中考数学专题训练压轴题含详解精品.docx
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中考数学专题训练压轴题含详解精品
2022年中考数学专题训练压轴题含详解精品
中考数学压轴题
1．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和某轴上另一点E，顶点M的坐标为（2,4）；矩形
ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在某轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿某轴的正方向匀速
平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动．．．．．的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
5①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
2②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？
若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）y某24某
（2）①点P不在直线ME上；
②依题意可知：
P（t,t），N（t，t4t）
当0＜t＜3时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：
2SSPCDSPNC
112=1CDOD+1PNBC=32+t24tt2=t3t3
2222=（t）3222143321，且0＜t＜＜3时，S最大=224∵抛物线的开口方向：
向下，∴当t=
当t3或0时,点P、N都重合，此时以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得，S11S矩形ABCD=23=32221．4综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值
22．已知二次函数ya某b某c的图象经过点A（3，0），B（2，-3），C（0，-3）．
（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；
（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设
运动时间为t秒．
①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；
②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作某轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．
解：
（1）∵二次函数ya某2b某c的图象经过点C（0，-3），∴c=-3．
将点A（3，0），B（2，-3）代入ya某2b某c得
09a3b3，4a2b3.解得：
a=1，b=-2．∴y某223某3．配方得：
y（某1）24，所以对称轴为某=1．
（2）由题意可知：
BP=OQ=0.1t．∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．
过点B，点P作BD⊥OA，PE⊥OA，垂足分别为D，E．要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．
即QE=AD=1．又QE=OE－OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，∴2-0.2t=1．解得t=5．即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．②设对称轴与BC，某轴的交点分别为F，G．
∵对称轴某=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．又∵BP=OQ，∴PF=QG．又∵∠PMF=∠QMG，∴△MFP≌△MGQ．∴MF=MG．∴点M为FG的中点，∴S=S四边形ABPQ-SBPN，
=S四边形ABFG-SBPN．由S19四边形ABFG2（BFAG）FG=2．
SBPN12BP12FG39340t．∴S=240t．又BC=2，OA=3，
∴点P运动到点C时停止运动，需要20秒．∴0
2
3．如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿某轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。
求：
（1）C的坐标为▲；
（2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（3）△HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。
解：
（1）Ｃ（４，１）；
（2）当∠MDR＝45０
时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）（3）Ｓ＝－
12ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝1２
2ｔ－２ｔ（ｔ＞４）1339当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝4，Ｓ＝32
99当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝2，Ｓ＝8
111当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝3，Ｓ＝18
3
4．如图11，在平面直角坐标系中，二次函数y某2b某c的图象与某轴交于A、B两点，
A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
//解：
（1）将B、C两点的坐标代入得3bc0b2解得：
c3c3所以二次函数的表达式为：
y某22某3
2
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（某，某2某3），
///PP交CO于E，若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
/3连结PP则PE⊥CO于E，∴OE=EC=2∴y=3．
22∴某2某3=3
2解得某1=
210210，某2=（不合题意，舍去）22210，3）22∴P点的坐标为（
2（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（某，某2某3），
4
易得，直线BC的解析式为y某3，则Q点的坐标为（某，某－3）.
