04第七八讲行程问题.docx
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04第七八讲行程问题
第七、八讲行程问题
一、知识链接
研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题，称为行程问题。
行程问题的基本关系是：
路程=速度×时间。
1.一般行程问题
一般行程问题主要是研究一个物体运动时，速度、时间和路程三个量之间的关系问题。
在解答一般行程问题时，可以从以下几方面来考虑：
（1）要弄清题意，紧扣速度、时间和路程这三个量之间的基本关系来分析。
（2）对具体问题要作具体分析，对一些数量关系较复杂的问题可以借助直观图帮助分析题意。
（3）要注意把综合法和分析法结合起来，灵活运用速度、时间和路程这三个量之间的基本关系来分析、解决问题。
2.反向运动问题（相遇问题）
反向运动问题，即在同一道路上的两个运动物体作方向相反的运动的问题。
它又包括相遇问题和相背问题。
相遇问题，指的就是上述两个物体以不同的点作为起点做相向运动的问题；相背问题，指的就是这两个运动物体以同一点作为起点做背向运动的问题。
反向运动问题的基本关系是：
路程=速度和×时间。
3.同向运动问题（追及问题）
同向运动问题主要研究两个运动物体作方向相同的运动时，速度、时间、路程这三个量之间的关系。
同向运动问题也称追及问题。
同向运动问题的基本关系式是：
路程差=速度差×追及时间。
4.环形有关的问题
我们把行程问题中与环形有关的问题，称为环形行程问题。
环形问题的解决方法除与反向运动问题、同向运动问题等问题的方法类似外，还要注意以下两点：
（1）如果两人同地同时反向运动，从上次相遇到下次相遇共行一个全程。
（2）如果两人同地同时同向运动，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。
5.流水行船问题
流水行船问题，是行程问题中的一种，它也有路程、速度与时间之间的数量关系。
同时，行船问题比一般的行程问题还多了一个水速的数量。
即：
顺水速度=船速＋水速；
逆水速度=船速－水速；
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速。
6.列车过桥问题
桥是静的，火车是动的，火车通过大桥，是指从车头上桥到车尾离桥。
“列车过桥”是以动对静。
如下图，
假设某人站在火车头的A点处，当火车通过桥时，A点实际运动的路程就是火车运动的总路程，即车长与桥长的和。
博士点评：
客车和摩托车出发时间不一样，可以把它们转化成同时出发的相遇类应用题。
二、精例精析
例1、甲、乙两地相距800千米，一辆客车以每小时40千米的速度从甲地开出3小时后，一辆摩托车以每小时60千米的速度从乙地开出，开出后几小时与客车相遇？
思维入口：
如果把客车先行的3小时路程从总路程中去掉，那么余下路程就是同时出发的相遇问题的应用题了。
解：
（800－40×3）÷（60＋40）=6.8（小时）
答：
开出后6.8小时与客车相遇。
初试身手：
1.甲、乙两地相距1160千米，小明以每分钟30米的速度从甲地出发6分钟后，小华以每分钟40米的速度从乙地出发，几分钟后与小明相遇？
博士点评：
由公式：
平均速度=总路程÷总时间可知，求往返的平均速度关键是确定往返的路程和时间。
例2、六年级同学徒步去狼山看日出。
去时每小时行8千米，按原路返回时每小时行6千米。
他们往返的平均速度为多少？
思维入口：
根据平均速度=总路程÷总时间，把去狼山的路程看做单位“1”，往返的路程就是“2”，去时用的时间为
，回来时用的时间为
往返的总时间为
+
=
。
解:
2÷（
+
）=2÷
=
（千米/时）
答:
他们往返的平均速度为
千米/时。
初试身手：
2.一艘船从A地开往B地。
去时每小时行20千米，按原路返回时每小时行25千米。
这艘船往返的平均速度是多少？
博士点评：
追及问题中的基本数量关系：
路程差=速度差×时间。
例3、一个通讯员骑摩托车追赶前面的队伍，队伍每小时行5千米，摩托车每小时行50千米，通讯员出发后40分钟赶上队伍。
