平面向量在解析几何中的应用.docx

1、平面向量在解析几何中的应用平面向量在解析几何中的应用利用平面向量解决解析几何问题主要体现在以下两个方面:(1) 用向量的数量积解决有关角的问题；(2) 用向量的坐标表示解决共线问题.2 2x y典例椭圆3C2+ 討 1的两个焦点分别为 Fl(-c,0)和F2(c,0)，过点E(3c,0)的直线与椭圆交于A, B两点，且FiA/ F2B, |FiA|= 2|F2B|,求直线AB的斜率.方法演示解：法一：如图所示，设A(Xi, yi), B(x2, |FiA| = 2|F2B|，所以 FiA = 2F2B,即宀 C= 2X2 C，yi = 2y2,y2= 2c2 3x2又由 3y2= 2c2 3x

2、fxi + c= 2 X2- c ,2c2- 3x2 =- |x2 ,xi = 0,c.解得 3 从而得到A(0, 士 2c)，因此kAB =X2 = 2故直线ab的斜率是32.设 Iac： x= ty c, A(xi, yi), C(X2, y2),x= ty c, 联立F 2 2 22x2 + 3y2= 6c2,整理得(3 + 2t2)y2 4tcy 4c2= 0,2 4tc 4c则 yi+y2= 3?P, yy2= 3T2?.因为 FiA/ F2B, |FiA|= 2|F2B|, 所以 FiA = 2F2B，即 FiA = 2CFi,故 yi + y2=:Iyiy2= 2y2,若t= ，

3、联立后的方程为 2y2 . 2cy 2c2= 0,得 A(0, 2c),故 kAB=舟;若t=為1 同理可得 A(0, 2c),此时kAB= 32,2 3故直线AB的斜率是32.解题师说(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式 a= (xi, yi), bX1X2 + yiV2=(X2, y2),再用向量数量积的坐标公式 cos B= f 2 N f 2 2求角(2)当a, b不共线时，有a, b为：直角？ a b= 0;钝角？ a b0(且a, b不同向).解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键.应用体验1.如图所示，已知 A, B是椭圆令+右=1(ab0)的左、

4、右顶点，P, Q是该椭圆上不同a b于顶点的两点，且直线 AP与QB , PB与AQ分别交于点 M , N.a+ 3aco Xm = -；(因P, Q不同于顶点).a 3cos-2-a+ 3fi由P , F2, Q三点共线? F2P与-Q共线sin 3(acos a c)= sin %(acos 3 c)asin(a 3 = c(sin a sin 3)a 3 a+ 3acop=ccopa+ 3acos 2XM = Xn =a 3cos_2_2所以直线MN的方程为x= a.cl: bi与平面向量有关的综合问题2 2典例已知椭圆C:字+吉=1(ab0)的右焦点为F(1,0),如图所示，设左顶点为

5、上顶点为 B,且OFFB = AB BF .(1)求椭圆C的方程；若过F的直线I交椭圆于 M , N两点，试确定fMT & 的取值范围.思路演示解：由已知，A( a,0), B(0, b), F(1,0),则由 6F =1Ab ，得 b a 1 = 0.T b2= a2 1， a2 a 2= 0，解得 a= 2.2 2 a2= 4, b2= 3,.椭圆 C 的方程为 X4 + y = 1.(2)若直线l斜率不存在，则I: x = 1,此时 M 1, 3 , N 1, 2 , FM FlN = 4.y= kx 1 卜若直线 I 斜率存在，设 I: y= k(x 1), M(x1, y1), N(

6、X2, y2),则由 x2 y2+丄=14 3消去y,得(4 k2 + 3)x2 8k2x + 4k2 12= 0,8k2 4k212-x1 + x2=473，x1x2= .=(1 + k2)x1X2 (X1+ X2)+ 1=11 + k2 9- 3W FM FN V 一4综上所述，FM -FN的取值范围为 3, 9 .解题师说当题目条件中含有向量关系式或所求的结论中含有向量代数式时，常将此向量关系式或代数式利用坐标表示，然后利用函数方程思想求解.应用体验x2 y2 12. (2018张掖一诊)已知椭圆C:孑+ J= 1(ab0)的离心率为？，右焦点为F，右顶点 为E , P为直线x = 5a

