高考数学总复习三角函数.docx

1、高考数学总复习三角函数高考数学总复习第七讲：三角函数一、三角函数的图象和性质一、教学目的：1使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的方法。2会求函数y=Asin(x+)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；3了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin(x+)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、余切函数的图象和性质；函数y=Asin(x+)的图象。二、基本三角函数的图象

2、y=sinx y=cosxy=tanxy=cotx定义域RRx|xk+，值域 -1，1 -1，1RxRR周期性最小正周期2 最小正周期最小正周期2最小正周期单调区增区间增区间增区间减区间间kz22222减区间3减区间2k+222k，2k+（k，k+）最值点最大值点最大值点无无kz(2k+,1)2最小值点(2k-（2k，1）最小值点（2k+，-1）对称中（k，0）心(k+2,0)(k,0)2kz对称轴kz 2x=k无无三、（一）性质单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式及对角的讨论）例1用定义证明：f(x)=tgx在(-,)递增。22例2比较下列各组三角函数的值的大小（1）sin194和cos16

3、0；（2）ctg(-43)和ctg(-74)15 19（3）sin(sin3)和sin(cos3)；8 8（4）tg1，tg2和tg3；（1）（2）（4）tg2tg3tg1化为同名、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函数值大小。例3求下列各函数的单调区间（1）y=-2cos(x+)；2 3（2）y=1-sin2x+3cos2x（减区间）（3）y=-sin2x+sinx；（4）y=logcos(x+)（增区间）1（1）4k-2/3x4k+4/3（增）；4k+4/3x4k+10/3（减），kz（2）k-，k+5，kz12 12（3）2k-/2，2k+/6与2k+/2，2k+5/6（增）；

4、（4）6k-3/4x0的图象及变换相位变换 周期变换 振幅变换(1)(2)(3)(左、右平移) (左、右伸缩) (上、下伸缩)周期变换 相位变换 振幅变换(1)(2)(3)(左、右伸缩) (左、右平移) (上、下伸缩)三、y=Asin(x+)的图象与变换相位变换-0左移；1，横坐标缩短1倍；01，纵坐标伸长A倍；0A1，纵坐标缩短A倍练习：已知：如图是函数y=2sin(x+)(|0）的一个周期的图象，试求函数y的解析表达式y=2sin(2x+5)3 3例5已知函数y=1cos2x+ 3sinxcosx+1，xR，2 2（1）当y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx

5、（xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到（2000年高考，难度0.70）（1）y=1sin(2x+)+5x|x=k+，kZ2 6 4 6（2）纵不变，横缩倍6横不变，纵缩倍6向上平移个单位y= sin(2x+ )y= sin(2x+ )+2 6 2 6 4例6求下列各方程在区间0，2内实数解的个数（1）cos2x=logx；2（2）sinx=sin4x；（1）一个实解（2）九个实解例7已知函数y=2sinxcosx+23cos2x-3（1）作出它的简图：（2）填空回答问题：1振幅2；2周期；3频率 1；4相位2x+；35初相；36定义域R；7值域-2，2；8当x=k+时 y12max=2；当

6、x=k+7(kZ)时，y12min=-2；9单调递增区间k-5,k+12单调递减区间k+,k+7kZ。12 1210当x(k-,k+)kZ时，y06 3当x(k+,k+5)kZ时，y03 611图象的对称轴方程x=k+2 12kZ。12图像的对称中心(k+,0)kZ。2 3作业：1已知函数f(x)=sin6x+cos6x+sin4x+cos4x求（1）f（x）的值域（2）f（x）的最小正周期342（3）f（x）的单调区间单调递增区间为k-,kkZ。2 4 2,+2242判断下列函数的奇偶性。（1）f(x)= 1+sin2x+sinx-11+sin2x+sinx+1（奇）（2）f(x)=tgx+

