 x∈ （kπ - π , kπ + π ） k∈Z 时，y>0

63

当 x∈ （kπ + π , kπ + 5π ） k∈Z 时，y<0

36

〈11〉图象的对称轴方程 x = kπ + π

212

k∈Z。

〈12〉图像的对称中心 （ kπ + π ,0） k∈Z。

23

作业：

1．已知函数 f （ x） = sin 6 x + cos 6 x + sin 4 x + cos 4 x

求

（1）f（x）的值域

（2）f（x）的最小正周期

3

4

π

2

（3）f（x）的单调区间

单调递增区间为 [ kπ - π , kπ ] k∈Z。

242

[

   + ]

2  2   4

2．判断下列函数的奇偶性。

（1） f （ x） =1 + sin 2 x + sin x - 1

1 + sin 2 x + sin x + 1

（奇）

（2） f （ x） = tgx + sin x（偶）

ctgx + csc x

（3） f （ x） = sin x + sin 3x + sin 5x（奇）

cos x + cos 3x + cos 5x

（4） f （ x） = 2 cos x（偶）

（5） f （ x） = lg（ sec 2 x + tgx） + lg（ sec 2 x - tgx） （偶）

3．求函数 y = - | sin（ x + π ） | 的单调区间

4

单调增区间为 [kπ + π , kπ + 3π ] k∈Z。

44

单调减区间为 [kπ - π , kπ + 3π ] k∈Z。

44

4．求下列函数的最小正周期

（1） y = sin 2 4 x （ T = π ）

4

（2） y = sin 6 x + cos 6 x（T = π ）

2

（3） y = tg x -1（T=π）

2sin x

（4） y = atg x （a ≠ 0） （T=|a|π）

a

二、三角函数的求值

例 1 求值 sin 20︒ sin 40︒ sin 80︒

利用积化和差 原式= 3

8

例 2求值 sin 2 20︒ + cos 2 50︒ + sin 20︒ cos 50︒ 先用半角公式降次然后

和、差、积互化，原式= 3 ．

4

或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用

α + β ， α - β 出现特殊角．

解 1 原式= 1 （1 - cos 40︒） + 1 （1 + cos100︒） + 1 （sin 70︒ - sin 30︒）

222

111

= 1 -（cos 40︒ + cos80︒） +sin 70︒ -

224

111

= 1 -⋅ 2 cos 60︒ ⋅ cos 20︒ +sin 70︒ -

224

111

= 1 -cos 20︒ +cos 20︒ -

224

=

3

4

解 2 原式 = （sin 20︒ + cos 50︒）2 - sin 20︒ cos 50︒

1

2

11

= （2sin 30︒ cos10︒）2 -（sin 70︒ - ）

22

111

=（1 + cos 20︒） -sin 70︒ +

224

=

3

4

例 3 求值 sin10︒ sin 30︒ sin 50︒ sin 70︒

方法 1 可用积化和差

方法 2 逆用倍角公式

原式 = cos80︒ cos 60︒ cos 40︒ cos 20︒

1

=cos 20︒ cos 40︒ cos80︒

2

=

=

=

=

=

=

=

2sin 20︒ cos 20︒ cos 40︒ cos80︒

4sin 20︒

sin 40︒ cos 40︒ cos80︒

4sin 20︒

2sin 40︒ cos 40︒ cos80︒

8sin 20︒

sin 80︒ cos80︒

8sin 20︒

2sin 80︒ cos80︒

8sin 20︒

sin160︒

8sin 20︒

1

8

例 4 求值 sin 50︒（1 + 3 tg10︒）

原式=1

例 5 求 cos π + cos 3π + cos 5π 的值

777

原式 = 5π ）

2sin

7

=1

2sin π

7

4π    2π     6π     4π

+ sin   - sin   + sin   - sin   ）

7      7      7      7      7

=1

2sin

π

7

（sin

6π

7

）

=

1

2

一般形式 sin α + sin 2α + sin 3α + Λ Λ + sin nα

=

sin

n + 1    n

α cos α

2      2

α

sin

2

cosα + cos 2α + cos3α + Λ Λ + cos nα

=

n + 1    n

cos    α sin α

