自然数2.docx

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自然数2

【问题提出】A1—1  自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同？

【释问参考】

最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格—罗素的自然数定义”。

为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理：

1．0是一个自然数；2．0不是任何其他自然数和后续；3．每一个自然数a都有一个后续；4．如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。

5．如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续，那么就包含全体自然数。

为了使自然数这个定义通俗易懂，《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点：

“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。

小学数学课本中对自然数的说明是在这样的：

用来表示物体个数的数1，2，3，…就叫自然数。

“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。

任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。

【思考练习】

小学数学课本中关于对自然数的教学的理论依据是（   B ）。

A．“弗雷格—罗素的自然数定义”。

B．《小学数学基础理论》教科书。

C．G.皮亚诺的关于自然数的五条公理。

【问题提出】A1—2  自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同？

【释问参考】

当自然数0，1，2，…用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。

如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。

当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。

如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。

在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定（如上文）。

【思考练习】

体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，这个“35”（   C ）。

A．表示这一队学生共有35人。

B．表示排尾的学生是第35个。

C．既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。

【问题提出】A1—3  自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么？

【释问参考】

正整数：

一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，…也叫正整数。

当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。

要数的东西一个也没有，就用“0”表示。

0与正整数统称为自然数。

负整数：

为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。

如“盈利5元”用“＋5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。

这种在一个数前添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。

添加了性质符号“＋”或“－”的数分别称为正数和负数。

“0”既不是正数，也不是负数。

正数中的正号可以省略不写。

添加了负号“－”的正整数叫做负整数。

整数：

正整数、零、负整数统称整数。

正整数

自然数

整数零

负整数

【思考练习】

自然数、正整数和整数这三个数概念中，（   C ）的范围最大。

A、自然数            B、正整数              C、整数

【问题提出】A1—4  为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”？

【释问参考】

1891年，意大利数学家G.皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的一个公理就是“0是一个自然数”。

而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编中，则明确提出：

所谓自然数，就是用符号1,2,3，…分别表示并称为一，二，三……的数。

可见，在各国的学术界，“0是自然数”与“0不是自然数”的观点并存。

现在看来，“0不是自然数”在应用中有其方便之处，而“0是自然数”就数的产生历史而言更为“自然”。

作为数学列强的俄罗斯数学界一直坚持“0不是自然数”。

1949年，中华人民共和国成立后，我国许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本翻译的。

M.K.格列本卡所著的高等学校教学用书算术（第6页）中明确指出：

数（shǔ）树上的苹果时，可能某一棵树一只苹果也没有，这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。

0就是没有东西可数。

0作为一个数，不属于自然数。

于是，“0不是自然数”的判断在我国中小学数学课程中广为传播。

20世纪80年代以来，我国实行对外开放，为了便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，1993年颁布的《中华人民共和国归家标准》（GB3100-3102-93）“量和单位”（11-29）第311页规定：

自然数包括0。

随后，中小学数学教材在进行修订时，根据上述国家标准进行了修改。

数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。

0也是自然数。

1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=｛0,1,2,3，…｝，而将原自然数集称为非零自然数集N+（或N*）=｛1,2,3，…｝。

我国国家标准局的专家们是从世界各国的两种不同的规定中取其一，希望更有利于国家交流。

规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也发生了变化，分为这样四部分：

（1）质数（有且只有2个约数）

（2）合数（有3个或3个以上的约数）

（3）1（只有1个约数）

（4）0（0以外的任何数都是它的约数）

【思考练习】

下面说法中，（     A ）是最恰当的。

A、以前规定“0不是自然数”，现在规定“0是自然数””

B、0是自然数

C、0不是自然数

【问题提出】A1—5  “自然数集”、“自然数列”、“扩大的自然数列”和“非零自然数集”有哪些区别和联系？

自然数列有哪些基本性质？

【释问参考】

自然数集：

所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。

“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。

我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。

因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。

“自然数”则是非集合概念。

自然数列：

将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列

0，1，2，3……

这样的一列数叫做自然数列。

“自然数列”的项和“自然数集”中的元素是一样的，都必须包括所有的自然数，它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。