问：
队伍比通讯员早出发几小时？
思维入口：
要求队伍比通讯员早出发几小时，一般要知道队伍早出发走的路程和队伍的速度。
而队伍早出发走的路程就是40分钟内通讯员比队伍多走的路程（即路程差），根据“速度差×追及时间=路程差”这个数量关系，就可以求出队伍早出发走的路程。
（50-5）×
=30（千米）。
所以，队伍比通讯员早出发30÷5=6（小时）。
解：
（50-5）×
÷5
=45×
÷5
=6（小时）
答:
队伍比通讯员早出发6小时。
初试身手：
3.哥哥每分钟走60米，弟弟每分钟走50米。
当两人同时从同一地点背向走了4分钟时，哥哥掉头去追弟弟，追上弟弟时哥哥共走了多少米？
博士点评：
首先确定他们第三次相遇时，他们合走了几圈，根据相遇时间=相遇路程÷速度和，求出相遇时间。
例4、一对老年夫妇沿着周长为200米的圆形花坛散步，他们从同一地点出发，相背而行，老太太每分钟走45米，老先生每分钟走55米，多长时间后，他们第三次相遇？
思维入口：
在封闭的环形道上反向运动属相遇问题。
他们从同一地点出发（相当于第一次相遇），背向而行，再次相遇时，他们合走一圈200米，第三次相遇时，他们合走了二圈，根据相遇时间=相遇路程÷速度和。
解：
200×2÷（45＋55）
=400÷100
=4（分钟）
答：
4分钟后，他们第三次相遇。
初试身手：
4.一条环形跑道，甲走完一圈要4分钟，乙走完一圈要5分钟，甲、乙从同一地点出发，相背而行，多长时间两人再次相遇？
博士点评：
解决深水行船问题必须掌握下列关系式：
顺水速度=船速＋水速；
逆水速度=船速－水速；
（顺水速度＋逆水速度）÷2=船速；
（顺水速度－逆水速度）÷2=水速。
例5、一艘船在静水中的速度为每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,已知水速为每小时3千米,那么从乙地返回甲地需要多少小时?
思维入口:
要求出从乙地返回甲地需要多少小时,需先知道甲、乙两地之间的路程和逆水的速度。
路程可以用顺水速度乘顺水航行的时间求得。
解：
顺水速度：
15+3=18（千米/时）
两地路程:
18×8=144（千米）
逆水速度:
15－3=12（千米/时）
逆水用时:
144÷12=12（小时）
答:
从乙地返回甲地需要12小时。
初试身手：
5.甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时？
博士点评：
火车过大桥，指的是从车头上桥算起到车尾离桥为止。
例6、一列火车长150米，每秒行19米，全车通过420米的大桥，需要多长时间？
思维入口：
为了便于理解，可以把车尾A看作“标准点”（如下图所示）。
当车头刚上桥的霎那间，A距桥150米；当车尾离桥时，A点运动了150+420=570（米）,即全车通过大桥,火车需要运动的总距离为火车长与桥长的和,所以全车通过大桥需:
570÷19=30（秒）。
A
桥
车
A
150米
解：
（420+150）÷19
=570÷19
=30（秒）
答:
需要30秒。
初试身手：
6.一座大桥长396米，一列长72米的火车以每秒18米的速度通过这座大桥，从车头上桥到车尾离开桥一共需多少秒？
博士点评：
关键是找甲、乙两车的速度比。
例7、甲、乙两车同时从A地去B地，甲车行了全程的一半时，乙车离B地还有54千米，当甲车到达B地时，乙车行了全程的80％。
A、B两地的路程是多少千米？
思维入口：
根据“甲车到达B地时，乙车行了全程的80％”，可以算出甲、乙两车所行的路程比是1：
80％=5:
4，因为时间相等，所以速度比也是5:
4.那么在相同的时间里，甲车行了全程的一半，乙车应该行全程的
÷
=
，还剩全程的1－
=
。
根据这时乙车离B地还有54千米，求出全程。
解：
54÷[1-（
÷
）]
=54÷
=90（千米）
答:
A、B两地的路程是90千米。
初试身手：
思维之光：
关键是找出14千米对应的是全程的几分之几。
7.甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:
2。
他们第一次相遇后甲的速度提高了20％，乙的速度提高了30％。
