121电容器和电容量.docx

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121电容器和电容量

電容器

12.1電容器和電容量

電容器是儲存電荷的設備。

電容器以電場形式的電勢能來儲存能量。

電容器是由兩孤立導體組成。

例如，中間用空氣分隔的兩塊平行導電板。

電容器在電路的符號是

電容器的種類（FPII105）圖20.1,2

研究電容器工作機制的實驗

按下按鈕H，並記錄安培計的讀數。

安培計會瞬時偏轉，然後返回零讀數。

當接上電池後，電子由電池的負極流到電容器的負極板；同時電子亦會由電容器的正極板流到電池的正極。

所以，當電容器充電時會出現電流。

但是，兩極板上儲存的電荷會產生電勢差，並且電勢差會逐漸增至等於電池的電動勢。

因此，電流會隨後下降直至變零。

釋放按鈕H，然後再次按下。

沒有變化。

已充電的電容器是不可能用相同電勢差再充電。

但若接上增加了的電池，電容器則可以再次充電到一更高電勢差。

釋放按鈕H，然後按下按鈕K。

安培計會瞬時向反方向偏轉，然後返回零讀數。

電子會通過外電路，由電容器的負極板流到正極板。

電容器放電直至極板上沒有淨電荷餘下。

因此，電流的方向與原來相反，然後變零。

當電容器充電時，兩極板上會帶相同電量但相反電荷+Q和Q。

這時，電容器上的電量是Q，而兩極板間的電勢差是V。

實驗：

用穩定電流將電容器充電

如圖設置實驗。

按下然後釋放按鈕K，從而將電容器C放電。

將開關接通S以將電容器C充電，同時啟動計時器。

不斷將可變電阻R調校以保持相同的初電流I通過電容器。

透過觀察示波器圖跡的移動，量度電容器兩端的電勢差VC增至1V、2V、3V等等所耗的時間t。

繪畫VC隨t的變化圖線。

結果與觀察

當電容器以勻速充電，其兩端的電勢差VC會隨時間t均勻變化。

即VCt。

理論與結論

Q=電容器C儲存的電量

R0=可變電阻的初始值

初始時Q=0VC=0

因此VR=6I=6/R0

在時間t，因為I=常數，所以Q=It

按VCt，結論是QVC。

比率Q/VC是常數，稱為電容器的電容（量）C。

孤立電容器的電容是引起該電容器單位電勢變化所需的電量。

C=電容器的電容

Q=其中一極板上的電量大小。

V=極板間的電勢差

單位法拉Farad（1F=1CV1）

通用使用的電容單位是μF或pF，因為1F是一個很大的量值，一般不會使用這麼大電容的電容器。

（FPII110）例2,1

電容器勻速充電時，不同的物理量隨時間t的變化。

VcorQ

I

12.2電容器的充電和放電

RC電路的電容器充電（在穩定電壓下）

將未充電的電容器C用穩定電勢差V通過電阻器R充電。

設在某時刻，通過C的電流是I而儲存在C的電量是Q，如圖所示。

V=VC+VR

在時間t=0,Q=0

Q0=CV=電容器儲存的末電量。

電流

在t=0，VC=0。

所以VR=V。

初電流等於V/R而未充電的電容器兩端沒有電壓，就似「短路」。

在一段時間後，VC=V。

所以VR=0。

電流再不能通過已完全充電的電容器，就似「斷路」。

例121

電容器C初時未充電。

當開關接通後，求安培計的初讀數和末讀數。

解

初始時，Q=0，VC=0。

沒有電流通過1Ω電阻器。

所以安培計讀數=0A。

最後，VC=6V。

沒有電流可以通過電容器C。

所以安培計讀數=6/（1+5）=1A。

電容器在RC電路充電時，不同的物理量隨時間t的變化。

對於Q和VC

τ=RC=此RC電路的時間常數

Q-t圖線的初斜率就是初始電流I0=V/R。

倘改用恆定電流I0將電容器充電，電容器將會在時間t=τ完成充電，如圖中虛線所示。

當已充99%的電量時，電容器實際上已完全充電。

即t=5τ。

R和的C值越少，時間常數越少。

這表示電容器只需較短時間就可以充完電。

對於I或VR

電流在相同的時間間隔是幾何級數式下降。

例122

當接通開關後，電容器的電勢差會在20s內由0V上升至3V。

求電勢差升至4.5V所需的時間。

解

當t=20s，VR=VVC=3V

在時間t，VR=VVC=1.5V

因為VR是指數式下降，而它耗20s下降了3/6=0.5，所以再過多20s會變成1.5/3。

RC電路的電容器放電

已充電而兩端電勢差V的電容器C通過電阻器R放電。

設在某時刻，通過C的電流是I而儲存在C的電量是Q，如圖所示。

0=VC+VR

當t=0，Q=Q0=CV=電容器的初始電量

電流

電容器在RC電路放電時，不同的物理量隨時間t的變化。

QorVC

IorVR

（FPII118）圖20.26-20.30

實驗：

