找等量关系方法汇总.docx
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找等量关系方法汇总
找等量关系方法汇总（总7页）
找等量关系式的四种方法
１、根据题目中的关键句找等量关系。
应用题中反映等量关系的句子，如“合唱队的人数比舞蹈队的３倍多１５人”、“桃树和杏树一共有１８０棵”这样的句子叫做应用题的关键句。
在列方程解应用题时，同学们可以根据关键句来找等量关系。
２、用常见数量关系式作等量关系。
我们已学过了如“工效×工时＝工作总量”、“速度×时间＝路程”、“单价×数量＝总价”、“单产量×数量＝总产量”等常见数量关系式，可以把这些常见数量关系式作为等量关系式来列方程。
３、把公式作为等量关系。
在解答一些几何形体的应用题时，我们可以把有关的公式作为等量关系。
４、画出线段图找等量关系
对于数量关系比较复杂，等量关系不够明显的应用题我们可以先画出线段图，再根据线段图找出等量关系。
例如：
东乡农场计划耕6420公顷耕地，已经耕了５天，平均每天耕780公顷，剩下的要３天耕完，平均每天要耕多少公顷
根据题意画出线段图：
从图中我们可以看出等量关系是：
“已耕的公顷数＋剩下的公顷数＝6420”列出方程：
设：
平均每天要耕Ｘ公顷
780×５＋３Ｘ＝6420
想一想：
根据上面的线段图还可以找出哪些等量关系。
1．牢记计算公式，根据公式来找等量关系。
这种方法一般适用于几何应用题，教师要让学生牢记周长公式、面积公式、体积公式等，然后根据公式来解决问题。
2．熟记数量关系，根据数量关系找等量关系。
这种方法一般适用于工程问题、路程问题、价格问题，教师在教学这三类问题时，不但要让学生理解，还应让学生记熟“工作效率×工作时间=工作总量；速度×时间=路程；单价×件数=总价”等关系式。
如“汽车平均每小时行45千米，从甲地到乙地共225千米，汽车共需行多少小时”
就可以根据“速度×时间=路程”这一数量关系，列出方程45X=225。
3．抓住关键字词，根据字词的提示找等量关系。
这种方法一般适用于和差关系、倍数关系的应用题，在题中常有这样的提示：
“一共有”、“比……多（少）”、“是……的几倍”、“比……的几倍多（少）”等。
在解题时，可根据这些关键字词来找等量关系，按叙述的顺序列出方程。
如“四年级有学生250人，比三年级的2倍少70人，三年级有学生多少人”，根据题中“比……少”可知：
三年级的2倍减去70人等于四年级的人数，从而列出方程2X－70=250。
4．找准单位“1”，根据“量率对应”找等量关系。
这种方法一般适用于分数应用题，有时也适用“倍比关系”应用题。
对于分数应用题来说，每一个分率都对应着一个具体的量，而每一个具体的量也都对应着一个分率。
在倍比关系的应用题中，也应找准标准量。
因此，正确地确定“量率对应”是解题的关键。
5．补充缺省条件，根据句子意思找等量关系。
这类应用题的特征是含有“比……多（少）”、“比……增加（减少）”等特定词，如：
甲比乙多“几分之几”、少“几分之几”、增加“几分之几”、减少“几分之几”等类型的语句，题目中由于常缺少主语，造成学生理解上的困难。
因此，教师在平时一定要强调让学生说“谁与谁比”、“以谁为标准”等，在缺少主语的情况下，让学生先把主语补充完整。
如“小明第一天看书60页，比第二天少看，第二天看了多少页”一题中，就缺少了“第一天”这个主语，通过读题、析题，要让学生明白“这里的少的是指第二天的”，于是可列方程X－X=60。
6．利用好线段图，根据线段图找等量关系。
有些应用题光从字面上来看，不容易理解，有时教师可辅以线段图帮助学生理解。
当然，如果学生会画线段图，题目往往很容易解开。
画线段图的关键仍是找准谁是单位“1”，其它量都是与单位“1”相比较而言的。
而理解单位“1”，又往往可以从“比”、“是”等词语后面找到，也即“比”、“是”后面的量通常是标准量，是单位“1”。
以上所举只是一些比较简单的应用题，如果遇到较复杂的应用题，还要采取灵活的方法，如“抓住不变量解”、“换一种说法解”、“根据题意逐步解”、“逆向思考推导解”等等，这些都要求学生在解决具体问题时，采取不同的方法，以求顺利解答。
当然，这里更离不开教师平时的引导与启迪。
方程（组）是解决实际问题的一个有效数学模型.列方程（组）的关键是挖掘出隐含在题目中的等量关系.寻找等量关系有三种常用方法：
译式法、列表法和图示法.解题时有意识的学习使用这些方法，可以有效的帮助我们分解难点，寻找出等量关系，进而列出方程（组）求解.
