山东高中数学人教A版必修1至必修5基础知识汇总新课改.docx
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山东高中数学人教A版必修1至必修5基础知识汇总新课改
（一）集合
1.集合的概念
（1）集合是数学中的一个不加定义的原始概念，它是指某
（1［①痧（AlB）uAU?
UB；
②痧（AUB）uAI2B.
（2［①ABAlBA；
些指定对象的全体.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个性质，即确定性、无序性和互异性.
（2）根据集合所含元素个数的多少，集合可分为有限集、
无限集和空集；根据集合所含元素的性质，集合又可为点集、数集等.空集是不含任何元素的集合，用表示.
（3）我们约定用N表示自然数集，用N表示正整数集，用Z表示整数集，用Q表示有理数集，用R表示实数集.
（4）集合的表示方法有列举法、描述法和图示法（venn图）.
2.集合间的基本关系
（1）集合与元素的关系
表示元素和集合之间的关系，有属于“”和不属于
“”两种情形
（2）集合与集合之间的关系
集合与集合之间有包含、真包含、不包含、相等等
几种关系.
若有限集A中有n个元素，集合A的子集个数为_2^，非空子集的个数为2n1,真子集的个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.
3.集合的运算
集合与集合之间有交、并、补集三种运算
②ABAUBB.
（2）函数的概念
（1）函数的定义
设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，
使对于集合A中的任意一个数x在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:
AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf（x）,XA.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域.值域是集合B的子集.
3•映射：
设A，B是两个集合，如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应就称为从集合A到集合B的映射，记作f:
AB.函数实际上是一种特殊的映射.而映射是一种特殊的对应：
一对一，多对一.
（2）函数的三要素：
定义域、对应关系及值域称为函数的三要素.在函数的三要素中其决定性作用的是定义域及对应关系，定义域及对应关系确定了，这个函数就唯一确定了.
（3）相等函数：
定义域相同，并且对应关系完全一致的两个函数就称为相等函数.
2.函数的表示方法
函数的表示方法主要有三种：
解析法、图象法、列表法.分段函数：
在定义域的不同部分上有不同的解析式，这样的函数称为分段函数.
（3）函数单调性
1.增函数、减函数
设函数f（x）的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x1,x2，当x-1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就
说函数f（x）在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的
值X1,X2，当人x时，都有f（xjf（X2），那么
就说函数f（X）在区间D上是减函数.
2.单调性、单调区间
如果函数yf（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间.
3.利用定义判断（证明）函数单调性的一般步骤：
1.
1设出自变量；②作差（商）：
③判号；④写出结论.
2•函数最值的几何意义是对应函数图像上点的纵坐标的2.
最大值或最小值，即图像的最高点或最低点.3.
3•函数的最值与求函数的值域从概念上看是不同的，函
数值域的一些边界值不一定是函数值，函数的最值是函数
值域中的一个值，函数取得最值时，一定有相应的x值.
4.判断函数单调性的常见方法
1定义法；②图象法；③导数法.④
5.求函数最值或值域的方法
①单调性法；②配方法；③换元法；④判别式法；⑤图象法；⑥不等式法等.
5.一些重要函数的单调性
1
yx的单调区间：
增区间（,1）,（1,）；
x
减区间（
yax
1,0）,（0,1）.
0的单调区间：
增区间
ba
x
0,b
（，:
）；减区间（,
.b,0）,（0,
?
）
na
'a
ia
a
（四）函数奇偶性
1.奇偶性
（1）奇函数、偶函数
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（-x）=f（x）,那么函数f（x）就叫做偶函数.
如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x,都有f（-x）=-f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数.
（2）奇偶性
如果函数f（X）是奇函数或偶函数，那么就说函数f（x）具有奇偶性.
⑶奇函数、偶函数的性质
1奇函数、偶函数的定义域皆关于原点对称（此条件是函数具有奇偶性的必要不充分条件）；
2奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；
3若奇函数f（x）在x=0处有定义，那么一定有
f（0）0.
4在定义域的公共部分内，两个偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍是偶函数；两个奇函数的和、差仍是奇函数；奇数个奇函数的积为奇函数；偶数个奇函数的积为偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数；一个奇函数与一个偶函数（均不恒为零）的和与差既不是奇函数，也不是偶函数.
5奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性
（5）基本函数：
一次二次函数
函数ykxb（k0）叫做一次函数，它的定义域和值域皆为R
一次函数性质
①当k>0时，为增函数，
当k<0时，为减函数；
②当b=0时，函数y
kx（k0）为正比例函数；
③直线y=kx+b与x轴的交点为（
K7,0）（k
k
0）与y轴
的交点为（0,b）.