放電曲線

如圖設置實驗

接通開關將電容器充電。

斷開開關並開計時，電容器開始放電。

記錄時間和對應的安培計讀數。

結果及觀察

繪畫lnI隨t變化的圖線

繪出一條負斜率的線。

斜率=1/τ

繪畫I隨t變化的圖線

繪出一條衰變曲線。

半衰期=0.693τ

（FPII120）圖20.32

（FPII109）例7

例123

已充電電容正通過電阻器放電。

（a）倘R=10kΩ，求經過0.01s後的VC。

（b）倘經過0.01s後，電容器實際上已完全放電，R的最小值是多少？

解

（a）τ=RC=（10103）（2106）=0.02s

VC=3.64V

（b）放電時間=5τ，電容器剩餘的電量少過1%。

0.01=5RC

R=0.01/5C=1000Ω.

12.3電容器儲存的能量

用電勢差V為電容C的電容器充電，所得電量為Q，儲存於電容器內的能量W等於

公式的導論

考慮當孤立電容器充電至兩端的電勢差等於v時，儲存的電量是q。

將dq的電量由負端推向正端（經外電路）所作的功dW等於

dW=v（dq）

示範儲存在已充電電容器的能量

如圖設置實驗。

將電容器充電，然後通過電動機放電。

電動機會提升負載至某高度。

改變輸入電壓V，並量度對應的負載上升的最大高度h。

使用較大的電容的電容器，並固定電壓。

再量度對應的負載上升的最大高度h。

結果及觀察

發現V2h.

使用較大電容的電容器時的高度h較大。

因為高度與電動機的輸出能量（mgh）成正比，所以電容器儲存的能量CV2。

但電容器標示值的誤差可達20%，令實驗難以証明Ch。

（FPII117）例6

例124

未充電的電容器通過電阻器充電。

從最基本的原理出發，求在充電過程中損耗在電阻器的能量。

解

電池組電動勢V隨電荷流動的變化，如圖所示。

因為電動勢V不會隨電荷流動而變化，所以電池組給出的能量是長方形陰影面積QV。

電容器兩端電勢差v隨電荷流動的變化，如圖所示。

因為電勢差與電荷流量成正比例，所以電容器儲存的能量是三角形陰影面積0.5QV。

按能量守恆

損耗在電阻器的能量

=電池組給出的能量電容器儲存的能量

=QV0.5QV=0.5QV.=0.5CV2。

注意能量損耗與R的量值無關而只取決於C和V。

12.4電容器的組合

不論兩個電容器C1和C2是串聯或並聯，都可以用一個等效電容器C代替。

電容器串聯

兩電容器儲有相同的的電量Q但是V=V1+V2。

電容器並聯

兩電容器兩端的電勢差V相同但是Q=Q1+Q2。

例125

試求圖中電路的VXY。

解

因為兩個相同電容器是並聯，所以CXY=2C。

此外，兩電容器上的電量相同，

（2C）VXY=C（12VXY）VXY=4V.

串聯的數個電容器分壓時，擁有較大電容的電容器兩端的電壓會較少。

例126

圖中的VXP=5V。

以C表述，寫出等效電容。

已知A=1.75C及B是未知值。

解

VPY=VXYVXP=125=7V

QXP=CVXP=5CandQPY=CVPY=7C

按電荷守恆

QPQ=7C5C=2C而上極帶負電荷

所以VPQ=QPQ/2C=1V及VXQ=51=4V

QA=（1.75C）VXQ=7C

等效電容=總儲存電量/總電壓

=Q/V=（7C+5C）/12=C.

例127

C

求圖中電路的VP。

此外，以表述C，求各電容器儲存的電量。

解

因為通過兩電阻器的電流一定相同，所以按電阻器的分壓原理得知

VXP=4V和VPY=5V.

因此VP=5V.

QXP=CVXP和QPY=CVPY

QXP=4C和QPY=5C.

例128

試求圖中電路的VQ。

解

因為VP=5V，所以

QXQ=C（9VQ），QPQ=C（5VQ）和QQY=C（VQ）,

按分壓原理

QXQQQY=QPQ

C（9VQ）C（VQ）=C（5VQ）

VQ=4V（14V錯誤不理）

12.5電容器的電荷分享

當兩個已充電電容器連接時，兩者的電量會從新分配。

但是有以下數點須知：

電荷守恆—當兩電容器的相同極性相接時，總電量相加；當兩電容器的相反極性相接時，總電量相減。

當電量分配完結後，兩電容器兩端的電勢差相同令電流中止。

因此，較大電容的電容器會分得較多電量。

電量分享後，能量會損耗。

即在分享電荷過程中，電勢能會變成火花而損耗。

例129

圖示電路圖中，儲有14μC電量的5μF電容器與未充電2μF電容器連接。

求

（a）每一電容器上最後儲有的電量，及

（b）過程中的能量損耗。

解

設q1和q2分別是兩電容器儲有的最後電量。

兩者的電勢差相同q1/C1=q2/C2或q1/5=q2/2

此外，q1+q2=14

因此，q1=10μC和q2=4μC.