一、译式法
例14辆小卡车和5辆大卡车共27吨；6辆小卡车和10辆大卡车共运货51吨.问小卡车和大卡车每辆每次各运多少吨？
分析：
本题等量关系比较明显，只需要直接按照题意把日常用语译成代数语言即可.设小卡车和大卡车每辆每次分别运x、y吨.则“4辆小卡车和5辆大卡车共27吨”可翻译成数学式子：
；“6辆小卡车和10辆大卡车共运货51吨”可翻译成数学式子：
.由这两个式子组合列出二元一次方程组即可求解.
评注:
对实际问题不要产生畏惧心理，不要想一口吃个“胖子”，要一步一步走下去，首先，要多看几遍题目，审清题意，先列出“文字”等量关系，然后用代数式逐步替换，当代数式把“文字”替换完了，方程（组）也就列出来了.这种将关键词语译成代数式列方程（组）解决实际问题的方法称为“译式法”.译式法使用非常普遍，对于大多数基础题目较为有效.
二、列表法
例3某日小伟和爸爸在超市买12袋牛奶24个面包花了64元.第二天他们又去超市时，发现牛奶和面包均打八折，这次他们花了60元却比上次多买了4袋奶3个面包.求打折前牛奶和面包的单价？
分析：
设打折前牛奶的单价为x元，面包的单价为y元.可列表如下
打折前
打折后
单价（元）
数量（袋或个）
费用（元）
单价（元）
数量（袋或个）
费用（元）
牛奶
x
12
12x
0.8x
16
16×0.8x
面包
y
24
24y
0.8y
27
27×0.8y
并根据上表可得方程组
解：
略.
评注：
列表法是指将题目中数量及其关系填在表格内,再据此逐层分析,找到各量之间的内在相等关系,列出方程（组）的方法.列表时分类整理排列，条理清晰，优点明显.尤其对于题目较为复杂，等量关系较为隐蔽的题目效果较好.
三、图示法
例4甲、乙两人都以不变的速度在环形路上跑步.相向而行，每隔2分二人相遇一次；同向而行，每隔6分相遇一次，已知甲比乙跑得快，求甲乙每分各跑多少圈？
同向
相向
分析：
根据题意可以分别画出甲、乙相向而行、同向而行时的示意图（如图1和图2）
如果设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，根据图1可得
；根据图2可得
.
评注：
图示法是指将条件及它们之间的内在联系用简单明了的示意图表示出来,然后据图找等量关系列方程（组）的方法.图示法直观、明了，是解决行程等问题的常用方法.
评注:
对于较为复杂的题目，可把三种方法结合使用.这三种方法在突破等量关系这一难点问题上，体现的是分步、分层、分散的转化思想，不论容易题、难题，都非常适用.同学们开始接触这些方法时可能觉得有些繁琐，如果有意识加强这方面的训练，形成习惯，自然会省时省力，这类问题也就会迎刃而解了.
1.把日常的语言翻译成代数的语言，而代数的语言就是方程，即可得等量关系式。
例如，商店原来有一些饺子粉，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。
这个商店原来有多少千克饺子粉？
日常语言：
原有的重量减去每袋的重量乘以卖出的袋数等于剩下的重量。
代数的语言：
χ-5×7=40（这里的χ表示原有的重量）。
又如，望岳小学买来2个足球和25根跳绳，共用44.2元。
每个足球的售价4.6元，每根跳绳的售价是多少元？
日常语言：
买2个足球的钱加上买25根跳绳的钱等于共用去的钱
代数语言：
4.6×2+25χ=44.2（这里χ表示每根跳绳的售价）。
2.掌握常见的基本数量关系，建立等量关系式。
根据“行程问题”基本数量关系式：
速度×时间=路程
根据“工作问题”基本数量关系式：
工作效率×工作时间=工作总量
3.根据题中关键性词语来理解数量关系从中得到等量关系式。
例如，一个花坛里有3行芍药花，每行5棵。
另一个花坛里有3行牡丹花，芍药花比牡丹花少9棵，牡丹花每行多少棵？
根据题中“芍药花比牡丹花少9棵”的关键性词语“比”、“少”，就可以列出：
3χ-5×3=9（χ表示每行牡丹花的棵数）
4.利用线段图的直观性，从图中发现等量关系。
例如，某农具厂计划生产新式农具144件，现在已经生产了19件，其余的要在4天内完成，平均每天应当生产多少件？
19件χχχχ
┕━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┛
144件
从图中很容易看出：
19+4χ=144。
5.根据一些定义、公式，列出等量关系式。
例如，李家营建造一个养鸡场，用110米长的篱笆围成一个长方形场地。
如果长是37米，宽应该是多少米？
根据长方形的周长公式，得：
（37+χ）×2=110（这里的χ表示长方形的宽）
★方程指的是“含有未知数的等式”。
☆列方程就是要根据题目的意思，设好相关的未知数之后，写出一个含有未知数的等式出来。
则列方程解应用题的关键是——找出相等关系，找出了相等的关系，方程也就可以列出来了．找等量关系常见方式有：
一、抓住数学术语找等量关系
一般和差关系或倍数关系，常用“一共有”、“比……多”、“比……少”、“是……的几倍”、“是……的几分之一”等术语表示．在解题时可抓住这些术语去找等量关系，按叙述顺序来列方程。
习题：
1.某数的三分之一比这个数小1，求这个数。
二、根据常见的数量关系找等量关系
最常见的数量关系：
1.速度×时间＝路程（路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度）
2.单价×数量＝总价（总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价）
★关于打折的问题：
打几折=原价×百分之几十
3.工作效率×工作时间＝工作总量
（工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率）
4.增长后的量=原量（1+增长率）降低后的量=原量（1-降低率）
习题：
1.已知皮划艇500米最好成绩是1.65分钟，求平均速度？
三、根据常用的计算公式找等量关系
最常用的计算公式有：
1.正方形周长＝边长×4正方形面积=边长×边长=（边长）2
2.长方形周长=（长+宽）×2长方形面积=长×宽
3.三角形面积=（底×高）÷2梯形面积=（上底+下底）×高÷2
4.圆形周长=
×直径=2
×半径圆形面积=
×（半径）2
习题：
1.长方形的周长为60米，已知长是宽的1.5倍，求它的面积。
四、理解文字找等量关系。
习题：
1.一班有48人，在某一次捐款活动中，男生平均每人捐款5元，女生平均每人捐款8元，全班一共捐款285元。
问男生有多少人？
五、画图分析找等量关系
根据题意画出图形分析图或者是表格分析图，从中找出相关等量列方程。
习题：
1.某农场有400公顷小麦，前三天每天收割70公顷小麦，剩下的要在2天内收割完，平均每天要收割小麦多少公顷？
列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题：
弄清题意．
（2）找出等量关系：
找出能够表示本题含义的相等关系．（3）设出未知数，列出方程：
设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：
解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验，写答案：
检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案．
2.和差倍分问题
增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量
3.等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．
①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝
r2h
②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc
4．数字问题
一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．
十位数可表示为10b+a，百位数可表示为100c+10b+a．