7、sinx （偶）ctgx+cscx（3）f(x)=sinx+sin3x+sin5x （奇）cosx+cos3x+cos5x（4）f(x)=2cosx （偶）（5）f(x)=lg(sec2x+tgx)+lg(sec2x-tgx)（偶）3求函数y=-|sin(x+)|的单调区间4单调增区间为k+,k+3kZ。4 4单调减区间为k-,k+3kZ。4 44求下列函数的最小正周期（1）y=sin24x（T=）4（2）y=sin6x+cos6x (T=)2（3）y=tgx- 1 （T=）2 sinx（4）y=atgx(a0)（T=|a|）a二、三角函数的求值例1求值sin20sin40sin80利用积化和

8、差原式=38例2 求值sin220+cos250+sin20cos50先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式=34或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用+，-出现特殊角解1原式=1(1-cos40)+1(1+cos100)+1(sin70-sin30)2 2 21 1 1=1- (cos40+cos80)+ sin70-2 2 41 1 1=1- 2cos60cos20+ sin70-2 2 41 1 1=1- cos20+ cos20-2 2 4=34解2原式=(sin20+cos50)2-sin20cos50121 1=(2sin30cos10)2- (sin70-)2

9、21 1 1= (1+cos20)- sin70+2 2 4=34例3求值sin10sin30sin50sin70方法1可用积化和差方法2逆用倍角公式原式=cos80cos60cos40cos201= cos20cos40cos802=2sin20cos20cos40cos804sin20sin40cos40cos804sin202sin40cos40cos808sin20sin80cos808sin202sin80cos808sin20sin1608sin2018例4求值sin50(1+3tg10)原式=1例5求cos+cos3+cos5的值7 7 7原式= 5)2sin7= 12sin74

10、264+sin-sin+sin-sin)77777= 12sin7(sin67)=12一般形式sin+sin2+sin3+sinn=sinn+1ncos22sin2cos+cos2+cos3+cosn=n+1ncossin22sin2例6求值sec50+tg10解：原式=这是原则）+cos50cos10=1cos80+sin40sin802cos40+cos80sin80cos40+(cos40+cos80)sin80cos40+2cos60cos20sin80cos40+cos20sin802cos30+cos10sin803例7求值sin40(1-sin10)sin10cos220原式=2

11、sin20cos20(1-sin10)sin10cos220=4sin10cos10(1-sin10)sin10cos204cos10(1-sin10)cos204cos10-2sin20cos204sin80-2sin20cos202sin80+2(sin80-sin20)cos202sin80+2cos50cos202(sin80+sin40)cos2022sin60cos20cos20=23例8求值sin42-cos12+sin54解：设法出现特殊角：原式=cos48-cos12+sin54=(-2)sin30sin18+sin54=sin54-sin1854+18 54-18=2cos

12、 sin2 2=2cos36sin18=三、三角函数的求值2sin18cos18cos36（出现倍角关系）cos18sin36cos36cos182sin36cos362cos18sin722cos1812例1求值sin20sin40sin80利用积化和差原式=38例2 求值sin220+cos250+sin20cos50先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式=34或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用+，-出现特殊角解1原式=1(1-cos40)+1(1+cos100)+1(sin70-sin30)2 2 21 1 1=1- (cos40+cos80)+ sin70-2 2

13、 41 1 1=1- 2cos60cos20+ sin70-2 2 41 1 1=1- cos20+ cos20-2 2 4=34解2原式=(sin20+cos50)2-sin20cos50121 1=(2sin30cos10)2- (sin70-)2 21 1 1= (1+cos20)- sin70+2 2 4=34例3求值sin10sin30sin50sin70方法1可用积化和差方法2逆用倍角公式原式=cos80cos60cos40cos201= cos20cos40cos802=2sin20cos20cos40cos804sin20sin40cos40cos804sin202sin40cos40cos808sin20sin80cos808sin202sin80cos808sin20sin1608sin2018例4求值sin50(1+3tg10)原式=1例5求cos+cos3+cos5的值7 7 7原式= 5)2sin7= 12sin74264+sin-sin+sin-sin)77777= 12sin7(sin67)