平面向量在解析几何中的应用.docx

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平面向量在解析几何中的应用

平面向量在解析几何中的应用

利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面:

（1）用向量的数量积解决有关角的问题；

（2）用向量的坐标表示解决共线问题.

22

xy

［典例］椭圆3C2+討1的两个焦点分别为Fl（-c,0）和F2（c,0），过点E（3c,0）的直线与

椭圆交于A,B两点，且FiA//F2B,|FiA|=2|F2B|,求直线AB的斜率.

［方法演示］

解：

法一：

如图所示，设A（Xi,yi）,B（x2,

>>

|FiA|=2|F2B|，所以FiA=2F2B,

即宀C=2X2—C，

yi=2y2,

y2=2c2—3x2

又由3

y2=2c2—3xf

[xi+c=2X2-c,

2c2-3x2=

-|x2,

xi=0,

c.

解得3从而得到A（0,士2c），因此kAB=

X2=2

故直线ab的斜率是±32.

设Iac：

x=ty—c,A（xi,yi）,C（X2,y2）,

x=ty—c,联立F222

2x2+3y2=6c2,

整理得（3+2t2）y2—4tcy—4c2=0,

24tc—4c

则yi+y2=3?

P,yy2=3T2?

.

因为FiA/F2B,|FiA|=2|F2B|,

—>—>—>—>

所以FiA=2F2B，即FiA=2CFi,

故yi+y2=—:

Iyiy2=—2y2,

若t=¥，联立后的方程为2y2—.2cy—2c2=0,

得A（0,2c）,故kAB=—舟;

若t=—為1同理可得A（0,—2c）,此时kAB=~32,

23

故直线AB的斜率是±32.

［解题师说］

（1）用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：

先写出向量坐标式a=（xi,yi）,b

X1X2+yiV2

=（X2,y2）,再用向量数量积的坐标公式cosB=f2Nf22求角・

（2）当a,b不共线时，有〈a,b〉为：

直角？

ab=0;钝角？

ab<0（且a,b不反向）;锐角？

ab>0（且a,b不同向）.

⑶解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键.

［应用体验］

1.如图所示，已知A,B是椭圆令+右=1（a>b>0）的左、右顶点，P,Q是该椭圆上不同

ab

于顶点的两点，且直线AP与QB,PB与AQ分别交于点M,N.

a+3

aco~

Xm=-；（因P,Q不同于顶点）.

a—3

cos-2-

a+3

fi

由P,F2,Q三点共线?

F2P与-Q共线

sin3（acosa—c）=sin%（acos3—c）

asin（a—3=c（sina—sin3）

a—3a+3

acop=ccop

a+3

acos2

XM=Xn=

a—3

cos_2_

2

所以直线MN的方程为x=a.

c

l:

~bi

与平面向量有关的综合

问题

22

［典例］已知椭圆C:

字+吉=1（a>b>0）的右焦点为F（1,0）,如图所示，设左顶点为

上顶点为B,且OF・FB=ABBF.

（1）求椭圆C的方程；

⑵若过F的直线I交椭圆于M,N两点，试确定fMT&的取值范围.

［思路演示］

解：

⑴由已知，A（—a,0）,B（0,b）,F（1,0）,

则由6F—=1Ab—，得b—a—1=0.

Tb2=a2—1，—a2—a—2=0，解得a=2.

22

•••a2=4,b2=3,「.椭圆C的方程为X4+y=1.

（2）①若直线l斜率不存在，则I:

x=1,

此时M1,3,N1,—2,FM―FlN=—4.

y=kx—1卜

②若直线I斜率存在，设I:

y=k（x—1）,M（x1,y1）,N（X2,y2）,则由x2y2

+丄=1

43

消去y,

得（4k2+3）x2—8k2x+4k2—12=0,

8k24k2—12

•-x1+x2=47^3，x1x2=.

=（1+k2）[x1X2—（X1+X2）+1]=

1

1+k2

—>—>9

•-—3WFM・FNV一

4

综上所述，FM-FN的取值范围为—3,—9.

［解题师说］

当题目条件中含有向量关系式或所求的结论中含有向量代数式时，常将此向量关系式

或代数式利用坐标表示，然后利用函数方程思想求解.

［应用体验］

x2y21

2.（2018张掖一诊）已知椭圆C:

孑+J=1（a>b>0）的离心率为？

，右焦点为F，右顶点为E,P为直线x=5a上的任意一点，且fPF^十-E）-^=2.

-Al

1

P

5/

椭圆C交于M,N两点，且M,N位于直线AB的两侧，若始终保持/MAB=ZNAB，求证：

直线MN的斜率为定值.

解：

⑴设P4a,m,F（c,O）,E（a,O）,

则BI?

=c-*a,—m,"peE=-中，一m,

>

EF=（c-a,0）,

所以（2c-3a）（c-a）=4.