7、上的任意一点，且 fPF十-E)- = 2.-Al1P5/椭圆C交于M , N两点，且 M , N位于直线 AB的两侧，若始终保持/ MAB =Z NAB，求 证：直线MN的斜率为定值.解：设 P 4a, m , F(c,O), E(a,O),则 BI? = c-*a, m , peE =-中，一m , EF = (c-a,0),所以(2c- 3a)(c- a)= 4.所以 a = 2, c= 1, b= 3,2 2从而椭圆C的方程为x + y = 1.4 3(2)证明：由知 A 1, 2，设 Mg yi), N(X2,2),设MN的方程为y= kx+ m,2 2代入椭圆方程X + y = 1

8、 ,4 3得(4 k2 + 3)x2 + 8kmx+ 4m2- 12= 0,A0,8 kmX1+ X2=- ,则 4k + 324m 12X1X2= 4k2+ 3 .又M , N是椭圆上位于直线 AB两侧的动点，若始终保持/ MAB = / NAB ,则 kAM + kAN= ,3 3y 2 y2- 2即一1 + 2 = ,X1 1 X2 1kX1 + m-3 (X2- + kX2+ m- 3(X1 - 1) = ,即(2k- 1)(2m+ 2k-3) = ,得 k = 土故直线MN的斜率为定值升级增分训练(1)求曲线E的方程；设直线y= kx + 2(0 R在点P和点Q之间)，且PQ =入P

9、R，求实数 入的取值范围. 解：设C(x, y).由题意，可得 一J ; =- 2(x),x 1 x + 12曲线e的方程为x2+y = i(xm i).2设 R(xi, yi), Q(X2, y2).y= kx+ 2,联立 q 2 y2 消去 y,得(2 + k2)x2 + 4kx+ 2 = 0,x += 1 、 2 = 8k2 16 0,. k2 2.又 0 k 2,. 2 k 2.4k -则 x1+ X2= 2p，2 -x1x尸和. 4呼 喙解得1 0，所以0b0)的右焦点为坐标原点.(i)求椭圆C的标准方程；设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点 A, B，且/ AOB为锐

10、角，求直线 l的斜率k的取值范围.解：(i)由题意得c= i,所以a2= b2+ i，又点P i, 2在椭圆C上，所以A + 4器=i,由可解得a2= 4, b2= 3,2 2所以椭圆C的标准方程为x + y = i.4 3设直线 I 的方程为 y= kx+ 2, A(xi, yi), B(X2, y2),y= kx+ 2,由 x2 y2 得(4k2 + 3)x2+ 16kx+ 4 = 0,+ 匚=14十3 ，因为 = 16(12k2 3)0 ,所以k2J,4因为/ AOB为锐角,所以 OA OB 0 ,即卩 X1X2+ y1y20,所以 x1x2+ (kx1+ 2)(kx2+ 2)0 ,所以

11、(1 十 k2)x1X2+ 2k(X1+ X2)十 40,解得k24.3又 k2J,所以 1k24，4 4 3解得一vkv 2或 2 kb0)的两焦点与短轴的一个端 点的连线构成等腰直角三角形，直线 x+ y+ 1 = 0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长 半轴长为半径的圆相切.(1)求椭圆C的方程； 过点M(2,0)的直线I与椭圆C相交于不同的两点 S和T,若椭圆C上存在点P满足OS 十-?=(其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围.解：(1)由题意，以椭圆 C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为 (xc)2+ y2= a2,c十1圆心到直线 x+ y+ 1 = 0的距离d=

12、 十=a.(*)椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, b= c, a= 2c,代入(*)式得 b= c= 1,. a = 2b= 2,2故所求椭圆方程为2+yz= 1.(2)由题意知，直线I的斜率存在，设直线I的方程为y= k(x 2),设P(x0, y0),将直线I的方程代入椭圆方程得2 2 2 2(1 + 2k )x 8k x+ 8k 2= 0, = 64k4 4(1+ 2k2)(8k2 2)0,1解得k21.设 S(x1, y1), T(x2, y2),由 OS + OT = tOP，得 tx0= x1+ x2, tyo= y1 + y2,当t= 0时，直线i为x轴，则椭圆上任意一点 p满足OS + Ot = tOiP，符合题意;当0时,tX0 =4k1 + 2k2,28k21 + 2k 由k知，0t24， 所以 t ( 2,0) U (0,2),综上可得，实数t的取值范围是(一2,2).