当E已知，v可获得：
tan（v/2）=sqrt（（1+e）/（1-e））*tan（E/2）……29.1式
这样，径矢r可由以下任一表达式算出：
r=a*（1-e*cos（E）） ……29.2式
r=a*（1-e*e）/（1+e*cos（v）） ……29.3式
r=q*（1+e）/（1+e*cos（v）） ……29.4式
接下来我们来考虑求偏近点角E的问题。
开普勒方程是：
E=M+e*sin（E） ……29.5式
这个方程要求角的是E，但这是个超越方程，不能真接求解。
我们将解释三种迭代法球E，最后还给出一个近似求E的公式。
第一种方法：
式29.5的M、E应表达为弧度单位。
大多数程序设计语言都使用弧度制。
如果使用角度模式计算正余弦值，那么e应乘上π/180，令乘上这个数以后的e为eo，那么开普勒方程变为：
E=M+eo*sin（E）……29.6式
这样，我们就可用“角度”来计算了。
为了解29.6式，选找一个适当的E的估值，那么通过29.6式计算后，将得到一个更精确的E的新估值。
重复以上计算，直到获得所需的精度为止。
这一计算过程可利用计算机自动进行。
E的初始估值可以使用E=M，由此得运算过程如下：
E0=M
E1=M+e*sin（E0）
E2=M+e*sin（E1）
E3=M+e*sin（E2）
……
E0、E1、E2、E3…，逐个精度不断提高。
例29.a——计算开普勒方程，e=0.100，M=5°，精度要求0.000001度。
先计算eo
eo=0.100*π/180=5°.72957795
则开普勒方程变为
E=5+5.72957795*sin（E）
式中全部使用角度制计算。
起步E=M=5°，这样就取得如下E的过程值
5.499366
5.549093
5.554042
5.554535
5.554584
5.554589
5.554589
因此，所需的结果是E=5°.554589
这种方法非常简单并总是收敛的。
当e比较小时，基本没问题。
然而，迭代次数是随首e的增加而增加的。
例如，e=0.990，M=2°时，迭代过程中E的值如下：
2.000000 15.168909 24.924579 29.813009
3.979598 16.842404 25.904408 30.200940
5.936635 18.434883 26.780556 30.533515
7.866758 19.937269 27.557863 30.817592
9.763644 21.341978 28.242483 …
11.619294 22.643349 28.841471
13.424417 23.837929 29.362399
在进行了50次迭代后，结果是32°.345452，仍达不到正确值32°.361007，误差还大于0.01度。
图3表示计算精度为10^-9度时，所需的迭代次数三维图，底面坐标是离心率e和平近点角。
我们看到，当e接近1时，平近点角在0度到180度范围时，所需的迭代次数很大。
我们注意到，图的底部有一个直线“谷”。
这个“谷”线是：
点（e=0，M=90°）到点（e=1,M=π/2-1=32°42'），这就是说，对于给定的e，存在一个特殊的平近点角Mo，计算它时所需的迭代次数最小：
Mo=π/2-e,单位弧度。
当M偏离Mo（在“谷”的两边），迭代次数增加。
例如：
e=0.75时Mo=47.03度，要达到0.000001度所据的迭代次数是：
M 次数 M 次数
5° 51 60° 11
10° 37 70° 12
20° 23 90° 21
30° 15 110° 32
40° 9 130° 43
47° 5 150° 54
55° 8 170° 59
一个有趣的事实是，当M介于Mo与180度时，迭代过程中E的值在真值附近振动。
例如：
e=0.75，M=70°,迭代计算结果如下：
70°.000000 起始值
110.380316 偏大
110.281870 偏小
110.307524 偏大
110.300850 偏小
110.302587 偏大
110.302135 偏小
……
第二种方法：
当轨道离心率e大于0.4或0.5时，第一种方法收敛速度很慢，可以考虑更好的迭代公式：
E1=E0+（M+e*sin（E0）-E0）/（1-e*cos（E0））……29.7式
式中E0是上一次迭代取得的值。
在这个公式中，M,E0及E1均为弧度。
如果要用角度单位计算，式中的e应换为eo=180*e/π。
使用该式，任需多次迭代。
请注意一下29.6式与29.7式的不同。
前者直接算出迭代修正后的的E1，后者则由两部分购成，即E0和修正量组成，二者之和就是修正后的E1。
起步：
E0=M=5°，得到以下计算过程：
E0 修正量 E1
5.000000000 +0.554616193 5.554616193
