数学备考 高考真题 模拟新题分类汇编集合与常用逻辑用语.docx
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数学备考高考真题模拟新题分类汇编集合与常用逻辑用语
集合与常用逻辑用语(高考真题+模拟新题)
课标文数2.A1[2011·安徽卷]集合U={1,2,3,4,5,6},S={1,4,5},T={2,3,4},则S∩(∁UT)等于( )
A.{1,4,5,6}B.{1,5}
C.{4}D.{1,2,3,4,5}
课标文数2.A1[2011·安徽卷]B 【解析】S∩(∁UT)={1,4,5}∩{1,5,6}={1,5}.
课标理数8.A1[2011·安徽卷]设集合A={1,2,3,4,5,6},B={4,5,6,7,8},则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是( )
A.57B.56C.49D.8
课标理数8.A1[2011·安徽卷]B 【解析】集合S的个数为26-23=64-8=56.
课标理数1.A1,E3[2011·北京卷]已知集合P={x|x2≤1},M={a}.若P∪M=P,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-1] B.[1,+∞)
C.[-1,1] D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
课标理数1.A1,E3[2011·北京卷]C 【解析】由P∪M=P,可知M⊆P,而集合P={x|-1≤x≤1},所以-1≤a≤1,故选C.
课标文数1.A1,E3[2011·北京卷]已知全集U=R,集合P={x|x2≤1},那么∁UP=( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
课标文数1.A1,E3[2011·北京卷]D 【解析】因为集合P={x|-1≤x≤1},所以∁UP={x|x<-1或x>1},故选D.
大纲文数1.A1[2011·全国卷]设集合U={1,2,3,4},M={1,2,3},N={2,3,4},则∁U(M∩N)=( )
A.{1,2}B.{2,3}
C.{2,4}D.{1,4}
大纲文数1.A1[2011·全国卷]D 【解析】∵M∩N={2,3},∴∁U(M∩N)={1,4},故选D.
课标理数1.A1,L4[2011·福建卷]i是虚数单位,若集合S={-1,0,1},则( )
A.i∈SB.i2∈S
C.i3∈SD.
∈S
课标理数1.A1、L4[2011·福建卷]B 【解析】由i2=-1,而-1∈S,故选B.
课标文数1.A1[2011·福建卷]若集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∩N等于( )
A.{0,1}B.{-1,0,1}
C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2}
课标文数1.A1[2011·福建卷]A 【解析】由已知M={-1,0,1},N={0,1,2},得M∩N={0,1},故选A.
课标文数12.A1,M1[2011·福建卷]在整数集Z中,被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论:
①2011∈[1];
②-3∈[3];
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
④“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中,正确结论的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
课标文数12.A1,M1[2011·福建卷]C 【解析】因为2011=5×402+1,则2011∈[1],结论①正确;
因为-3=5×(-1)+2,则-3∈[2],结论②不正确;
因为所有的整数被5除的余数为0,1,2,3,4五类,则Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],结论③正确;
若整数a,b属于同一“类”[k],可设a=5n1+k,b=5n2+k(n1,n2∈Z),则
a-b=5(n1-n2)∈[0];
反之,若a-b∈[0],可设a=5n1+k1,b=5n2+k2(n1,n2∈Z),则
a-b=5(n1-n2)+(k1-k2)∈[0];
∴k1=k2,则整数a,b属于同一“类”,结论④正确,故选C.
课标理数2.A1[2011·湖北卷]已知U={y|y=log2x,x>1},P=
,则∁UP=( )
A.
B.
C.
D.
∪
课标理数2.A1[2011·湖北卷]A 【解析】因为U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0},P=
=
,所以∁UP=
=
.
课标文数1.A1[2011·湖北卷]已知U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={2,4,5},则∁U(A∪B)=( )
A.{6,8}B.{5,7}
C.{4,6,7}D.{1,3,5,6,8}
课标文数1.A1[2011·湖北卷]A 【解析】因为A∪B=
,所以∁U
=
.
课标文数1.A1[2011·湖南卷]设全集U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩∁UN={2,4},则N=( )
A.{1,2,3}B.{1,3,5}
C.{1,4,5}D.{2,3,4}
课标文数1.A1[2011·湖南卷]B 【解析】(排除法)由M∩∁UN={2,4},说明N中一定不含有元素2,4,故可以排除A、C、D,故选B.