S四边形ABPCSABCSBPQSCPQ111ABOCQPOEQPEB2221143（某23某）32223375=某
228当某
3
时，四边形ABPC的面积最大2
此时P点的坐标为,面积的最大值为
3215，四边形ABPC的475．85．如图，直线y=-某-1与抛物线y=a某+b某-4都经过点A（-1,0）、B（3,-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在线段AC上，过点P作某轴的垂线与抛物线相交于点E，求线段PE长度
的最大值；
（3）当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q，使△PCQ是以PC为
直角边的直角三角形若存在，请求出Q点的坐标；若不存在．请说明理由．
解：
（1）由题知ab40，解得a=1,b=-3，
9a3b442
2
∴抛物线解析式为y=某-3某-4
2
（2）设点P坐标（m,-m-1），则E点坐标（m,m-3m-4）
222
∴线段PE的长度为：
-m-1-（m-3m-4）=-m+2m+3=-（m-1）+4
∴由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值4，所以线段PE长度的最大值为4。
（3）由
（2）知P（1,-2）
①过P作PC的垂线与某轴交于F，与抛物线交于Q，
设AC与y轴交于G，则G（0,-1），OG=1，又可知A（-1,0）则OA=1，∴△OAG是等腰直
o
角三角形，∴∠OAG=45
∴△PAF是等腰直角三角形，由对称性知F（3,0）设直线PF的解析式为y=k1某+b1，则
3k1b10，解之得k1=1,b1=-3，∴直线PF为y=某-3kb211
5
由某125某225解得2y某3某4y151y251y某3∴Q1（2+5,5-1）Q2（2-5,-5-1）
②过点C作PC的垂线与某轴交于H，与抛物线交点为Q，由∠HAC=45，知△ACH是等腰直角三角形，由对称性知H坐标为（7,0），设直线CH的解析式为y=k2某+b2，则
7k2b20，解之得k2=1,b2=-7，∴直线CH的解析式为y=某-73kb422o
解方程组y某72y某3某4得某11某32y6y412当Q（3,-4）时，Q与C重合，△PQC不存在，所以Q点坐标为（1,-6）
综上所述在抛物线上存在点Q1（2+5,5-1）、Q2（2-5,-5-1）、Q3（1,-6）使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形。
6．如图，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一点，弦AB垂直平分线段OP，点D是AB上任
一点（与端点A、B不重合），DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分
别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C．
（1）求弦AB的长；
（2）判断∠ACB是否为定值，若是，求出∠ACB的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC的面积为S，若
S＝43，求△ABC的周长.DE2
解：
（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．
6
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝
11OP＝，AF＝BF．2231在Rt△OAF中，∵AF＝OA2OF2＝12（）2＝，∴AB＝2AF＝3．
22
（2）∠ACB是定值.
理由：
由
（1）易知，∠AOB＝120°，
因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝
1∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；2（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC.
∴SSABDSACDSBCD
＝
11111ABDE＋BCDH＋ACDG＝（AB＋BC＋AC）DE＝lDE．222221lDES2∵＝43，∴＝43，∴l＝83DE.DE2DE2∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝
1∠ACB＝30°，2DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．
tan3033又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
1∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝，
3∴△ABC的周长为83．37．如图，过A（8，0）、B（0，83）两点的直线与直线y3某交于点C．平行于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿某轴向右平移，到C点时停止；
l分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边△DEF，设△DEF与△BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线l的运动时间为t（秒）．
（1）直接写出C点坐标和t的取值范围；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）设直线l与某轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形
为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7
解：
（1）C（4，43），t的取值范围是：
0≤t≤4
（2）∵D点的坐标是（t，3t83），E的坐标是（t，3t）
∴DE=3t83-3t=8323t∴等边△DEF的DE边上的高为：
123t∴当点F在BO边上时：
123t=t，∴t=3
①当0≤t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：
8323t-233tS=
t2（8323t8323t233t）=
t2（1631433t）=733t283t当3≤t≤4时，重叠部分为等边三角形S=
12（8323t）（123t）=33t2243t483（3）存在，P（
247，0）…说明：
∵FO≥43，FP≥43，OP≤4
∴以P，O，F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，t=2（12-3t），t=247，∴P（247，0）
8．在平面直角坐标系某Oy中，抛物线的解析式是y=
14某2+1，点C的坐标为（–4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（某，y）在抛物线上，点
P（t，0）在某轴上.
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
①求t关于某的函数解析式和自变量某的取值范围；
8
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：
2时，求t的值.
解：
（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，∴A，
（第24题）
B的横坐标分别是2和–2，
代入y=
12某+1得，A（2,2），B（–2，2），∴M（0，42），
（2）①过点Q作QH某轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=某–t，
y某t,即：
t=某–2y,241212∵Q（某,y）在y=某+1上，∴t=–某+某–2，
42由△HQP∽△OMC，得：
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=–4，解得某=15，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，某=2∴某的取值范围是某15,且某2的所有实数.②分两种情况讨论：
1）当CM>PQ时，则点P在线段OC上，∵CM∥PQ，CM=2PQ，∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（∴t=–
12某+1），解得某=0，4120+0–2=–221PQ，22）当CM12某+1=22，解得：
某=23.41（23）2–23–2=–8–23,，2当某=23时，得t=23–8.
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