201X201x版高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原.docx
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201X201x版高中数学第一章计数原理11分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时两个计数原
第1课时 两个计数原理
学习目标
1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
知识点一 分类加法计数原理
第十三届全运会在中国天津盛大召开，一名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，每天有7个航班，6列火车．
思考 该志愿者从上海到天津的方案可分几类？
共有多少种出行方法？
答案 两类，即乘飞机、坐火车．共有7＋6＝13（种）不同的出行方法．
梳理
（1）完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
（2）完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
知识点二 分步乘法计数原理
若这名志愿者从上海赶赴天津为游客提供导游服务，但需在青岛停留，已知从上海到青岛每天有7个航班，从青岛到天津每天有6列火车．
思考 该志愿者从上海到天津需要经历几个步骤？
共有多少种出行方法？
答案 两个，即先乘飞机到青岛，再坐火车到天津．共有7×6＝42（种）不同的出行方法．
梳理
（1）完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
（2）完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
1．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．（ × ）
2．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．（ √ ）
3．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．（ √ ）
4．在分步乘法计数原理中，事情若是分两步完成的，那么其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有两个步骤都完成后，这件事情才算完成．（ √ ）
类型一 分类加法计数原理
例1 设集合A＝{1,2,3,4}，m，n∈A，则方程
＋
＝1表示焦点位于x轴上的椭圆的有（ ）
A．6个B．8个
C．12个D．16个
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 A
解析 因为椭圆的焦点在x轴上，所以m>n.当m＝4时，n＝1,2,3；当m＝3时，n＝1,2；当m＝2时，n＝1，即所求的椭圆共有3＋2＋1＝6（个）．
反思与感悟
（1）应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是互不干扰的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事．
（2）利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1 满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对（a，b）的个数为（ ）
A．14B．13C．12D．10
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 由已知得ab≤1.
若a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
若a＝0时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；
若a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；
若a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．
∴共有（a，b）的个数为4＋4＋3＋2＝13.
类型二 分步乘法计数原理
例2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
（各位上的数字允许重复）
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10000（个）四位数的号码．
引申探究
若各位上的数字不允许重复，那么这个拨号盘可以组成多少个四位数的号码？
解 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，即m1＝10；
第二步，去掉第一步拨的数字，有9种拨号方式，即m2＝9；
第三步，去掉前两步拨的数字，有8种拨号方式，即m3＝8；
第四步，去掉前三步拨的数字，有7种拨号方式，即m4＝7.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×9×8×7＝5040（个）四位数的号码．
反思与感悟
（1）应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
（2）利用分步乘法计数原理解题的一般思路
①分步：
将完成这件事的过程分成若干步；
②计数：
求出每一步中的方法数；
③结论：
将每一步中的方法数相乘得最终结果．
跟踪训练2 从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）＝ax2＋bx＋c的系数，可组成不同的二次函数共______个，其中不同的偶函数共________个．（用数字作答）
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 18 6
解析 一个二次函数对应着a，b，c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有不同的二次函数3×3×2＝18（个）．
若二次函数为偶函数，则b＝0.a的取法有3种，c的取法有2种，则由分步乘法计数原理知，共有不同的偶函数3×2＝6（个）．
类型三 辨析两个计数原理
例3 现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
（1）从中任选一幅画布置房间，有几种不同的选法？
（2）从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
（3）从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解
（1）分为三类：
从国画中选，有5种不同的选法；从油画中选，有2种不同的选法；从水彩画中选，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有5＋2＋7＝14（种）不同的选法．
（2）分为三步：
国画、油画、水彩画各有5种，2种，7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70（种）不同的选法．
（3）分为三类：
第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10（种）不同的选法；
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35（种）不同的选法；
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14（种）不同的选法．
所以共有10＋35＋14＝59（种）不同的选法．
反思与感悟
（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法．
（2）分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律．
（3）混合问题一般是先分类再分步．
跟踪训练3 在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解 选参加象棋比赛的学生有两种方法，在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法；在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6（种）选法；
从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6（种）选法；
从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4（种）选法；
2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．
所以共有6＋6＋4＋2＝18（种）选法．所以共有18种不同的选法．
1．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为（ ）
A．1＋1＋1＝3B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24D．以上都不对
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 分三类：
第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类乘轮船，从2次中选1次有2种走法，所以共有3＋4＋2＝9（种）不同的走法．
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A．7B．12C．64D．81
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 B
解析 要完成配套，分两步：
第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同的选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同的选法．故共有4×3＝12（种）不同的配法．
3．若x，y∈N*，且x＋y≤5，则有序自然数对（x，y）的个数为（ ）
A．6B．8C．9D．10
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 D
解析 当x＝1时，y＝1,2,3,4，共构成4个有序自然数对；
当x＝2时，y＝1,2,3，共构成3个有序自然数对；
当x＝3时，y＝1,2，共构成2个有序自然数对；
当x＝4时，y＝1，共构成1个有序自然数对．
根据分类加法计数原理，共有N＝4＋3＋2＋1＝10（个）有序自然数对．
4．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种．（用数字作答）
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 9
解析 分为两类：
两名老队员、一名新队员时，有3种选法；两名新队员、一名老队员时，有2×3＝6（种）选法，即共有9种不同选法．
5．某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．
（1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
（3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解
（1）分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，有8种不同的选法；第二类是从二班的10名优秀团员中产生，有10种不同的选法；第三类是从三班的6名优秀团员中产生，有6种不同的选法．由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24（种）不同的选法．
（2）分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名小组长，有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名小组长，有10种不同的选法．第三步是从三班的6名优秀团员中选1名小组长，有6种不同的选法．由分步乘法计数原理可得，共有N＝8×10×6＝480（种）不同的选法．
（3）分三类：
每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×10种不同的选法；第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×6种不同的选法；第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×6种不同的选法．因此，共有N＝8×10＋10×6＋8×6＝188（种）不同的选法．
1．使用两个原理解题的本质
―→
―→
―→
―→
2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法
一、选择题
1．图书馆的书架有3层，第1层有3本不同的数学书，第2层有5本不同的语文书，第3层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法共有（ ）
A．120种B．16种C．64种D．39种
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 由于书架上有3＋5＋8＝16（本）书，则从中任取1本书，共有16种不同的取法．
2．已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2}，r∈{1,4,9,16}，则方程（x－a）2＋（y－b）2＝r2可表示的不同圆的个数是（ ）
A．6B．9C．16D．24
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 D
解析 确定一个圆的方程可分为三个步骤：
第一步，确定a，有3种选法；第二步，确定b，有2种选法；第三步，确定r，有4种选法．由分步乘法计数原理得，不同圆的个数为3×2×4＝24.