又因為W=Q2/2C，初W=19.6μJ而

末W=10+4=14μJ

變成熱量的能量=5.6μJ.

例1210

地球是一個電容器假設地球是一個均勻圓球。

試求地球的電容，從而解釋為何地球可以作為實際零電勢。

已知

ε0=8.841012C2N1m2

RE=6.38106m

解

帶電圓球的電勢V=Q/4πε0r

C=Q/V=4πε0r

地球的電容=4πε0RE7.1104C

因為地球的電容很大，帶電導體接地時會差不多失去所有電荷。

示範：

匙舀電荷

利用超高壓電源將金屬球充電。

另一金屬球是用作「電荷匙」與帶電金屬球分享電荷。

將在匙上的電荷轉到靜電計來量度匙上的電量。

結果和觀察

較大的「電荷匙」可載較多的電量。

當超高壓電源的電壓增加時，匙上的電量會增加。

12.6平行板電容器

考慮間距d而重疊面積A的兩塊平行極板造成的電容器，兩板間的電場E等於

E=V/d及E=Q/Aε0

按C=Q/V，

因此平行板電容器的電容C等於

A=兩極板的重疊面積

d=;兩極板的間距

ε0=8.841012C2N1m2

（FPII126）例10

例1211

在已充電孤立電容器的兩極板中間插入一塊中性金屬片。

所需數據如圖所示。

（a）在插入金屬片前，電容器儲存的能量是多少？

（b）在插入金屬片後，電容器兩極板間的電勢差是多少？

（c）在插入金屬片的過程中，電力作了多少功？

解

（a）C=ε0A/d

C=（8.841012）（500104）/（102）=4.421011F

W=0.5CV2=8.84105J

（b）已知孤立電容器的電量不變。

因此電場亦不變。

V=Ed=（2000/1）（10.2）=1600V

（c）電容器儲存的電量Q=CV=8.84108C在實驗前後是相同。

最後儲存在電場的能量=0.5QV

=7.07105J

電力作功=電勢能損耗=1.77105J

例1212

倘兩極板的間距增加，圖中的安培計和伏特計讀數會有何變化？

略加解釋。

解

安培計讀數會從零偏轉然後返回零。

偏轉方向與充電電流相反。

伏特計讀數會瞬時加，然後返回原來的量值。

當間距增加，電容會瞬時減少。

儲有相同電量的情況下，電容器兩端電勢差會增加並且比V大。

電容器必須通過放電以回到原來的電勢差。

正如在鍵盤上按鈕的運作方式。

實驗：

利用簧片開關量度電容

如圖設置實驗

將可變電阻調至最大值。

在訊號產生器選一合適的頻率。

將可變電阻調少直至檢流計的讀數不再增加。

記錄頻率，伏特計讀數和檢流計讀數。

結果和觀察

電容器完全放電的情況下，

C=I/fV

C=（平行極板）電容器的電容

I=檢流計的讀數

f=訊號產生器發出的交流電頻率

V=伏特計的讀數

理論

訊號產生器令簧片開關以某頻率運作。

當有足夠電流通過線圈時，簧片會磁化並與鐵磁性接點F接通；當電流太少或二極管將電流阻隔時，簧片會反彈與沒有磁性的接點N接通。

在充電半週期，電容器會在沒有電阻的電路與電池組連接；在放電半週期，電容器會通過可變電阻器放電。

在選擇訊號產生器發出的交流電頻率和可變電阻的阻值R必須在放電半週期時，電容器可以完全放電。

因此，R應該越少越好，但是須仍可以保護檢流計。

在檢流計的慣性和阻尼影響下，當充電和放電頻率足夠高時，檢流計的讀數會給出平均電流大少。

在充電過程中電容器儲存的電量Q，Q=CV.

在完全放電的條件下，檢流計讀數給出的平均電流等於

I=fQ

因此C=I/fV

示波器的圖線—VC

完全放電

不完全放電

示波器跨接電阻器—VR

完全放電

不完全放電

（FPII112）例4,（FPII115）例5

研究C、A和d的關係

量度平行板電容器實驗誤差主因包括雜散電容和邊緣效應。

只有在兩板間距很少時，誤差會降至最低。

雜散電容

帶電導體的電勢會因另一電導體接近而下降。

同樣地，已充電電容器的電勢差V會因其他導體，甚至地球的存在而下降。

若沒有電荷流失，根據C=Q/V，電容器的電容會因此而比其理論值ε0A/d大了一量值—CS。

這量值稱為雜散電容。

即，C=ε0A/d+CS其中C是量度所得的電容。

邊緣效應

在極板邊緣位置的電場並不均勻。