这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地间的距离是多少千米？
例8、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇。
又已知乙每分钟行50米，求A、B两地间的距离。
博士点评：
这是一类比较复杂的行程问题,它既包含有相遇问题,又包含有追及问题,所以要认真审题,先求出甲的速度,再求出A、B两地的距离。
思维入口：
先画图：
设甲、乙两人相向而行时相遇地点为D,甲追到乙的地点为C,由题意可知：
甲从A到D用6分钟，而从A到C则用26分钟，因此，甲从D走到C之间所用时间应为26-6=20（分）。
同时，由图可知，D、C间的距离等于BC+BD。
即等于乙在6分钟内所走的路程与乙在26分钟内所走的路程之和，即为50×（26+6）=1600（米）。
所以，甲的速度为1600÷20=80（米/分）,由此可得A、B两地间的距离。
解：
50×（26+6）÷（26-6）
=50×32÷20
=80（米/分）
（80+50）×6=130×6=780（米）
答:
A、B两地间的距离为780米。
初试身手：
8.甲、乙两车分别同时从A、B两地相向开出，速度比为7:
11。
两车第一次相遇后继续按原方向前进，各自到达终点后立即返回，第二次相遇时甲车离B地80千米。
求A、B间相距多少千米？
博士点评：
用画图的方法可以使行程问题的数量关系变得明朗化，因此解答行程问题首先要学会画图分析。
三、例题变招
例9、在一条笔直的公路上，王辉和李明骑车从相距900米的A、B两地同时出发，王辉每分钟行200米，李明每分钟行250米，经过多少时间，两人相距2700米？
（分析各种情况）
思维入口：
画图以后各种情况就清楚了。
第一种情况：
王辉在前，李明在后，两人同向前进，李明追上王辉以后还要比王辉多行2700米；
思维之光：
此类题属于发散思维的训练，也就是同一道题要求同学们从多角度来思考，从不同的角度分析各种情况才能全面解决问题。
第二种情况：
李明在前，王辉在后，李明再比王辉多行1800米；
第三种情况：
李明和王辉相背而行，经过一段时间以后两人相距2700米；
第四种情况：
李明和王辉相向而行，相遇以后，两人相距2700米。
博士点评：
用算术方法和简易方程求解行程问题是小学六年级同学必须掌握的方法，为了更好的掌握这些方法，同学们除了学会画图以外，还要能熟练地运用正比例、反比例的知识，才能做到迅速、简便、正确地解题。
四、竞赛我能行
例10、小明早上从家步行去学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有
的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸送往学校。
这样，小明比独自步行提早5分钟到校。
小明从家到学校全部步行需多少时间？
思维入口：
如图所示，
设爸爸在C点追上小明，求
出爸爸与小明的速度比，再
根据时间之比求出小明步行
全程的时间。
思维之光：
追及问题应掌握下列关系式：
速度差×追及时间=追及距离。
追及距离÷速度差=追及时间
追及距离÷追及时间=速度差
五、请你试一试
1、姐姐和妹妹都从家到学校上学，姐姐每分钟走55米，妹妹每分钟走40米，姐姐让妹妹先走3分钟，然后姐姐才出发追赶妹妹，经过多少分钟姐姐可以追上妹妹？
2、两地相距100千米。
甲、乙两人骑自行车同时从两地相对出发，经过4小时后相遇。
相遇后再经过2小时，甲、乙两人相隔多少千米？
3、甲、乙两列火车同时从上海站向相反方向的两城市开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行50千米，经过几小时后两车相距1430千米？
思维之光：
火车过桥问题，应正确理解路程=桥长+车长的关系式。
4、一座大桥长3400米，一列火车通过大桥时每分钟行800米，从车头上桥到车尾离开桥共需4.5分钟。
这列火车长多少米？
5、甲、乙两车同时从东、西两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行52千米，两车在离中点16千米处相遇。
