线面面面平行复习.docx

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线面面面平行复习

线面平行判定

知识梳理：

1．直线与平面平行的定义：

直线与平面______公共点．

2．直线与平面平行的判定定理：

______________一条直线与________________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为____________________________．

面面平行的判定：

1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α∥β，直线a⊂α，则a与β的位置关系为________．

2．下面的命题在“________”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题（M，n为直线，α，β为平面），则此条件应为________．

⇒α∥β

小小热身：

1.下列条件中,能得出直线a与平面α平行的条件是（　　）.A

A.a⊄α,b⊂α,a∥bB.b⊂α,a∥b

C.b⊂α,c∥a,a∥b,c∥αD.b⊂α,A∈a,B∈a,C∈b,D∈b,且AC=BD

2.下列说法正确的是（　　）.D

A.若平面α内的无数条直线分别与平面β平行,则α∥β

B.两个平面分别经过两条平行线,则这两个平面平行

C.过已知平面外一条直线,必能作出与该平面平行的平面

D.平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条也与此平面平行

3.已知直线l1,l2,平面α,且l1∥l2,l1∥α,则l2与α的位置关系是　　　　. 

DA:

l2∥α或l2⊂α　

4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是A1C1,B1C1的中点.

求证:

EF∥平面ABC1.

4.解:

因为E,F分别是A1C1,B1C1的中点,所以EF∥A1B1,

又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,所以EF∥AB,

又EF⊄平面ABC1,AB⊂平面ABC1,所以EF∥平面ABC1.

方法与探究：

（一）直线与平面平行的判定

正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是面对角线A1B、B1C的中点.求证:

EF∥平面ABCD.

【解析】分别取AB、BC的中点G、H,连接EG,FH,GH.

则由三角形中位线性质知:

EG∥FH,且EG=FH,

∴四边形EGHF是平行四边形,∴EF∥GH.

∵EF⊄平面ABCD,而GH⊂平面ABCD,∴EF∥平面ABCD.

变式练习：

1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：

（1）与直线AB平行的平面是________；

（2）与直线AA1平行的平面是______；

（3）与直线AD平行的平面是______．

（1）平面A1C1和平面DC1　

（2）平面BC1和平面DC1　（3）平面B1C和平面A1C1

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是______．平行

3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．

求证：

EF∥平面BDD1B1．

证明：

　取D1B1的中点O，连接OF，OB．

∵OF綊

B1C1，BE綊

B1C1，

∴OF綊BE．

∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO．

∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1．

4．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．

求证：

EF∥平面PBC．

11．证明　连接AF延长交BC于G，连接PG．

在▱ABCD中，易证△BFG∽△DFA．∴

＝

＝

，

∴EF∥PG．而EF⊄平面PBC，PG⊂平面PBC，∴EF∥平面PBC．

（二）平面与平面平行的判定

例：

如图,在三棱柱ABC—A1B1C1中,点E、D分别是B1C1、BC的中点.求证:

平面A1EB∥平面C1AD.

【解析】连接DE.由DE∥BB1,又BB1∥AA1,∴DE∥AA1.

由DE=BB1,又BB1=AA1,∴DE=AA1,∴四边形A1EDA是平行四边形,A1E∥AD.

∵A1E⊄平面C1AD,AD⊂平面C1AD,∴A1E∥平面C1AD.

易证得EB∥C1D,EB⊄平面C1AD,C1D⊂平面C1AD,∴EB∥平面C1AD.

又A1E∩EB=E,平面A1EB经过A1E和EB,∴平面A1EB∥平面C1AD.

变式练习：

1．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（　　）A

A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G

2．两个平面平行的条件是（　　）C

A．一个平面内一条直线平行于另一个平面

B．一个平面内两条直线平行于另一个平面

C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面

D．两个平面都平行于同一条直线

3．有下列几个命题：

①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；

②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b（α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线），则γ∥β；

③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；

④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，

则α∥β．其中正确的有________．（填序号）③

4．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．

M∈线段FH

解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，

∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点M与N连接，

有MN∥平面B1BDD1．

5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：

平面EFG∥平面BDD1B1．

证明　如图所示，连接SB，SD，∵F、G分别是DC、SC的中点，

∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴直线FG∥平面BDD1B1．同理可证EG∥平面BDD1B1，

又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，

EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．

6．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．

求证：

平面A1BD1∥平面AC1D．

证明　连接A1C交AC1于点E，

∵四边形A1ACC1是平行四边形，

∴E是A1C的中点，连接ED，

∵A1B∥平面AC1D，ED⊂平面AC1D，

∴A1B与ED没有交点，

又∵ED⊂平面A1BC，A1B⊂平面A1BC，

∴ED∥A1B．

∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．

又∵D1是B1C1的中点，

∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，

∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．

又A1D1∩BD1＝D1，∴平面A1BD1∥平面AC1D．

7.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：

当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?

解　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO．

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥PA．

∵P、O为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO．又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，

D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO．

一、直线与平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则_____________________________________．

（1）符号语言描述：

________________．

（2）性质定理的作用：

可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作________的方法．

过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

（1）

⇒a∥b　

（2）直线和直线　平行线

二、1．平面与平面平行的性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________．

（1）符号表示为：

________________⇒a∥b．

（2）性质定理的作用：

利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线．

2．面面平行的其他性质

（1）两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即

⇒________，可用来证明线面平行；

（2）夹在两个平行平面间的平行线段________；

（3）平行于同一平面的两个平面________．

小小热身：

1.已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于a的直线（　　）.

A.只有一条,不在平面α内B.有无数条,不一定在α内

C.只有一条,且在平面α内D.有无数条,一定在α内

2.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中（　　）.

A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线D.有且只有一条与a平行的直线

3.已知平面α∥平面β,它们之间的距离为d,直线a⊂α,则在β内与直线a相距为2d的直线有　　　　条. 

例题解析：

（一）线面平行的性质和判定的综合应用

底面为正三角形的斜棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点.求证:

AB1∥平面C1BD.

【解析】如图,延长CB到E,使EB=BC,连接AE,EB1.

因为D是AC的中点,B是EC的中点,所以AE∥DB.又因为B1C1∥BC且B1C1=BC,

所以B1C1∥EB且B1C1=EB.所以四边形EBC1B1是平行四边形,

即EB1∥BC1.因为AE,EB1⊂平面AEB1,DB,BC1⊂平面C1BD,所以平面AEB1∥平面C1BD.

又AB1⊂平面AEB1,所以AB1∥平面C1BD.

变式练习：

1.如图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,E为B1D1上任意一点.求证:

AE∥平面BC1D.

应用一:

∵AB􀱀DC􀱀D1C1,∴四边形ABC1D1是平行四边形,∴AD1∥BC1,

∵AD1⊄平面BC1D,BC1⊂平面BC1D,

∴AD1∥平面BC1D.同理,B1D1∥平面BC1D.

∵AD1∩B1D1=D1,∴平面BC1D∥平面AB1D1.

又∵AE⊂平面AB1D1,∴AE∥平面BC1D.

2．ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，

求证：

AP∥GH．

证明　如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，

∵ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，又M是PC的中点，

∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理，

则有PA∥平面BMD．∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，

根据直线和平面平行的性质定理，

∴AP∥GH．

3．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．

求证：

CD∥平面EFGH．

证明　∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．

又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．

而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．

而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．

（二）面面平行的性质定理的应用

例：

如图,已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段,M、N分别为AB、CD的中点.求证:

MN∥平面α.

1．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面