5.554616193 -0.000026939 5.554589254
5.554589254 -0.000000001 5.554589253
在这种情况下，三次迭代就可达到0.000000001的精度。
我们求角不同e和M的开普勒方程，见表29.A，第1列是e，第2列是近点角M，第3列是正确的E，第4列和第5列分别是用第一种方法和第二种方法计算所需的迭代次数。
起步估值为E=M。
计算时取12位有效位数，一直迭代到比上一次值的差值小于0.000001度为止。
表29.A
--------------------------------
e M E
（1）
（2）
--------------------------------
0.1 5° 5.554589 6 2
0.2 5 6.246908 9 2
0.3 5 7.134960 12 2
0.4 5 8.313903 16 2
0.5 5 9.950063 21 2
0.6 5 12.356653 28 3
0.7 5 16.356653 39 3
0.8 5 22.656579 52 4
0.9 5 33.344447 58 5
0.99 5 45.361023 50 11
0.99 1 24.725822 150 8
0.99 33 89.722155 6 5
--------------------------------
很明显，不管是第一种方法还是第二种方法，一般说e的值越大，所需的迭代次数越多。
但第二种方法是这三种方法中所需迭代次数最少的。
当e<0.3时，第一种方法是最好的，因为我们更喜欢第一种简单的迭代公式（迭代次数仅5—10），而不喜欢第二种复杂的公式（虽然他仅需迭代2次）。
仅当e的值比较大时，才考虑使用第二种方法。
在某些情况下，第一种方法可能失效。
见上表中的最后第二行，当e=0.99，M=1度时，所需的迭代次数至少是150次。
最后，表29.A显示，对于给定的精度要求，所需的的迭代次数不完全依靠e和M，仍然存在某些奇异问题，从表中的最后两行看，在e已非常接近1时，第一种方法却仅需迭代仅需6次。
虽然公式29.7支持很大的离心率e，但仍可能出问题，在HP-85电脑上，我们处用公式29.7执行了一些计算，每次计算时，起步值为E=M。
表29.B给出了三种情况下E逐步求精的过程，E的单位是度。
表29.B
---------------------------------------------------
e=0.99 M=2° e=0.999 M=6° e=0.999 M=7°
------------- -------------- --------------
188.700250865 930.352114752 832.86912333
90.0043959725 418.384869795 275.954959759
58.7251974236 -345.064633754 -87.610596019
41.762008288 10182.3247508 -48.5623921307
34.1821261793 1840.68260539 -11.225108839
32.4485414136 -5573.41581953 340.962715254
32.361223124 -2776.37618814 -5996.93473678
32.3610074734 -478.97469399 -2079.96780001
32.3610074722 -185.902957505 511.49423506
32.3610074722 -86.6958017962 257.391360843
-48.9711628749 5.969894505
-14.7148241705 1094.05946279
168.189220986 -33606.763133
92.1098260913 -12599.3759885
64.2252288664 11889243.763
52.7106850572 3642203.90477
49.7106850572 -432120.48862
49.5699983807 -145379.711482
49.5696248567 142691.415319
49.5696248539 56806.8295471
……
---------------------------------------------------
在第一列中（e=0.99，M=2度），起步为E=2度。
第一次迭代得到E=188.7度，偏离正确解太远了。
但下来的迭代值90度、59度、42度，之后就速迅收敛了。
当到了第8次迭代，精度就达到了0.00004角秒。
在第二列中（e=0.999，M=6度），首次迭代得到了一个十分异常的值，几乎是个随机的突变值。
