异面直线所成的角的方法归纳老师专用doc.docx
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异面直线所成的角的方法归纳老师专用doc
异面直线所成的角的方法归纳
（1）求异面直线所成角的思路是：
通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识（余弦定理、正弦定理、射线定理（cosQ=cos0cos0））求解，整个求解过程可概括为：
一找二证三求。
（2）求异面直线所成角的步骤：
%1选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置斩点。
%1求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。
%1因为异面直线所成的角。
的范围是0°VOW90。
，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。
3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
4、利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角也是常用的方法之一。
g
方法总结：
直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法
例：
长方体ABCD—AiBiGD1中，若AB=BC=3,AA1=4,求异面直线B]D与BCi所成角的大小。
选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念,熟练掌握异面直线所成角的求法。
分析：
构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
解法一：
如图①连结BiC交BCi于0,过0
图①
点作OE〃DBi，则ZBOE为所求的异面直线DB|与BQ所成的角。
连结EB,由已矢OWB）D=734,BC!
=5,BE=^,AcosZB0E=^^Z.
2170
/Dnr?
—7V34
/BOE=arccos
170
解法二：
如图②，连DB、AC交于。
点，过0点作OE〃DB“过E点作EF〃CB,则匕OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过。
点作0M〃DC,连结MF、OFo则0F二遮，cosZ
2
0EF=-嘤，.•・异面直线BJ）与BG所成的角为
170
7^34
arccos。
170
解法三：
如图③，连结DiB交DB】于0,连
结DA,贝U四边形ABCD为平行四边形。
在平行
四边形ABCtDi中过点0作EF〃BG交AB、DG于
E、F,则ND0F或其补角就是异面直线DBi与BG所成的角。
在ZSADF中
DF*,
cosZD0F=7^^，ZD0F=o/rcos。
170170
解法四：
如图④，过Bi点作BE〃BC】交CB的延长线于E点。
则ZDB.E就是异面直线DBi与BG所成角,
连结DE交AB于M,DE=2DM=3V5,
cosNDBiE=Ki^
170
/.匕DBiE=。
rccos7^^o
170
解法五：
如图⑤，在平面DiDBB］中过B点作BE〃DB】交DB的延长
线于E,则ZC^E就是异面直线DB】与BCi所成的角，连结GE,在ABCE
cosZCiBE=7NCiBE=orccos12/里.o
170170
分析：
在已知图形外补作一个相同的儿何体，以例于找出平行线。
一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则
解法六：
如图⑥，以四边形ABCD为上底补接
DB/DB.••NQBD2或其补角就是异面直线DB】与
异面直线DBi与BG所成的角是吹cos嚅。
解法七：
如图⑦,连结DB、DG,设异面直线DBi与BG所成的角为
cos〈DB］，B|C］〉
DB\\BB\cos〈DB\,BB［〉+|DB,|\B}C}
*BB】〃DDi
.〈DB、,BB。
=（DD},DB、〉=ZDiDBi
cos匕DiDB［=-V34
〈DB[,片G〉二180°—ZDBiCi
总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们学习的笫一个空间角，它的求法体现了立体儿何将空间图形问题化归为平面图形问题的基本思想。
例2：
长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=AAl=2cm,AD=1cm,求异面直线A1C1与BD1所成的角。
解法1：
平移法
设A©与BQ】交于0,取BiB中点E,连接0E,因为0E//D.B,所以ZCjOE或其补角就是异面直线A】C］与BD］所成的角左C,OE中
OC,=-A,C,=—
12112
0E=-BD.=L奶+2、+1=己
2122
C|E=JB|C「+bB=+F=扼
所以c、CQE=°C「+OE2-E
2OC|OE
图1
解法2：
补形法
在长方体ABCD—A|B］C|D|的面BC】上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE,则NDiBE或其补角就是异面直线A©与BD】所成的角，在ABDiE中，BD,=3,BE=&,D|E=加+22=2际
_EBD,-+BE2-D.E2cosZD,BE=—!
!
—
12BD]BE
二32+（国一（2国
2x3x75
__V5
-5
解法3：
利用公式cos0=cosS•cos02
设OA是平Iflia的一条斜线，OB是OA在a内的射影，OC是平面a内过0的任意一条直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是。
、。
\、"则cos°=cos-cos%（注：
在上述题设条件中，把平面a内的0C换成平面a内不经过0点的任意一条直线，则上述结论同样成立）DjB在平面ABCD内射影是BD,AC看作是底面ABCD内不经过B点的一条直线，BD与AC所成的角为匕AOD,DiB与BD所成角为匕D|BD,设D|B与AC所成
cosZD1BD=^-=—
角为°,cos0=cosZD|BD-cosZAODBD】5。
cosZAOD=
OD?
+0A2-AD?
20D•OA
V53
=
35
_V5
_5
AM
0=arccos——
所以5
arccos——
所以异面直线AiG与B。
所成的佑为5
B
图3
八a•bcosQ=
解法4：
向量儿何法：
用IIbl
—>—>―>
设AB、AD、AA|为空间一组基向量
―>—>—>
AB=a,AD=b,AA]=clal=2,1bl=1,1c1=2a・b=0,a・c=0,b・c=0
—>—>—>—>
BDi=BA+AA]+A]D]=b+c—a
-）
AjC]=a+b
A]C|=Jla+bI=V22+1=V5
IBD|『Jib+c-aF=JlbF+la|2+lc|2=3
BD「A|C|=（b+c-a）（a+b）=lb|2-|al2=l-4=-3
—>
cosvBD]
->—>
A^〉=BD「AC=三=_也
—T3^55
IB'IIA|GI
北
arccos——
所以异面直线A]C]与BD|所成的角为5
功Ct
解法5：
向量代数法:
->->
0）、C（2,0,0）,B（2,1,0）、D]（0,0,2）,BD】=（-2,-1,2）,AC=（2,-1,0）
cosvBD[,AC>=—；=■—
3V55
arccos——
所以异面直线A】C]与BD】所成的角为5
解法6：
利用公式
八AD2+BC2-AB2-DC2cos0=
2ACBD
定理：
四面体A—BCD两相对棱AC、BD间的夹伯。
必满足
z）AD2+BC2-AB2-DC2cosu=
2ACBD
解：
连结BC】、A]B在四面体B-A]C]D|中，异面直线A©与BD】所成的角是易求得A]C]=BC|=Vs,A|B=2V2,BDj=3
图7
.A.D,+BC,2-A.B^D.C.2cos0=—!
~!
!
!
由定理得:
2A1C1BD,
_12+（妨_（2次）2_22
2x^5x3
3=arccos所以
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