3．从集合{1,2,3，…，8}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为（ ）
A．3B．4C．6D．8
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 B
解析 以1为首项的等比数列为1,2,4；以2为首项的等比数列为2,4,8.把这两个数列的顺序颠倒，又得到2个数列，∴所求数列为4个．
4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A．56B．65
C.
D．6×5×4×3×2
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 A
解析 每位同学都有5种选择，共有5×5×5×5×5×5＝56（种）．
5．如果x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对（x，y）的个数是（ ）
A．5B．12C．15D．4
考点 分类加法计数原理
题点 分类加法计数原理的应用
答案 C
解析 当x＝1时，y的取值范围可能为0,1,2,3,4,5，有6种情况；
当x＝2时，y的取值可能为0,1,2,3,4，有5种情况；
当x＝3时，y的取值范围可能为0,1,2,3，有4种情况；
根据分类加法计数原理可得，满足条件的（x，y）的个数为6＋5＋4＝15.
6．定义集合A与B的运算A*B如下：
A*B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A*B的元素个数为（ ）
A．34B．43
C．12D．以下都不对
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 C
解析 由分步乘法计数原理可知，A*B中共有3×4＝12（个）元素．
7．从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数为（ ）
A．2＋4＋3B．2×4＋3
C．2×3＋4D．2×4×3
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 B
解析 分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2×4种，二是直接从甲地到丙地，有3种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×4＋3.
8．已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）
A．18B．17C．16D．14
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 D
解析 分两类．
第一类：
M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有3×2＝6（个）；
第二类：
N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则在第一、二象限内的点有4×2＝8（个）．
由分类加法计数原理可知，共有6＋8＝14（个）点在第一、二象限．
二、填空题
9．一个礼堂有4个门，若从任一个门进，从任一门出，共有不同走法________种．
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 16
解析 由分步乘法计数原理得4×4＝16.
10．若在如图1的电路中，只合上一个开关可以接通电路，有________种不同的方法；
在如图2的电路中，合上两个开关可以接通电路，有________种不同的方法．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 5 6
解析 对于图1，按要求接通电路，只要在A中的两个开关或B中的三个开关中合上一个即可，故有2＋3＝5（种）不同的方法．
对于图2，按要求接通电路必须分两步进行：
第一步，合上A中的一个开关；
第二步，合上B中的一个开关，
故有2×3＝6（种）不同的方法．
11．直线方程Ax＋By＝0，若从0,1,3,5,7,8这6个数字中每次取两个不同的数作为A，B的值，则可表示________条不同的直线．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
答案 22
解析 若A或B中有一个为零时，有2条；当AB≠0时有5×4＝20（条），故共有20＋2＝22（条）不同的直线．
12．某运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．
考点 分步乘法计数原理
题点 分步乘法计数原理的应用
答案 2880
解析 分两步安排这8名运动员．
第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以共有4×3×2＝24（种）方法；
第二步，安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排，共有5×4×3×2×1＝120（种）．
所以安排这8人的方式共有24×120＝2880（种）．
三、解答题
13．现有高一四个班的学生34人，其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
（1）选其中一个为负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？
（3）推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解
（1）分四类：
第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34（种）．
（2）分四步：
第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．所以共有不同的选法
N＝7×8×9×10＝5040（种）．
（3）分六类，每类又分两步：
从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法，从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431（种）．
四、探究与拓展
14．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，求由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数．
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解 长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6＝36（个），另外含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”有6×2＝12（个），所以共有36＋12＝48（个）．
15．集合A＝{1,2，－3}，B＝{－1，－2,3,4}，从A，B中各取1个元素，作为点P（x，y）的坐标．
（1）可以得到多少个不同的点？
（2）这些点中，位于第一象限的有几个？
考点 两个计数原理的区别与联系
题点 两个原理的简单综合应用
解
（1）可分为两类：
A中元素为x，B中元素为y或A中元素为y，B中元素为x，则共得到3×4＋4×3＝24（个）不同的点．
（2）第一象限内的点，即x，y均为正数，所以只能取A，B中的正数，共有2×2＋2×2＝8（个）不同的点．
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