刚开始始基本无法收敛，直到第13次迭代（值为168度），才开始快速收敛。
在第三列中（e=0.999，M=7度），前20步跟本不收敛，直到47步（表中未给出）才得到正确值52.2702615。
在同的e=0.999，却有显著的不同，把M=7度，换为M=7.01度，则只需迭7次就可得到正确的E。
HP-85计算机的有效位数是12位。
如果使用其它计算机，迭代次数则有所不同。
用HP-67计算机（只有10有效数字）同样计算表中的第二列情况（e=0.999，M=6度），迭代过程如下：
930.3621195
418.3848584
-345.0649049
10182.69391
1883.665232
-162.6729360
-85.06198931
-47.82386405
-13.18454655
211.0527629
84.65261970
60.76546811
51.35803706
49.62703439
49.56968687
49.56962485
49.56962485
与29.B表作个有趣的对比。
在第三次迭代后，它与HP-85的计算的差值仅0.00027度，下一次迭代，差值达0.37度，再下一个达43度。
不过，最终还是收敛了。
显然，当e很大时，公式29.7只保证局部收敛。
当e很大时，迭代过程中，E随机的在正确值前后跳变，仅当有机会跳入“正确值附近”，然后才开始收敛。
图4是一个三维图形，表示计算精度要求为10^-9度时利用29.7式所需的迭代次数，底面坐标为离心率e和平近点角。
和以前的一样，起步计算时E=M。
图中左边的角落，e=1，M=0度，这是个危险区域，图5则放大显示了该曲域。
我们看到很多密集的高峰，e或M的微小变化将造成达到所需精度的迭代次数大为不同。
因此，当e很大M很小时，使用式29.7是非常让人担心的。
在某些情况下，计算过程中有溢出的危险，因为分母的数有可能非常接近于0。
这个问题可通过适当选择M的值来解决，一个良好的M的值由Mikkola找到了（式中为弧度单位）：
α=（1-e）/（4*e+0.5） β=M/（8*e+1）
z=sqrt3（β±sqrt（β*β+α^3）），式中sqrt3表示开3方,α^3表示α的3次方
式中的±号选择与β的正负号相同。
注意：
立方根下的数值可能是负数，造成电脑计算出错，此问题读者可自行解决。
接下来计算：
so=z-α/2 s=so-0.078*so^5/（1+e）
那么，公式29.7的更好的起步值是：
E=M+e*（3*s-4*s^3）……29.8式
这一计算适用于上述的“危险区域”，也就是|M|<30度，且0.975在范围之外，起步值使用E=M即可。
图6表示：
使用29.7公式计算，起步使用29.8式，为了达到10^9次方精度时所需的迭代次数。
第三种方法：
RogerSinnott设计了一种使用二分法求解E的方法。
二分法在第5章已经提到。
这个过程是绝对可靠的，当是e=0到1的任意数，它总能收敛到机器所能支持的精度。
以下的程序中E表示轨道的离心率，M是平近点角，单位是弧度。
程序的结果是偏近点角，单位也是弧度。
要得到10位精度，需二分33次。
在16位的BASIC语言中，程序的行号为180的那个循环语句，可增加为53次。
最小循环次数要求是：
3.32乘以所需的精度位数，其中3.32=1/log10
（2）。
100PI=3.14159265359
110F=SGN（M）:
M=ABS（M）/（2*PI）
120M=（M-INT（M））*2*PI*F
130IFM<0THENM=M+2*PI
140F=1
150IFM>PITHENF=-1
160IFM>PITHENM=2*PI-M
170E0=PI/2:
D=PI/4
180FORJ=1TO33
190M1=E0-E*SIN（E0）
200E0=E0+D*SGN（M-M1）:
D=D/2
210NEXTJ
220E0=E0*F
第四种方法：
公式：
tan（E）=sin（M）/（cos（M）-e）……29.9式
它可计算E的近似值，并且仅当e的值比较小时才是有效的。
与例29.a的数据一样，用29.9式得到
tan（E）=0.08715574/0.89619470=0.09725090
即E=5.554599度，准确值是5.554589，所以此时误差仅0".035。
但在相同离心率时，M=82度，误差约为35"。
使用29.9式的最大误差是
e=0.15时 0.0327度
e=0.20时 0.0783度
e=0.25时 0.1552度
e=0.50时 1.42度
e=0.99时 24.7度
对于地球，e=0.0167，误差将小于0".2。
在这种情况下，公式29.9是可以被安全使用的，除非精度要求很高。
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