只要有一处违反了这样的排列顺序，如0，2，1，3…，它就不是自然数列。

当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。

扩大的自然数列：

这是一个应该消亡的数学名词。

当我们认为“0不是自然数”时，把1，2，3…叫做“自然数列”；而将0，1，2，3…称为“扩大的自然数列”。

现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。

“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。

非零自然数列：

认为0是自然数后，0除外的自然数组成的数列叫做非零自然数列。

自然数列有以下的性质：

（1）有始。

自然数列是从0开始的。

0不是任何其他自然数的后继；

（2）有序。

每一个自然数都有且只有一个后继；除了0，每个自然数都有且只有一个先行数（即紧挨在其前面的一个数）；

（3）无限。

自然数列是一个无限数列。

没有最后的或者说最大的自然数。

【思考练习】

下面的这一列数（    B）自然数列。

0，1，2，4，5，…

A、是                B、不是

【问题提出】A1—6  “计数”、“记数”、“数数”、“写数”各指什么？

什么是计数的基本原理？

为什么我们的计数制和记数制都是十进制的？

【释问参考】

“计数”“数数”:

“计数”就是“数数”。

指的是把一些事物与非零自然数列里的数1，2，3…，建立一一对应的过程。

计数的基本原理是：

只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。

十进制计数法：

计数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数。

如两个两个地数，五个五个地数，十个十个地数，等等。

用一（个）、十、百、千、万……作为计数单位的计数方法，叫做十进制计数法。

这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的计数单位。

“记数”“写数”：

“记数”就是“写数”。

指的是如何用数字符号将一个数N（或者计数的结果）记录下来。

十进制记数法：

当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进制记数法用数字符号0,1,2,…，9把这个数记录下来。

由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。

现在国际上通用的记数方法是用0，1，2…，9分别表示自然数列里的前十个数。

其他自然数则用这些数字按“位值原则”表示。

即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。

每个数位表示一种计数单位。

同一个数字（0除外）在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。

在所记的数里，从右往左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位……个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百……因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制计数法。

【思考练习】

自然数5023中的数字“2”根据“位值原则”表示2个（    B  ）。

A、一            B、十            C、百              D、千

【问题提出】A1—7  “数”和“数字”的区别和联系是什么？

【释问参考】

用来记数的符号叫做“数字”。

数和数字是两个不同的概念。

数或为单数，或为双数；或为质数，或为合数。

数字或为罗马数字，或为阿拉伯数字；或为手写的数字，或为印刷的数字。

事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。

数是数字所表达的内容而不是数字本身。

我国是世界上的文明古国之一。

在我国，用文字记数已有悠久的历史。

早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。

其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。

一、十、百、千、万各有专名。

特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制计数法”是一致的。

【思考练习】

用来记数的符号叫做（   C ）。

A、数                    B、数位                C、数字

【问题提出】A1—8  说“43”是数而不是数字对吗？

【释问参考】

表示数的符号叫做数字。

因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是数字，而且是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。

同时，“43”也表示一个数，由四个十与三个一组成的数。

另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。

在这里，因为出现了数字“4”，所以k≥5。

总之，“43”既是一个数，也是一个数字。

同样，对于任一个用符号表示的自然数来说，它既是一个数，也是一个数字。

当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。

【思考练习】

从上文的分析看来，“43”是（    C  ）。

A、一个数              B、一个数字          C、既是一个数，也是一个数字

【问题提出】A1—9  “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系？

【释问参考】

数的组成：

在认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。

如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。

为此，可以先用计数单位“百”，一百一百地数；剩下的不足一百时，再用计数单位“十”，十个十个地数；最后，如果剩下的不足十个，再一个一个地数。

即用十进制计数法弄清数的组成。

每一个自然数的名称都是根据它的十进制组成规定的。

为此，制定了根据自然数的十进制组成来为它命名的规则。

一个数由几个百、几个十和几个亿组成，就称之为“几百几十几”（中间有0时如何命名另有规定）。

同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1,2，…，9来表示一个自然数的规则——“写数规则”，这就是“十进制记数法”。