3.二次函数的解析式的三种形式：
①一般式f（x）ax2
bxc；
②顶点式f（x）a（x
h）2k
③零点式f（x）a（x
xj（x
X2）；
4.二次函数的图象与性质
①
fxax2bxc
ax
b2
4acb2
2a
4a
（a0）的图象是-
「条抛物
线，顶
点坐标为
b4acb2
对称轴方程为x
b
2a'4a，
，当
2a
a0时开口向上，当a0时开口向下；
②b24ac0
0,
0时，
抛物线与x
轴有2个（1个、无）交点.
③单调性：
当a0时,
fx在（，
b_
］减函数；
2a
b
在（——,）上是增函数.a0，相反.
2a
④奇偶性：
当b
0时，f
x为
偶函数；
当b0日寸，fx既不是奇函数也不是偶函数；
（六）指数函数
1.幂的有关概念
正整数指数幕：
04442加43
n个
n
a；
零指数幕：
a01（a
0）；
负整数指数幕：
ap=
1
p（aa
0,pN）；
正分数
指
数
幕：
annam（a0,m
、nN
且n1
）;
负分数指
数幕
a
凹1
n
m
a：
（a0,imnN且n1）；
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义
2.幂的运算法则（a0,b0,r、sQ）
rsrsrsrsrrr
aaa；（a）a；（ab）ab
4.换底公式:
logaN
logmNlogma
定义
x
yaa
扌0,a1
图象
定义域
R
值域
0,
定点
（0，1）
单调性
a1，增
0a1，减
3.指数函数图像及性质
①
（a
0,a
loga
1,m0,m1,N0）,
blogba1
log
bn
mlogab.
5.对数函数的图像与性质
x
4.指数函数fxa具有性质:
alogaNN.
0,N0,则
（八）幕函数：
231
yx,yxyx,yy
x
1
x2的图像
3.运算性质：
如果a
0,a1,M
①loga（MN）
logaMlog
aN；②
1.当a0时，幂函数yx
R有下列性质：
M,“
logalogaM
N
logaN；
（1）图像都通过点（1,1）；
③logaMnnlogaM.
（2）在第一象限内，随x的增大而增大;
越大，图像下
部分作岀，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作岀
面围成的多面体叫做棱柱.
（3）在第一象限内，1时图像下凸，01时
图像上凸.
（4）在第一象限内，过1,1点后，图像向右上方无
限伸展.
2.当a<0时，幂函数yXR有下列性质：
（1）图像都通过点（1,1）；
（2）在第一象限内，函数值随X的增大而减小，图像
是向下凸的；
（3）在第一象限内，图像向上与y轴无限地接近，向
右与x轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过1,1点后,
落的速度越快.
（九）函数图像变换
1•平移变换
⑴水平平移：
yfxaa0的图象，可由
yfx的图象向左或向右平移a个单位而得到；⑵竖直平移：
yfxbb0的图象可由yfx的图象向上或向下平移b个单位而得到；注：
对于左、右平移变换，往往容
易出错，在实际判断中可熟记口诀：
左加右减
2•对称变换
⑴yfx与yfx的图象关于y轴对称；
⑵yfx与yfx的图象关于x轴对称；
⑶yfx与yfx的图象关于原点对称；
⑷yf1x与yfx的图象关于直线y=x对
称；
⑸yfx的图象可将yfx的图象在x轴
下方的部分以x轴为对称轴翻折上去，其余部分不变；
⑹yfx的图象可将yfx，x0的
x0的部分.
3.伸缩变换
⑴yAfxA0的图象，可将yfx图
象上所有点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；
⑵yfaxa0的图象，可将yfx图象
1
上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变而得到.
a
（十）函数的应用
1•函数零点的定义：
对于函数
yfxxD,使fx0成立的—实数x_叫做
函数yfxxD的零点.
2.二分法定义：
对于区间a,b上连续，且fafb0的函数yfx，通过不断把函数fx的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法.注：
该法一般求的是近似解.
3•解函数应用题，一般可按以下四步进行.
（1）阅读理解，认真审题.
（2）引进数学符号，建立数学模型.
（3）利用数学的方法将得到的常规数学问题给出解答，求
得结果.
（4）转译成具体问题做岀回答.
必修二
（1）多面体和旋转体
1•多面体和旋转体的概念
（1）棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边
形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些
（2）棱锥：
有一个面是多边形，其余各面都是有一_个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱
锥.
（3）棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面
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