异面直线所成的角的方法归纳老师专用doc.docx

1、异面直线所成的角的方法归纳老师专用doc异面直线所成的角的方法归纳(1)求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转 化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识(余弦定理、正 弦定理、射线定理(cosQ = cos0cos0)求解，整个求解过程可概括 为：一找二证三求。(2)求异面直线所成角的步骤：%1选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线， 这里的点通常选择特殊位置斩点。%1求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。%1因为异面直线所成的角。的范围是0 VOW90。，所以在三角 形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。3、 “补形法”是立体几

2、何中一种常见的方法，通过补形，可将问 题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所 成的角也是常用的方法之一。4、 利用向量，设而不找，对于规则几何体中求异面直线所成的角 也是常用的方法之一。g方法总结：直接平移法、中位线平移、补形平移法、向量法例：长方体 ABCDAiBiGD 1 中，若 AB=BC=3, AA1=4,求异面 直线BD与BCi所成角的大小。选题意图，通过该题，让学生进一步理解异面直线所成角的概念, 熟练掌握异面直线所成角的求法。分析：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直 线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图连结BiC交BCi于0,

3、过0图点作OEDBi，则ZBOE为所求的异面直线DB|与BQ所成的角。连 结 EB,由已矢OW B)D= 734 , BC!=5, BE= , A cos ZB0E= Z.2 170/Dnr? 7V34/ BOE= arc cos 170解法二：如图，连DB、AC交于。点，过0点作OEDB“过E点 作EFCB,则匕OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过。点作0M DC ,连结 MF、OFo 则 0F二遮，cos Z20EF=-嘤，.异面直线BJ)与BG所成的角为170734arc cos 。170解法三：如图，连结DiB交DB】于0,连结DA,贝U四边形ABCD为平行四边形。在平行四边形AB

4、CtDi中过点0作EFBG交AB、DG于E、F,则ND0F或其补角就是异面直线DBi与BG所成的角。在ZSADF中DF*,cos ZD0F= 7，ZD0F=o/rcos 。170 170解法四：如图，过Bi点作BEBC】交CB的延长线于E点。则ZDB.E就是异面直线DBi与BG所成角,连结 DE 交 AB 于 M, DE=2DM=3V5 ,cos NDBiE=Ki170/.匕DBiE=。rccos 7 o170解法五：如图，在平面DiDBB中过B点作BEDB】交DB的延长线于E,则ZCE就是异面直线DB】与BCi所成的角，连结GE,在ABCEcos ZCiBE= 7NCiBE=orccos 1

5、2/里.o170 170分析：在已知图形外补作一个相同的 儿何体，以例于找出平行线。一个高为4的长方体ABCD-A2B2C2D2,连结D2B,则解法六：如图，以四边形ABCD为上底补接DB/DB .NQBD2或其补角就是异面直线DB】与异面直线DBi与BG所成的角是吹cos嚅。解法七：如图,连结DB、DG,设异面直线DBi与BG所成的角为cos DB， B|CDBBB cos DB , BB+|DB,| BC* BB】DDi. DB、, BB。=(DD , DB、=ZDiDBicos 匕DiDB=- V34DB,片G二 180 ZDBiCi总之，异面直线所成的角是立体几何中的重要概念，也是我们

6、学 习的笫一个空间角，它的求法体现了立体儿何将空间图形问题化归为 平面图形问题的基本思想。例 2：长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AAl=2cm, AD= 1cm,求异面 直线A1C1与BD1所成的角。解法1：平移法设A与BQ】交于0,取BiB中点E,连接0E,因为0E/D.B,所以ZCjOE或其补角 就是异面直线A】C与BD所成的角左C,OE中OC, =-A,C,=12 1 1 20E = -BD. =L 奶 +2、+1 =己21 2 2C|E = JB|C+bB = +F =扼所以 c、CQE=C+OE2-E2OC|OE图1解法2：补形法在长方体ABCDA|BC|D|的面BC】

7、上补上一个同样大小的长方体，将AC平移到BE, 则NDiBE或其补角就是异面直线A与BD】所成的角，在ABDiE中，BD,=3, BE = &, D|E =加 +22 =2 际_ E BD,- +BE2 -D.E2 cos ZD, BE = ! !1 2BDBE二 32 + （国一（2国2x3x75_V5-5解法3：利用公式cos0 = cosS cos02设OA是平Ifli a的一条斜线，OB是OA在a内的射影，OC是平面a内过0的任意一条 直线，设OA与OC、OA与OB、OB与OC所成的角分别是。、。、 则cos = cos -cos % （注：在上述题设条件中，把平面a内的0C换成平面a

8、内不经过0点的任意一条直线，则 上述结论同样成立）DjB在平面ABCD内射影是BD, AC看作是底面ABCD内不经过B点的 一条直线，BD与AC所成的角为匕AOD, DiB与BD所成角为匕D|BD,设D|B与AC所成cosZD1BD = - = 角为 , cos0 = cos ZD|BD - cos ZAOD BD】 5。cosZAOD =OD? +0A2 - AD?20D OAV5 3= 35_V5_ 5A M0 = arccos 所以 5arccos所以异面直线AiG与B。所成的佑为 5B图3八 a b cos Q = 解法4：向量儿何法： 用II bl 设AB、AD、AA|为空间一组基向

9、量 AB = a, AD = b, AA = c lal= 2,1 bl= 1,1 c 1=2 ab = 0,ac = 0,bc = 0 BDi =BA+AA + AD =b + c a-)A jC = a + bA C| = Jl a + b I = V22 + 1 = V5IBD|Jib + c-aF = JlbF + la|2 +lc|2 = 3BDA|C| =(b + c-a)(a + b)=lb|2 -|al2 = l-4 = -3cos vBD- A= BDAC =三=_也 T 35 5IB IIA|G I北arccos 所以异面直线AC与BD|所成的角为 5功 Ct解法5：向量代

10、数法:- -0)、C (2, 0, 0), B (2, 1,0)、D (0, 0, 2), BD】=(-2,-1,2),AC = (2,-1,0)cos v BD, AC = ；= 3V5 5arccos所以异面直线A】C与BD】所成的角为 5解法6：利用公式八 AD2 +BC2 - AB2 - DC2 cos 0 = 2ACBD定理：四面体ABCD两相对棱AC、BD间的夹伯。必满足z) AD2 +BC2 - AB2 - DC2 cos u = 2ACBD解：连结BC】、AB在四面体B-ACD|中，异面直线A与BD】所成的角是易求 得 AC = BC| = Vs, A|B = 2V2, BDj = 3图7. A.D, +BC,2 -A.BD.C.2 cos 0 = ! ! ! 由定理得:2A1C1 BD,_ 12+（妨_（2次）2_222x5 x33 = arccos 所以