所以a=2,c=1,b=3,

22

从而椭圆C的方程为x+y=1.

43

（2）证明：

由⑴知A1,2，设Mgyi）,N（X2,『2）,

设MN的方程为y=kx+m,

22

代入椭圆方程X+y=1,

43

得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0,

A>0,

8km

X1+X2=-,

则4k+3

2

4m—12

X1X2=4k2+3.

又M,N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持/MAB=/NAB,

则kAM+kAN=°,

33

y—2y2-2

即一1+―2=°,

X1—1X2—1

kX1+m-3（X2-+kX2+m-3（X1-1）=°,

即（2k-1）（2m+2k-3）=°,得k=土

故直线MN的斜率为定值

［升级增分训练］

（1）求曲线E的方程；

⑵设直线y=kx+2（0

>>

R在点P和点Q之间），且PQ=入PR，求实数入的取值范围.解：

⑴设C（x,y）.

由题意，可得一J•^;=-2（x^±）,

x—1x+1

2

•••曲线e的方程为x2+y=i（xm±i）.

2

⑵设R（xi,yi）,Q（X2,y2）.

y=kx+2,

联立q2y2消去y,得（2+k2）x2+4kx+2=0,

x+±=1、2

•••△=8k2—16>0,「.k2>2.

又0

4k-

则x1+X2=—2^p，①

2-

x1x尸和.②

•4<呼<喙

解得1<<3,

4'

（1）求椭圆C的方程;

⑵设O为坐标原点，过点M（0,2）的动直线与椭圆C交于P,Q两点，求OP-OQ+

RR

MPMQ的取值范围.

解：

⑴设T（x,y）,由题意知A（-4,0）,B（4,0）,

设直线TA的斜率为ki,直线TB的斜率为k2,

⑵当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y=kx+2,点P,Q的坐标分别为（xi,

-22整+y=i

yi）,（X2,y2）,联立i6i2'消去y,得（4k2+3）x2+i6kx—32=0.

、y=kx+2

从而OP・OQ+MPMQ=Xix2+yiy2+[xix2+（yi—2）（y2—2）]=2（i+k2）xix2+2k（xi+—80k2—528

x2）+4=4k2+3=—2°+4?

T3.

因为k2>0，所以0<匕w8,

4k十33

?

?

?

?

当直线PQ的斜率不存在时，OPOQ+MPMQ的值为一20.

52

3'

?

?

?

?

综上，OP-OQ+MPMQ的取值范围为一20,

22

C：

字+*=i（a>b>0）的右焦点为

坐标原点.

（i）求椭圆C的标准方程；

⑵设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B，且/AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围.

解：

（i）由题意得c=i,所以a2=b2+i，①

又点Pi,2在椭圆C上，所以A+4器=i,②

由①②可解得a2=4,b2=3,

22

所以椭圆C的标准方程为x+y=i.

43

⑵设直线I的方程为y=kx+2,A（xi,yi）,B（X2,y2）,

y=kx+2,

由x2y2得（4k2+3）x2+16kx+4=0,

—+匚=1

4十3，

因为△=16（12k2—3）>0,

所以k2J,

4

因为/AOB为锐角,

所以OAOB>0,即卩X1X2+y1y2>0,

所以x1x2+（kx1+2）（kx2+2）>0,

所以（1十k2）x1X2+2k（X1+X2）十4>0,

解得k2<4.

3

又k2J,所以1

443

解得一^vkv—2或2

所以直线I的斜率k的取值范围为一■—1U1,⑺.

V.32）Q3丿

22

4.（2018广东五校协作体一诊）已知椭圆C:

字十器=1（a>b>0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1=0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切.

（1）求椭圆C的方程；

>

⑵过点M（2,0）的直线I与椭圆C相交于不同的两点S和T,若椭圆C上存在点P满足OS十-?

=—（其中O为坐标原点），求实数t的取值范围.

解：

（1）由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为（x

—c）2+y2=a2,

c十1

•••圆心到直线x+y+1=0的距离d=十=a.（*）

•••椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形,

•b=c,a=2c,代入（*）式得b=c=1,「.a=2b=2,

2

故所求椭圆方程为2+yz=1.

（2）由题意知，直线I的斜率存在，

设直线I的方程为y=k（x—2）,设P（x0,y0）,

将直线I的方程代入椭圆方程得

2222

（1+2k）x—8kx+8k—2=0,

•••△=64k4—4（1+2k2）（8k2—2）>0,

1

解得k2<1.

设S（x1,y1）,T（x2,y2）,

由OS+OT=tOP，得tx0=x1+x2,tyo=y1+y2,

当t=0时，直线i为x轴，则椭圆上任意一点p满足"OS+"Ot=tOiP，符合题意;

当0时,

tX0=

—4k

1+2k2,

2

8k

2

1+2k'

由k・知，0

综上可得，实数t的取值范围是（一2,2）.