2     2

sin α

2

例 6 求值 sec 50︒ + tg10︒

解：

原式 =

这是原则）

+

cos 50︒  cos10︒

=

=

=

=

=

=

=

1    cos80︒

+

sin 40︒  sin 80︒

2 cos 40︒ + cos80︒

sin 80︒

cos 40︒ + （cos 40︒ + cos80︒）

sin 80︒

cos 40︒ + 2 cos 60︒ cos 20︒

sin 80︒

cos 40︒ + cos 20︒

sin 80︒

2 cos 30︒ + cos10︒

sin 80︒

3

例 7 求值 sin 40︒（1 - sin10︒）

sin10︒ cos2 20︒

原式 = 2sin 20︒ cos 20︒（1 - sin10︒）

sin10︒ cos2 20︒

=

=

=

=

=

=

=

=

4sin10︒ cos10︒（1 - sin10︒）

sin10︒ cos 20︒

4 cos10︒（1 - sin10︒）

cos 20︒

4 cos10︒ - 2sin 20︒

cos 20︒

4sin 80︒ - 2sin 20︒

cos 20︒

2sin 80︒ + 2（sin 80︒ - sin 20︒）

cos 20︒

2sin 80︒ + 2 cos 50︒

cos 20︒

2（sin 80︒ + sin 40︒）

cos 20︒

2 ⋅ 2sin 60︒ cos 20︒

cos 20︒

= 2 3

例 8 求值 sin 42︒ - cos12︒ + sin 54︒ ．

解：

设法出现特殊角：

原式 = cos 48︒ - cos12︒ + sin 54︒

= （-2） sin 30︒ sin18︒ + sin 54︒

= sin 54︒ - sin18︒

54︒ + 18︒54︒ - 18︒

= 2 cossin

22

= 2 cos 36︒ ⋅ sin18︒

=

=

=

=

=

三、三角函数的求值

2sin18︒ ⋅ cos18︒ ⋅ cos 36︒ （出现倍角关系）

cos18︒

sin 36︒ ⋅ cos 36︒

cos18︒

2sin 36︒ ⋅ cos 36︒

2 cos18︒

sin 72︒

2 cos18︒

1

2

例 1 求值 sin 20︒ sin 40︒ sin 80︒

利用积化和差 原式= 3

8

例 2求值 sin 2 20︒ + cos 2 50︒ + sin 20︒ cos 50︒ 先用半角公式降次然后

和、差、积互化，原式= 3 ．

4

或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用

α + β ， α - β 出现特殊角．

解 1 原式= 1 （1 - cos 40︒） + 1 （1 + cos100︒） + 1 （sin 70︒ - sin 30︒）

222

111

= 1 -（cos 40︒ + cos80︒） +sin 70︒ -

224

111

= 1 -⋅ 2 cos 60︒ ⋅ cos 20︒ +sin 70︒ -

224

111

= 1 -cos 20︒ +cos 20︒ -

224

=

3

4

解 2 原式 = （sin 20︒ + cos 50︒）2 - sin 20︒ cos 50︒

1

2

11

= （2sin 30︒ cos10︒）2 -（sin 70︒ - ）

22

111

=（1 + cos 20︒） -sin 70︒ +

224

=

3

4

例 3 求值 sin10︒ sin 30︒ sin 50︒ sin 70︒

方法 1 可用积化和差

方法 2 逆用倍角公式

原式 = cos80︒ cos 60︒ cos 40︒ cos 20︒

1

=cos 20︒ cos 40︒ cos80︒

2

=

=

=

=

=

=

=

2sin 20︒ cos 20︒ cos 40︒ cos80︒

4sin 20︒

sin 40︒ cos 40︒ cos80︒

4sin 20︒

2sin 40︒ cos 40︒ cos80︒

8sin 20︒

sin 80︒ cos80︒

8sin 20︒

2sin 80︒ cos80︒

8sin 20︒

sin160︒

8sin 20︒

1

8

例 4 求值 sin 50︒（1 + 3 tg10︒）

原式=1

例 5 求 cos π + cos 3π + cos 5π 的值

777

原式 = 5π ）

2sin

7

=1

2sin π

7

4π    2π     6π     4π

+ sin   - sin   + sin   - sin   ）

7      7      7      7      7

=1

2sin

π

7

（sin

6π

7

）