河南师大附中届高三数学开学试题理科含答案.docx

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河南师大附中届高三数学开学试题理科含答案

河南师大附中2018届高三数学8月开学试题（理科含答案）

河南师大附中2017-2018学年高三8月第一次月考

数学（理）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，，则（）

A．B．C．D．

2.已知复数（其中是虚数单位），那么的共轭复数是（）

A．B．C．D．

3.展开式中第3项的二项式系数为（）

A．6B．-6C．24D．-24

4.命题“，”的否定是（）

A．B．

C.D．

5.某单位共有职工150名，其中高级职称45人，中级职称90人，初级职称15人，现采用分层抽样方法从中抽取容量为30的样本，则各职称人数分别为（）

A．9,18,3B．10,15,5C.10,17,3D．9,16,5

6.把边长为1的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如下图所示，则侧视图的面积为（）

A．B．C.D．

7.已知平面上的单位向量与的起点均为坐标原点，它们的夹角为，平面区域由所有满足的点组成，其中，那么平面区域的面积为（）

A．B．C.D．

8.函数，给出下列四个命题：

①在区间上是减函数；②直线是函数图像的一条对称轴；③函数的图像可由函数的图像向左平移个单位得到；④若，则的值域是，其中，正确的命题的序号是（）

A．①②B．②③C.①④D．③④

9.已知，则的值为（）

A．B．C.D．

10.若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（）

A．B．C.2D．

11.对于使成立的所有常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数且，则的上确界为（）

A．B．C.D．-4

12.对于函数和，设，，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）

A．B．C.D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.椭圆：

的左焦点为，若关于直线的对称点是椭圆上的点，则椭圆的离心率为．

14.连掷两次骰子得到的点数分别为和，若记向量与向量的夹角为，则为锐角的概率是．

15.某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：

货物体积（升/件）重量（公斤/件）利润（元/件）

甲20108

乙102010

运输限制110100

在最合理的安排下，获得的最大利润的值为．

16.已知分别为内角的对边，，且，则面积的最大值为．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.设数列的前项和为，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）是否存在正整数，使得？

若存在，求出值；若不存在，说明理由.

18.一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：

克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.

（1）求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望.（以直方图中的频率作为概率）

19.如图，已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，且.

（1）求证：

平面；

（2）求到平面的距离；

（3）求二面角的平面角的余弦值.

20.已知抛物线：

，焦点，为坐标原点，直线（不垂直轴）过点且与抛物线交于两点，直线与的斜率之积为.

（1）求抛物线的方程；

（2）若为线段的中点，射线交抛物线于点，求证：

.

21.设，.

（1）若，求的单调区间；

（2）讨论在区间上的极值点个数；

（3）是否存在，使得在区间上与轴相切？

若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知曲线：

，：

，：

，设与交于点.

（1）求点的极坐标；

（2）若直线过点，且与曲线交于两不同的点，求的最小值.

23.选修4-5：

不等式选讲

设函数.

（1）当时，求函数的定义域；

（2）若函数的定义域为，试求的取值范围.

试卷答案

一、选择题CAABADDADAAD

二、填空题13.14.15.6216.

三、解答题

17．

（1），，

所以时，

两式相减得：

即，也即，

所以是等差数列，

所以．

（2），

所以，

，

所以

所以，所以

即当时，．

18．【解】（Ⅰ）由题意，得，解得；

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），

而个样本小球重量的平均值为：

（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，

则.的可能取值为、、、，

，，

，.

的分布列为：

.

（或者）

19．解：

（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，

∴平面A1ACC1⊥平面ABC，

∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面A1ACC1，

∴BC⊥AC1，

∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，

∴AC1⊥平面A1BC。

（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，

∵AC1⊥平面A1BC，

∴AC1⊥A1C，

∴四边形A1ACC1是菱形，

∵D是AC的中点，

∴∠A1AD=60°，

∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0），C1（-1，0，），

∴=（1，0，），=（-2，2，0），

设平面A1AB的法向量=（x，y，z），

∴，

令z=1，

∴=（，，1），

∵=（2，0，0），

∴，

∴C1到平面A1AB的距离是

（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），

∴，

设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，

∴，

∴二面角A-A1B-C的余弦值为

20．I）解：

∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，

设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．

∴，．

∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，

∴．∴，得x1x2=4．

由，化为，

其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0

∴x1+x2=，x1x2=．

∴p=4，抛物线C：

y2=8x．

（Ⅱ）证明：

设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，

∴，．

∴直线OD的斜率为．

直线OD的方程为代入抛物线C：

y2=8x的方程，

得．∴．

∵k2＞0，∴

21.解：

（1）当时：

，（）

故

当时：

，当时：

，当时：

．

故的减区间为：

，增区间为

（2）

令，故,,

显然，又当时：

．当时：

．

故，，．

故在区间上单调递增，

注意到：

当时，，故在上的零点个数由的符号决定．……5分

①当，即：

或时：

在区间上无零点，即无极值点．

②当，即：

时：

在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．

综上：

当或时：

在上无极值点．

当时：

在上有唯一极值点．

（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，

由

（2）可知：

．不妨设极值点为，则有：

…（*）同时成立．

联立得：

，即代入（*）可得．

令，．

则，，当时

（2）．

故在上单调递减．又，．

故在上存在唯一零点．

即当时，单调递增．当时，单调递减．

因为，．

故在上无零点，在上有唯一零点．

由观察易得，故，即：

．

综上可得：

存在唯一的使得在区间上与轴相切．

请考上在第22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22．解：

（I）由解得点的直角坐标为因此点的极坐标为

（II）设直线的参数方程为为参数），代入曲线的直角坐标方程并整理得设点对应的参数分别为则

当时，，有最小值

23.

（1）当时,.由可得,

或或,解得或

即函数的定义域为

（2）依题可知恒成立,即恒成立,

而当且仅当即时取等号,所以