东、西两地相距多少千米？
6、小芳和小丽进行100米赛跑比赛。
小芳比小丽早到5秒钟，小芳到终点时，小丽正好跑了80米，小丽跑完100米用了多少秒？
7、一条船从上游甲港开往下游乙港，船速为每小时15千米，4小时到达。
已知水速为每小时3千米。
甲、乙两港相距多少千米？
若船速和水速不变，从乙港回到甲港要航行多少小时？
思维之光：
解决环形的有关问题要注意以下两点：
（1）如果两人同地同时反向运动，从上次相遇到下次相遇共行一个全程。
（2）如果两人同地同时同向运动，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。
8、有一条长600米的环形跑道，甲、乙两人从起点按顺时针方向同时出发。
甲每分钟跑110米，乙每分钟跑90米，甲第一次追上乙需几分钟？
此时各跑了多少圈？
9、小松和小飞兄弟俩早上7:
20同时从家里出发，去同一所学校上学。
小松每分钟走80米，小飞每分钟走50米。
小松到校5分钟后，发现英语书忘在家里，立即返回，中途遇到小飞，这时正好是7:
40。
从学校到他们家有多少米？
10、两人骑自行车从同一地点出发，背向而行，甲每小时行驶12千米，乙每小时行驶13千米。
如果甲先行2小时，那么两人再同时行驶几小时，他们之间的距离为99千米？
11、一支长1.2千米的队伍正在行军。
在队尾的王涛要送信给队首的首长，他跑步用了6分钟赶到队首将信送到。
为了回到队尾，王涛在原地等了24分钟。
如果王涛跑步回到队尾，要用多长时间？
12、快、慢两列火车的长分别是150米和200米，它们相向行驶在两条平行的轨道上，若坐在慢车上的人看见快车驶过窗口的时间是6秒，则坐在快车上的人看见慢车驶过窗口所用的时间是多少秒？
13、爸爸带儿子去郊游，爸爸让儿子先走100步后再追赶。
已知爸爸走3步的时间儿子正好走5步，爸爸走9步的距离与儿子走17步的距离相等。
爸爸走多少步可以追上儿子？
14、一列火车通过1200米长的大桥，从车头上桥到车尾离开桥恰好用了1分钟，而火车以同样的速度经过桥头站岗的士兵用了12秒。
求这列火车的长度和速度。
15、甲乙两港口相距210千米，一艘在静水中速度为每小时18千米的船从甲港顺水驶往乙港。
已知水流速度为每小时3千米，船从出发到抵达乙港要多少小时？
照这样计算，该船返回甲港要多少小时？
16、甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时？
17、甲、乙两人同时从两地出发，相向而行，距离100千米，甲每小时行6千米，乙每小时行4千米。
甲带着一只狗，狗每小时行10千米。
这只狗同甲一道出发，碰到乙的时候，它就掉头朝甲这边走，碰到甲时又往乙那边走……直到两人相遇，这只狗一共走了多少千米？
18、甲、乙两人同时从相距1200米的A、B两地相向而行，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米。
相遇后又继续前进，各到达对方出发地后立即沿原路返回，途中两人第二次相遇，从出发到第二次相遇经过多少分钟？
思维之光：
正确理解题意以后，切入点为公园距某地2千米时两者可以同时到达，这样才能建立等量关系，列方程求解，否则就只能列不等式求解。
19、姐弟俩正要从公园门口沿马路向东去某地，他们回家要从公园门口沿马路向西行，他们商量是先回家取车再骑车向东去某地省时间，还是直接从公园门口步行向东去某地省时间。
姐姐算了一下：
已知骑车与步行的速度比是4:
1，从公园门口到达某地距离超过2千米时，回家取车才合算。
那么，公园门口到他们家的距离有多少米？
思维之光：
这是一道结论开放的行程问题，考虑问题时要全面、严密、画图可以帮助我们更全面地思考。
20、一条圆形跑道全长800米，甲、乙两人从跑道的A、B两点同时出发，甲每分钟走60米，乙每分钟走80米，走了4分钟之后，两人相距60米，那么沿跑道从A点到B点较短距离可以是多少米？
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