所谓“读数”，就是根据一个数的符号，说出它的名称；所谓“写数”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。

“自然数的读写”就是一个数的自然语言和符号语言两种表述之间的相互改写。

总之，数的十进制组成是用十进制计数法计数的结果，是给这个数命名的依据，是用数字符号表示这个数的依据，因而也是数的读写的基础。

可见，数的组成是认数教学的核心问题。

【思考练习】

我们的日常生活中所用的自然数的名称通常是根据它的（  A  ）进制组成规定的。

A、十                B、八            C、二

【问题提出】A1—10“十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些？

【释问参考】

如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。

如果是“满二进一”，就是“二进制”。

十进制和二进制都是“进位制”。

十和二分别叫做这两种进位制的基数。

进位制的基数可以是大于1的任何自然数。

在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，…，9按照位值记数法来表示不同的自然数。

在二进制记数法中，只用两个同的数字0，1就能表示任何自然数。

十进制数与二进制数的对应关系如下表：

十进制数0123456789……

二进制数01101110010111011110001001……

可见，作为记数法，十进制与二进制运用的不同数字的个数不同；表示同一个自然数（0，1除外）时，所需数位的个数不同。

【思考练习】

把十进制数8改写成二进制数是（C）。

A、111B、1001C、1000

【问题提出】A1—11“准确数”和“近似数”、“绝对误差”和“相对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别？

什么是科学技术法？

【释问参考】在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这样的数叫准确数，如某校的数学教师有15人，6×1.2＝7.2等等。

但在生产生活和计算中得到的某些数，常常只是接近于准确数，这种数叫近似数。

如“某市约有人口75万”，75万就是近似数，因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口数随时都在变化，很难得出准确的人口数。

可见，准确数与近似数的主要区别，就在于是否与实际情况完全相符。

其中，小于准确数的近似值，叫不足近似值；大于准确数的近似值叫做过剩近似值。

    准确数A与它的近似值a之差A－a，叫做这个近似数的误差；误差的绝对值∣A－a∣，叫做这个近似数的绝对误差。

近似数的绝对误差除以准确数所得的商，叫做这个近似数的相对误差（常用百分率表示）。

实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数代替准确数来计算误差。

一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫做这个近似数的可靠数字。

因此，用“四舍五入”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有数字都是有效数字，也都是可靠数字。

用“进一法”或“去尾法”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是可靠数字；在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。

例如，取∏＝3.14，因为∣∏－3.14∣＜0.01÷2，所以圆周率的近似数3.14有三个有效数字；如果取∏＝3.1416，则∣∏－3.1416∣＜0.0001÷2，所以近似数有5个有效数字。

任何一个近似数都可以写成a＝a′×10k的形式，其中a′是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1≤a′≤10,k是整数，这种记数法叫做科学技术法。

【思考练习】

1．小于准确数的近似数叫做（   B ）。

A、过剩近似数            B、不足近似数

2．把5698“四舍五入”到十位是5700，其中有效数字有（  B  ）个。

A、2                B、3                C、4

【问题提出】A1—12截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么？

为什么常用“四舍五入法”？

【释问参考】

去尾法：

截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数都不变，这样截取近似数的方法，叫做“去尾法”。

进一法：

截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数的末位都加1，这样截取近似数的方法，叫做“进一法”。

四舍五入法：

在截取近似数时，通常这样规定：

（1）如果去掉的尾数中，最高位是5或比5大，那么就在留下的数的末位加1；

（2）如果去掉的尾数中，最高位数小于5（即是4或比4小），那么留下的数不变。

像这样的截取近似数的方法，叫做“四舍五入法”。

三者区别：

用“四舍五入法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位；而用“去尾法”或“进一法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。