课标文数2.A1[2011·江西卷]若全集U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于( )
A.M∪NB.M∩N
C.(∁UM)∪∁UN)D.(∁UM)∩(∁UN)
课标文数2.A1[2011·江西卷]D 【解析】方法一:
∵M∪N={1,2,3,4},
∴(∁UM)∩(∁UN)=∁U(M∪N)={5,6}.故选D.
方法二:
∵∁UM={1,4,5,6},∁UN={2,3,5,6},
∴(∁UM)∩(∁UN)={5,6}.故选D.
课标理数2.A1[2011·辽宁卷]已知M,N为集合I的非空真子集,且M,N不相等,若N∩∁IM=∅,则M∪N=( )
A.MB.NC.ID.∅
课标理数2.A1[2011·辽宁卷]A 【解析】N∩∁IM=∅⇒N⊆M,所以M∪N=M,故选A.
课标文数1.A1[2011·辽宁卷]已知集合A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则A∩B=( )
A.{x|-1<x<2}B.{x|x>-1}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<2}
课标文数1.A1[2011·辽宁卷]D 【解析】由图1-1知A∩B={x|1课标文数1.A1[2011·课标全国卷]已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( )
A.2个B.4个C.6个D.8个
课标文数1.A1[2011·课标全国卷]B 【解析】因为M=
,N=
,所以P=M∩N=
,
所以集合P的子集共有∅,
,
,
4个.
课标理数1.A1[2011·山东卷]设集合M={x|x2+x-6<0},N={x|1≤x≤3},则M∩N=( )
A.[1,2)B.[1,2]
C.(2,3]D.[2,3]
课标理数1.A1[2011·山东卷]A 【解析】由解不等式知识知M={x|-3所以M∩N={x|1≤x<2}.
课标理数7.A1[2011·陕西卷]设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=x
<
,i为虚数单位,x∈R,则M∩N为( )
A.(0,1)B.(0,1]
C.[0,1)D.[0,1]
课标理数7.A1[2011·陕西卷]C 【解析】对于M,由基本不等式得y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,故0≤y≤1.对于N,因为x-
=x+i,由
<
,得
<
,所以-1课标文数8.A1,L4[2011·陕西卷]设集合M={y|y=|cos2x-sin2x|,x∈R},N=
,则M∩N为( )
A.(0,1)B.(0,1]C.[0,1)D.[0,1]
课标文数8.A1,L4[2011·陕西卷]C 【解析】对M,由基本不等式得y=|cos2x-sin2x|=|cos2x|,故0≤y≤1.对N,
<1,即|-xi|<1,所以-1课标数学1.A1[2011·江苏卷]已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则A∩B=________.
课标数学1.A1[2011·江苏卷]{-1,2} 【解析】因为集合A,B的公共元素为-1,2,故A∩B={-1,2}.
课标数学1.A1[2011·江苏卷]已知集合A={-1,1,2,4},B={-1,0,2},则A∩B=________.
课标数学1.A1[2011·江苏卷]{-1,2} 【解析】因为集合A,B的公共元素为-1,2,故A∩B={-1,2}.
大纲文数1.A1[2011·四川卷]若全集M={1,2,3,4,5},N={2,4},则∁MN=( )
A.∅B.{1,3,5}
C.{2,4}D.{1,2,3,4,5}
大纲文数1.A1[2011·四川卷]B 【解析】∁MN={1,3,5},所以选B.
课标理数13.A1[2011·天津卷]已知集合A={x∈R||x+3|+|x-4|≤9},B=x∈R
-6,t∈(0,+∞),则集合A∩B=________.
课标理数13.A1[2011·天津卷]{x|-2≤x≤5} 【解析】∵A=
=
,
B=
=
={x∈R|x≥-2}
∴A∩B={x∈R|-4≤x≤5}∩{x|x≥-2}={x|-2≤x≤5}.
课标文数9.A1[2011·天津卷]已知集合A={x∈R||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于________.
课标文数9.A1[2011·天津卷]3 【解析】A={x∈R||x-1|<2}={x|-1即0+1+2=3.
课标文数1.A1[2011·浙江卷]若P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( )
A.P⊆QB.Q⊆P
C.∁RP⊆QD.Q⊆∁RP
课标文数1.A1[2011·浙江卷]C 【解析】P={x|x<1},∴∁RP={x|x≥1}.又∵Q={x|x>-1},∴Q⊇∁RP,故选C.
