高三数学学科基地密卷3含答案.docx
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高三数学学科基地密卷3含答案
2021-2022年高三数学学科基地密卷（3）含答案
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.函数的最小正周期为，其中，则.
2.若复数是纯虚数，则实数=.
3.若
，则=.
4.已知双曲线中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为．
5．如果数据，，，…，的方差是，若数据，，，…，的方差为9，则.
6.执行右边的程序框图，若p＝80，则输出的n的值为.
7.如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为和，则的概率为.
8．若是R上的增函数，且，设，，若“”是“的充分不必要条件，则实数的取值范围是______.
9．正方形铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm3.
10.若方程
表示焦点在轴上且离心率小于的椭圆，则的最小值为．
11.已知若关于的方程在（0，4）上有两个实数解，则的取值范围是.
12.已知圆C过点，且与圆M:
关于直线对称.若Q为圆C上的一个动点，则的最小值为.
13.已知函数
若函数在上存在唯一的极值点．则实数的取值范围为 ．
14.已知函数，且，则.
二、解答题：
本大题共6小题，共90分.
15.（本小题满分14分）已知的三个内角所对的边分别为,向量，，且.
（1）求角A的大小；
（2）若,求证：
为等边三角形.
16.（本小题满分14分）在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，，E、F分别是的中点．
（1）证明：
平面平面；
（2）设P为线段BE上一点，且，求三棱锥的体积．
17.（本小题满分14分）设椭圆方程，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
（1）求椭圆方程；
（2）若M，N是椭圆C上的点，且直线OM与ON的斜率之积为，是否存在动点，若，有为定值．
18.（本小题满分16分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB至少长3米，C为AB的中点，B到D的距离比CD的长小0.5米，∠BCD=600
（1）若将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：
支架的总长度为图中线段AB、BD和CD长度之和）
（2）如何设计的长，可使支架总长度最短．
19.（本小题满分16分）若数列的前项和为，且满足等式.
（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；
（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和满足，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？
（注：
设等比数列的首项为，公比为，则它的所有项的和定义为）
20.（本小题满分16分）已知函数，.
（1）若函数有三个极值点，求的取值范围；
（2）若依次在处取到极值，且，求的零点；
（3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，试求正整数的最大值.
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．
A．（选修４－１：
几何证明选讲）在中，过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D.求证：
B．（选修４－２：
矩阵与变换）的顶点A（1，2），B（3，3），C（2，1），求在矩阵对应的变换下所得图形的面积．
C．（选修４－４：
坐标系与参数方程）已知直线和直线的交于点.
（1）求P点的坐标；
（2）求点与的距离.
D．（选修４－５：
不等式选讲）设是正数，证明：
.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF//AB，∠BAF=90º，AD=2，AB=AF=2EF=1，点P在棱DF上．
（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（2）若二面角D-AP-C的余弦值为，求PF的长度．
23．数列满足，且，其中
（1）求证：
≤1；
（2）求证：
．
xx高考模拟试卷（3）参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题
1.6．;
2.1.将复数表示为的形式，然后由即可求；
3..
，即.，；
4..设焦点为，渐近线方程为，即所以所以即渐近线方程为;
5.3.原数据的方差为，则新方差为，而已知新方差为9，所以;
6.7.依次产生的和值分别为
所以，输出的值为7;
7..因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由知，所以，满足条件的事件有:
（2，3），（3，4），（4，5），（5，6）共4种，则的概率为;
8..
，
，因为函数是R上的增函数，所以
，，要使“”是“的充分不必要条件，则有，即；
9..由题意知，弧长为×8＝2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r＝，可得圆锥高h＝，所以容积V＝
πr2×h＝
π×;
10.4.方程表示焦点在轴且离心率小于的椭圆时，
有
，即，化简得，
又，，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令，平移直线当过时，;
11.可以转化为，记，则在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数
与的图象，结合图像和特殊点可知;
12.－4.设圆心C，则
，解得，则圆C的方程为，将点的坐标代入得，故圆C的方程为，设，则，
且
==，
法一：
令，，则≥-2
法二：
令，则，所以≥-4，的最小值为;
13..，若函数在上存在唯一的极值点，则方程=0在区间上有唯一解.因为抛物线的对称轴为，函数在区间单调递减，所以；
14.xx.为奇数时为偶数，，为偶数时，为奇数，∴，，，，，
，……，∴，，即.