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．
5．市场经济问题
（1）商品利润＝商品售价－商品成本价
（2）商品利润率＝
×100%
（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量
（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量
（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80%出售．
6．行程问题：
路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间
（1）相遇问题：
快行距＋慢行距＝原距
（2）追及问题：
快行距－慢行距＝原距
（3）航行问题：
顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度
逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度
抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．
7．工程问题：
工作量＝工作效率×工作时间
完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1
8．储蓄问题
利润＝
×100%利息＝本金×利率×期数
一元一次方程应用题归类汇集
一元一次方程应用题归类汇集：
行程问题，工程问题，和差倍分问题（生产、做工等各类问题），调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题数字问题，方案设计与成本分析，古典数学，浓度问题等。
（一）行程问题：
（1）行程问题中的三个基本量及其关系：
路程=速度×时间S=vt
（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；
常见的还有：
相背而行；行船问题；环形跑道问题。
（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，一般情况下问题就能迎刃而解。
并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。
例：
甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。
（1）慢车先开出1小时，快车再开。
两车相向而行。
问快车开出多少小时后两车相遇？
（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里
（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里
（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？
（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？
（此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
）
（二）行船问题
流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。
流水问题有如下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速?
（V顺=V静+V水）
逆水速度=船速-水速?
（V顺=V静-V水）
例：
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
（三）工程问题：
工程问题中的三个量及其关系为：
工作总量=工作效率×工作时间
经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。
例一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？
（四）和差倍分问题（生产、做工等各类问题）
1.和、差、倍、分问题：
（1）倍数关系：
通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现。
（2）多少关系：
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。
例：
某车间加工30个零件，甲工人单独做，能按计划完成任务，乙工人单独做能提前一天半完成任务，已知乙工人每天比甲工人多做1个零件，问甲工人每天能做几个零件原计划几天完成
（五）劳力调配问题：
这类问题要搞清人数的变化.
例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。
现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的一半。
问需从第一车间调多少人到第二车间？
例2．甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。
（六）配套问题：
1.某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓12个或螺母18个，应如何分配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套（一个螺栓配两个螺母）
（七）分配问题：
例.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。
求房间的个数和学生的人数。
（八）年龄问题：
例：
甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是________.
（九）比赛积分问题：
10.某企业对应聘人员进行英语考试，试题由50道选择题组成，评分标准规定：
每道题的答案选对得3分，不选得0分，选错倒扣1分。
已知某人有5道题未作，得了103分，则这个人选错了______道题。
（十）利润赢亏问题
（1）销售问题中常出现的量有：
进价、售价、标价、利润等
（2）有关关系式：
商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价
商品利润率=商品利润/商品进价
商品售价=商品标价×折扣率
例.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？
（十一）储蓄问题
⑴顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）
例.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。
半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少（
不计利息税）
（十二）增长率问题：
1.某化肥厂去年生产化肥3200吨，今年计划生产3600吨，今年计划比去年增产%
（十三）数字问题：
（1）要搞清楚数的表示方法：
一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：
100a+10b+c。
（2）数字问题中一些表示：
两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。
1.有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数。
（十四）古典数学：
1.100个和尚100个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚，多少小和尚。
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