大纲文数2.A1[2011·重庆卷]设U=R,M={x|x2-2x>0},则∁UM=( )
A.[0,2]B.(0,2)
C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,0]∪[2,+∞)
大纲文数2.A1[2011·重庆卷]A 【解析】解不等式x2-2x>0,得x>2或x<0.
即集合M={x|x>2或x<0},
∴∁UM={x|0≤x≤2}.故选A.
课标理数7.A2[2011·安徽卷]命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( )
A.所有不能被2整除的整数都是偶数
B.所有能被2整除的整数都不是偶数
C.存在一个不能被2整除的整数是偶数
D.存在一个能被2整除的整数不是偶数
课标理数7.A2[2011·安徽卷]D 【解析】本题是一个全称命题,其否定是特称命题,同时将命题的结论进行否定,答案为D.
课标文数20.D2,A2[2011·北京卷]若数列An:
a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),则称An为E数列.记S(An)=a1+a2+…+an.
(1)写出一个E数列A5满足a1=a3=0;
(2)若a1=12,n=2000,证明:
E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;
(3)在a1=4的E数列An中,求使得S(An)=0成立的n的最小值.
课标文数20.D2,A2[2011·北京卷]【解答】
(1)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5.
(答案不唯一,0,-1,0,1,0;0,±1,0,1,2;0,±1,0,-1,-2;0,±1,0,-1,0都是满足条件的E数列A5)
(2)必要性:
因为E数列An是递增数列,
所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999).
所以An是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000-1)×1=2011,
充分性:
由于a2000-a1999≤1.
a1999-a1998≤1.
……
a2-a1≤1.
所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12,a2000=2011.
所以a2000=a1+1999.
故ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即E数列An是递增数列.
综上,结论得证.
(3)对首项为4的E数列An,由于
a2≥a1-1=3,
a3≥a2-1≥2,
……
a8≥a7-1≥-3,
……
所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8).
所以对任意的首项为4的E数列An,若S(An)=0,则必有n≥9.
又a1=4的E数列A9:
4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4满足S(A9)=0,
所以n的最小值是9.
课标理数2.A2[2011·福建卷]若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
课标理数2.A2[2011·福建卷]A 【解析】若a=2,则(a-1)(a-2)=0成立;若(a-1)(a-2)=0,则a=2或a=1,
则a=2是(a-1)(a-2)=0的充分而不必要条件,故选A.
课标文数3.A2[2011·福建卷]若a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
课标文数3.A2[2011·福建卷]A 【解析】若a=1,则|a|=1成立;若|a|=1,则a=-1或a=1,
则a=1是|a|=1的充分而不必要条件,故选A.
课标理数9.A2[2011·湖北卷]若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=
-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的( )
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
课标理数9.A2[2011·湖北卷]C 【解析】若φ(a,b)=0,则
=a+b,两边平方整理得ab=0,且a≥0,b≥0,所以a,b互补;若a,b互补,则a≥0,b≥0,且ab=0,所以a+b≥0,此时有φ
=
-
=
-
=
-
=0,所以“φ
=0”是a与b互补的充要条件.
课标文数10.A2[2011·湖北卷]若实数a,b满足a≥0,b≥0,且ab=0,则称a与b互补.记φ(a,b)=
-a-b,那么φ(a,b)=0是a与b互补的( )
A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
课标文数10.A2[2011·湖北卷]C 【解析】若φ(a,b)=0,则
=a+b,两边平方整理得ab=0,且a≥0,b≥0,所以a,b互补;若a,b互补,则a≥0,b≥0,且ab=0,所以a+b≥0,此时有φ
=
-
=
-
=
-
=0,所以“φ
=0”是a与b互补的充要条件.
课标理数2.A2[2011·湖南卷]设集合M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N⊆M”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
课标理数2.A2[2011·湖南卷]A 【解析】当a=1时,N={1},此时有N⊆M,则条件具有充分性;当N⊆M时,有a2=1或a2=2得到a1=1,a2=-1,a3=
,a4=-
,故不具有必要性,所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件,故选A.
课标文数3.A2[2011·湖南卷]“x>1”是“|x|>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件
课标文数3.A2[2011·湖南卷]A 【解析】由不等式
>1得x<-1或x>1.当x>1时,一定有
>1成立,则条件具有充分性;当
>1不一定有x>1,则不具有必要性,故选A.