【思考练习】

用“四舍五入法”截取的近似数是3.14，那么准确数的范围应该是（  B    ）。

A、3.130……～3.139……  B、3.135……～3.144……  C、3.140……～3.149……

【问题提出】A1—13在截取一个数的近似数时，为什么不能连续两次运用“四舍五入法”？

【释问参考】例如，要把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法的得数为什么不同？

方法一：

724600≈720000

方法二：

724600≈725000≈730000

方法一符合“四舍五入法”的操作规范，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位（即0.5万）；方法二连续两次运用了“四舍五入法”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留部分的末位的半个单位。

事实上，730000并不是724600“四舍五入”到万位的近似数，而是725000“四舍五入”到万位的近似数。

因此，在截取一个数的近似数时，不能连续两次运用“四舍五入法”。

【思考练习】

把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法正确的是（  A  ）。

方法一：

724600≈720000

方法二：

724600≈725000≈730000

A、方法一            B、方法二            C、两种方法都对

【问题提出】A1—14小数概念如何定义和分类？

【释问参考】把单位“1”平均分成10份，100份，1000份，这样的1份或几份，可以用分母是10，100，1000，……的分数来表示，我们把这种分母是10的正整数幂的分数叫做十进分数。

因为这些分数每相邻两个分数单位之间的进率都是10，所以可以仿照整数的写法，写在整数个位的右边，并用小圆点“.”隔开，用这种形式把分母是10、100、1000，……的十进分数，改写成的不带分母的数，叫做小数。

分类一：

根据一个小数的整数部分是不是0，可以把小数分为纯小数和带小数；

分类二：

根据小数部分的位数是不是有限，分为有限小数和无限小数，其中，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。

【思考练习】

小数可以分成（   C ）

A、纯小数和带小数    B、无限小数和有限小数    C、都可以

【问题提出】A1—15整数、小数的计数单位有哪些？

其中有没有最小和最大的？

为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来？

【释问参考】在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位……它们的计数单位分别是一、十、百、千、万……10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万……最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。

在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位……它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一……其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。

因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的计数单位之间也是“满十进一”的关系。

因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来。

【思考练习】

下列说法错误的是（   A   ）。

A、整数部分、小数部分都有最大的计数单位和最小的计数单位；

B、整数最小的计数单位是一，没有最大的计数单位；

C、小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。

【问题提出】A1—16“一位数”、“两位数”、“三位数”……与“一位小数”、“两位小数”、“三位小数”……各是怎样定义的？

为什么0不是一位数？

【释问参考】在非零自然数集N＋中，用一个十进制数字表示的叫一位数，如1，2，3，4…9；用两个十进制数字表示的叫两位数10,11,12…99；……依此类推。

小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数……依此类推。

实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。

如两位数48可以表示为048；一位数6可以表示为006。

为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定：

在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位为止的数字有几个，这个自然数就称之为几位数。

数0不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字，所以0不是一位数。

当然也不是两位数、三位数……

由于0不是一位数，一位数只有1,2,3，…，9共9个，所以最大的一位数是9；最小的一位数是1，而不是0

【思考练习】

1.最小的一位数是（    A  ）。

A、1                B、0                C、没有

2.048是（   B   ）位数。

A、三                B、两                C、048不是一个数

【问题提出】A1—17怎样认识“小数”和“分数”的关系？

【释问参考】小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。

有限小数相当于十进分数，即分母中不含有2、5以外的质因数的最简分数。

这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。

“分数”与“小数”是属种关系。

当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现会出现相同的余数，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。

这时，商的小数部分的位数是无限的，于是“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。

分数化小数，要么化为有限小数，要么化为（无限）循环小数；而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。

对于扩充以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与（无限）循环小数的部分相当于“分数”，此外，还有一种不可能由分数转化而来的无限不循环小数。

因此，我们可以说这时“分数”是“小数”的种概念。

【思考练习】

下面说法错误的是（  C  ）。

A、有限小数相当于十进分数

B、“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念

C、所有的小数都可以由分数转化而来

【问题提出】A1—18分数在现代数学和小学数学中的定义有什么不同？

【释问参考】分数在现代数