二、解答题
15.
（1）由，，
得
…………4分
又因为，所以，解得或…………6分
……7分
（2）在中，且
所以，
…………9分
又，∴，
代入
整理得，解得，∴，
于是，.…………13分
即为等边三角形..…………14分
16．
（1）在，∵AC=2，BC=4,，
∴，∴，
∴.………………………………3分
由已知，，∴.…………………5分
又∵，
即平面平面……7分
（2）取的中点，连结，
则且，
由
（1），
∴，……10分
∵，
∴
.……14分
17.
（1）因为，所以，---------------------------------2分
∵过焦点且垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，AB=2．
∴由椭圆的对称性知，椭圆过点，即--------------------4分
，解得
椭圆方程为------------------------------------------------------------7分
（2）存在这样的点.
设，，
则，化简为---------------------9分
∵M，N是椭圆C上的点，∴，
由得-----------------------------------------11分
所以
即存在这样的点-----------------------------------------------------14分
18.
（1）由则，设，
则支架的总长度为，
在中，由余弦定理
化简得即①……4分
记
由，则
---------6分
（2）由题中条件得，即
设
则原式
=
……10分
由基本不等式
有且仅当，即时成立，又由满足
，当时，金属支架总长度最短．…16分
19.
（1）当时，，则.
又，所以，两式相减得，
即是首项为1，公比为的等比数列，
所以------------------------------------------------------4分
假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为
则，即，
所以，即，即
又，，所以
所以
假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列--------8分
（2）设抽取的等比数列首项为，公比为，项数为，且
则
，-------------------------------------------10分
因为，所以
，------------------12分
所以
由
（1）得到，所以，------------13分
由
（2）得到，--------------------------------14分
当时，适合条件，这时等比数列首项为，公比为
当时，均不适合.
当时，均不适合.
综上可得满足题意的等比数列有只有一个.------------------16分
20.
（1）①
∵有3个极值点，∴有3个不同的根，--------2分
令，则
，
从而函数在，上递增，在上递减.
∵有3个零点，∴，∴.-----------------4分
（2）是的三个极值点
∴
----6分
∴
，∴或（舍∵）
∴
，
所以，的零点分别为，1，.-------------------10分
（3）不等式，等价于，即.
转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.
即不等式在上恒成立.
即不等式在上恒成立.----------------12分
设，则.
设，则.
因为，有.所以在区间上是减函数.
又，，，
故存在，使得.
当时，有，当时，有.
从而在区间上递增，在区间上递减.
又，，，
，，.
所以，当时，恒有；当时，恒有.
故使命题成立的正整数的最大值为5.-----------------16分
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21.A.由，所以，所以
所以所以所以
由，所以.………10分
B．由，所以，A，B，C在矩阵变换下变为，
从而可得
，可得S=6．………10分
C.
（1）将代入得，得，………5分
（2）由，得.………10分
D.
……3分
……6分
.当且仅当时等号成立.……10分
22.
（1）因为∠BAF=90º，所以AF⊥AB，
因为平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF∩平面ABCD=AB，
所以AF⊥平面ABCD，因为四边形ABCD为矩形，
所以以A为坐标原点，AB，AD，AF分别
为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
所以，，，．
所以，，
所以
，
即异面直线BE与CP所成角的余弦值为．-----------------------------5分
（2）因为AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量为．
设P点坐标为，在平面APC中，，，
所以平面APC的法向量为，
所以，
解得，或（舍）．所以．---------------10分
23.
（1）猜想：
≤1，1≤k当k=1时，由，得==1但
∴=－1，∴成立--------------------------------------------2分
假设k=m（1≤m所以所以k=m+1时结论也成立.
综上，有，1≤k（2）当N=2时，由且得成立
假设N=m（m≥2）时，存在，使得------------------7分
则当N=m＋1时，由归纳假设，存在k，使得，
则===
所以=或=
所以无论N取任何大于1的正整数，都存在k使得--10
Pj
}278696CDD泝B228735959奙397569B4C魌?
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