课标理数8.A2[2011·江西卷]已知α1,α2,α3是三个相互平行的平面,平面α1,α2之间的距离为d1,平面α2,α3之间的距离为d2,直线l与α1,α2,α3分别相交于P1,P2,P3,那么“P1P2=P2P3”是“d1=d2”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
课标理数5.A2[2011·山东卷]对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
课标理数5.A2[2011·山东卷]B 【解析】由判定充要条件方法之一——定义法知,由“y=f(x)是奇函数”可以推出“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”,反过来,逆推不成立,所以选B.
课标文数5.A2[2011·山东卷]已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( )
A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3
B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3
C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3
D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3
课标文数5.A2[2011·山东卷]A 【解析】命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题,所以选择A.
课标理数1.A2[2011·陕西卷]设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b
课标理数1.A2[2011·陕西卷]D 【解析】利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的逆命题.即原命题:
若p,则q;逆命题:
若q,则p”,故答案为D.
课标文数1.A2[2011·陕西卷]设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是( )
A.若a≠-b,则|a|≠|b|B.若a=-b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠-bD.若|a|=|b|,则a=-b
课标文数1.A2[2011·陕西卷]D 【解析】利用原命题和逆命题之间的关系“如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论和条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做原命题的逆命题.即原命题:
若p,则q;逆命题:
若q,则p”,故答案为D.
大纲文数5.A2[2011·四川卷]“x=3”是“x2=9”的( )
A.充分而不必要的条件
B.必要而不充分的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
大纲文数5.A2[2011·四川卷]A 【解析】x=3⇒x2=9,但x2=9⇒x=±3,所以“x=3”是“x2=9”的充分不必要条件.
大纲理数5.A2[2011·四川卷]函数f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在点x=x0处连续的( )
A.充分而不必要的条件
B.必要而不充分的条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要的条件
大纲理数5.A2[2011·四川卷]B 【解析】在x=x0处连续不仅需要有定义,还需要在该点处的极限值与函数值相等,所以函数在x=x0处有定义是在该点处连续的必要不充分条件.所以选B.
课标理数2.A2[2011·天津卷]设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
课标理数2.A2[2011·天津卷]A 【解析】当x≥2且y≥2时,一定有x2+y2≥4;反过来当x2+y2≥4,不一定有x≥2且y≥2,例如x=-4,y=0也可以,故选A.
课标文数4.A2[2011·天津卷]设集合A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},C={x∈R|x(x-2)>0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
课标文数4.A2[2011·天津卷]C 【解析】∵A={x∈R|x-2>0},B={x∈R|x<0},
∴A∪B={x∈R|x<0或x>2}.又∵C={x∈R|x(x-2)>0}={x∈R|x<0或x>2},
∴A∪B=C,即“x∈A∪B”是“x∈C”的充分必要条件.
课标理数7.A2[2011·浙江卷]若a,b为实数,则“0或b>
”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
课标理数7.A2[2011·浙江卷]A 【解析】当a>0,b>0时,由0成立;当a<0,b<0时,两边同除以a可得b>
成立,∴“0或b>
”的充分条件.反过来,若ab<0,由a<
或b>
得不到0
大纲理数2.A2[2011·重庆卷]“x<-1”是“x2-1>0”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
大纲理数2.A2[2011·重庆卷]A 【解析】解不等式x2-1>0,得x<-1或x>1,
因此当x<-1成立时,x2-1>0成立;
而当x<-1或x>1成立时,x<-1不一定成立.故选A.
课标理数20.D5,A3[2011·北京卷]若数列An:
a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),则称An为E数列.记S(An)=a1+a2+…+an.
(1)写出一个满足a1=a5=0,且S(A5)>0的E数列A5;
(2)若a1=12,n=2000.证明:
E数列An是递增数列的充要条件是an=2011;
(3)对任意给定的整数n(n≥2),是否存在首项为0的E数列An,使得S(An)=0?
如果存在,写出一个满足条件的E数列An;如果不存在,说明理由.
课标理数20.D5,A3[2011·北京卷]【解答】
(1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5.
(答案不唯一,0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5)
(2)必要性:
因为E数列An是递增数列,
所以ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999).
所以An是首项为12,公差为1的等差数列.
所以a2000=12+(2000-1)×1=2011.
充分性:
由于a2000-a1999≤1,
a1999-a1998≤1,
……
a2-a1≤1,
所以a2000-a1≤1999,即a2000≤a1+1999.
又因为a1=12,a2000=2011,
所